СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
2. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ
3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
4. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
4. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
4. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
МЕТОД ВИЛЛИСА ДЛЯ РАСЧЕТА УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ
433.00K
Category: physicsphysics

Сложное движение твердого тела

1. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Если твердое тело движется относительно подвижной системы отсчета OXYZ,
которая в свою очередь движется произвольным образом относительно
неподвижной системы отсчета O X Y Z , движение тела называют составным
1 1 1 1
или сложным.
Основная задача кинематики сложного движения твердого тела состоит в
определении вида и кинематических характеристик результирующего движения
тела по заданному виду и кинематическим характеристикам составляющих
движений.
1. Сложение поступательных движений
Пусть твердое тело движется поступательно со скоростью V относительно
1
подвижной системы отсчета, которая также движется поступательно со ско –
ростью V относительно неподвижной системы отсчета. Тогда, на основании
2
теоремы о сложении скоростей, все точки тела в абсолютном движении будут
иметь одинаковую абсолютную скорость V V V и, следовательно,
1
2
результирующим движением тела будет являться поступательное движение.
Замечание.
Если твердое тело одновременно участвует, в N поступательных движениях,
то результирующим движением является поступательное движение со скоростью
N
V Vk
k 1
1

2. 2. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ

Пример:
качение конуса
по плоскости
Пусть твердое тело вращается
одновременно вокруг двух пере 1 2 .
A
секающихся осей ОА и ОВ с угло B
выми скоростями 1 и 2 .
A
Тогда точка О, лежащая на обеих
B
осях одновременно будет
1
1
оставаться неподвижной и резуль 2
M
тирующее движение тела можно
r
O
O
рассматривать как мгновенное
2
вращательное движение с угловой
скоростью вокруг мгновенной оси вращения O .
Для нахождения угловой скорости выразим скорость произвольной точки М,
не лежащей на осях вращения по теореме о сложении скоростей:
V Vпер Vотн 1 r 2 r ( 1 2 ) r .
Скорость той же точки при сферическом движении тела V r .
Отсюда в силу произвольности вектора
r
, получаем:
1 2 .
Замечание.
Если твердое тело одновременно участвует, в N вращениях
вокруг пересекающихся осей, то результирующим движением
является вращательное движение с угловой скоростью
N
k .
k 1
2

3. 3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

Если оси вращения тела параллельны,
то результирующим движением тела
будет плоское движение в плоскости,
перпендикулярной осям.
а) вращения направлены в одну сторону
VA 1 AB , VA AB ;
1
2 BC
,
AC
AC
BC
BC
1 AC
VA
1 AB
1 AB
VB
2 AB
1 ( AC BC )
2
A
VB 2 AB , VB AB , VB VA
Точка С – МЦС, поэтому VA AC , VB BC
VA
2
A
1
C
B
VB
2
C
1
B
VA
1 (1 BC AC )
AC
AC
AC
1 (1 2 1) 1 2 2 1 BC AC , 1 2 .
3

4. 3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

б) вращения направлены в противоположные стороны ( 1 2 ).
VA 2 AB , VA AB ;
VB VA ,
VB 1 AB , VB AB
VB VA
2
Точка С – МЦС, поэтому
VA AC , VB BC
VA
AC
VB
2 AB
AC
2 AC
,
BC
BC
1 BC
1 AB
VB
1 AB
1 ( BC AC )
BC
BC
BC
1 (1 2 1) 1 2
1
B
B
C
A
A
1
C
2 V
A
VB
1 (1 AC BC )
2 1 AC BC ; 1 2 .
4

5. 3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

в) пара вращений Парой вращений называют совокупность двух мгновенных
вращений твердого тела вокруг параллельных осей с оди наковыми по модулю и противоположными по направлению
угловыми скоростями.
1
VA 2 AB , VA AB ;
VB VA ,
VB 1 AB , VB AB
VB VA
МЦС поэтому тело совершает мгновенное
поступательное движение со скоростью V AB ,
направленной перпендикулярно плоскости, в которой
лежат векторы угловых скоростей 1, 2 в ту
сторону, откуда поворот, на который указывают
векторы угловых скоростей, кажется происходящим
против хода часовой стрелки.
Пример. Движение велосипедной педали
относительно рамы велосипеда.
2
B
A
V
A
B
2
1
VA
VB
1
2
5

6. 4. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

а)
V
z
1
V
О
A y
x
1
Заменим скорость поступательного
движения V парой вращений ( 1, 1),
Расположенной в плоскости, перпендику лярной вектору скорости V , выбрав
1 . Тогда плечо пары вращений
OA d
V
.
Вращения тела вокруг оси OZ с угловыми
скоростями ( , ) взаимно уничто –
1
жаются.
Следовательно, результирующим движением твердого тела является
вращательное движение вокруг мгновенной оси АΩ, параллельной оси ОZ
и отстоящей от нее на расстояние d V с такой же по модулю и
направлению угловой скоростью .
6

7. 4. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

б)
V
A
Тело совершает винтовое движение.
АА – ось винта; h – шаг винта –
расстояние, проходимое точками тела,
лежащими на оси винта за время
одного оборота. Если
consn , V const , h 2
V
const ,
V
при этом любая точка тела, не лежащая
на оси винта, описывает винтовую линию.
Абсолютная скорость точки М, отстоящей
от оси винта на расстоянии r равна
VM V1 V ,
Поэтому VM
где
V
h
V1 r , V1 V ,
VM
V1
M
A
V 2 2 r 2 .Скорость VM направлена
по касательной к винтовой линии, по которой движется точка М,
и составляет с плоскостью основания цилиндра угол .
tg
V
r
7

8. 4. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

в) скорость поступательного движения образует произвольный угол
вращения тела ( общий случай ).
V V1 Vx , V1 V cos ,
Vx V sin
Скорость
Vx
с осью
A
z
1
V1
О
V1
A y
заменим парой вращений
( 1, 1), выбирая 1 .
Вращения тела вокруг оси OZ с угловыми
скоростями ( , ) взаимно уничто –
1
жаются. У тела остается вращение вокруг
оси АА с угловой скоростью 1 и поступательное движение со скоростьюV1 ,
направленной параллельно оси АА.
Это соответствует мгновенному винтовому
движению.
V
x
Vx
1
ВЫВОД: движение свободного твердого тела можно рассматривать
как совокупность мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно
изменяющих свое положение и направление в пространстве винтовых осей.
ОA
V sin
8

9. МЕТОД ВИЛЛИСА ДЛЯ РАСЧЕТА УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Изложенные выше результаты
сложения вращений твердого тела вокруг параллельных или пересекающихся осей используются
в методе Виллиса (методе остановки) для кинематических расчетов
планетарных и дифференциальных
передач. Так, для определения угло вых скоростей шестерни дифферен –
циальной передачи мысленно сообщают
всему механизму вращение с угловой
скоростью АC – равной по модулю и
противоположной по направлению
угловой скорости вращения кривошипа АС.
Тогда кривошип становится неподвижным
звеном, следовательно, неподвижными
становятся и оси колес 2 и 3, что позво ляет использовать обычные формулы
для передаточных чисел.
1
1
AC
A
r1
3
2
B
r2
C
r3
AC
1 АC
r2 2 АC
r
,
3
2 АC
r1 3 АC
r2
9
English     Русский Rules