Кинематика движения твердого тела (лекция 3)

1. ЛЕКЦИЯ 3

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
1

2.

Макротело называется абсолютно твердым, если расстояния между любыми
точками этого тела остаются неизменными при всех движениях макротела.
rAB rA (t1 ) rB (t1 ) rA (t2 ) rB (t2 ) const (t ).
Углы между произвольными отрезками в
твердом теле остаются постоянными.
rCB (t ) rCA (t ) rAB (t ) rCA (t ) rAB (t ) 2 rCA (t ) rAB (t ) cos (t ) const (t );
2
2
2
2
rCA (t ) const
cos (t ) const (t )
rAB (t ) const
2

3.

Твердое тело – механическая система с числом степеней свободы,
не превышающим шести.
Мгновенное положение всех точек такого тела определяется шестью
скалярными параметрами: 3+2+1=6.
Движение произвольно выбранной точки тела имеет три степени
свободы, т.е. движение этой точки в 3-х мерном пространстве ничем не
ограничено. Вторая точка тела может двигаться только по сфере
фиксированного радиуса ( r12 const ) с центром в первой выбранной
точке, т.е. движение второй точки имеет две степени свободы,
определяемые двумя углами (полярным и азимутальным). Третья
точка тела может двигаться только по пересечению двух сфер
(радиусами r13 const и r23 const ) с центрами в первой и второй
точках, т.е. она может двигаться только по окружности и,
следовательно, третья точка обладает только одной степенью свободы.
3

4.

ВИДЫ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
•Поступательное движение;
•Вращение вокруг неподвижной оси;
•Движение тела с одной неподвижной точкой;
•Плоское движение тела;
•Произвольное движение.
Первые два типа движение является основными, последующие можно представить
как комбинации первых двух видов.
4

5. Поступательное движение

• Поступательным, называется такое движение тела, при котором
любая прямая в теле остается параллельной своему первоначальному
положению.
При поступательном движении все точки тела движутся с одинаковой скоростью (как
средней, так и мгновенной) и с одинаковым ускорением.
rA rB VA VB VA (t ) VB (t ) a A (t ) a B (t )
5

6. Вращение тела вокруг фиксированной оси

Все точки тела вращаются в параллельных друг другу плоскостях с одой и той
же угловой скоростью ω
6

7.

Кинематические характеристики вращения каждой точки тела по
окружности радиуса
V ω,ρ ω,r ; a β,ρ β,r ; an ω, ω,ρ ρ 2
a = a + a n ; a a 2 an2 2 4 .
7

8. Вращение тела вокруг неподвижной точки (сферическое движение)

Согласно теореме Эйлера –Даламбера тело с одной неподвижной точкой можно
перевести из одного положение в другое посредством одного поворота. Для малых
движений такой поворот совпадает (с точностью до величин второго порядка малости) с
реальным движением тела. Ось вращения, вокруг которой совершается малый поворот,
называется мгновенной осью вращения тела.
Мгновенные характеристики движения относятся к движению за малый промежуток времени, в течение которого
положение и ориентация мгновенной оси можно считать неизменными.
В течение малого промежутка времени каждая точка тела совершает вращение по малой дуге окружности.
Мгновенная скорость и ускорение этого вращения:
V ω,r ; a β,r ω ω,r ; β
dω
dt
В каждый момент угловая скорость ω тела направлена вдоль мгновенной оси
вращения и связана правилом правого винта с направлением вращения.
8

9. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

r1 φ1 ,r
r r1 r1
r2 φ 2 ,r r1
φ2 ,r φ 2 , r1 φ 2 ,r
dr dr1 dr2 dφ1 ,r dφ 2 ,r
dφ1 dφ 2 ,r
Перемещение данной точки тела после
поворота вокруг первой оси
Радиус –вектор точки после первого поворота
Перемещение данной точки тела после
поворота вокруг второй оси
Суммарное линейное перемещение точки в
результате двух поворотов
dr dφ,r , dφ dφ1 dφ 2
Суммарное линейное перемещение как
результат одного углового перемещения,
получающегося по правилу векторного
сложения
dφ dφ1 dφ 2
;
dt
dt
dt
Угловая скорость вращения тела равна
векторной сумме скоростей вокруг каждой из
9
осей
ω ω1 ω 2

10. Поворот вокруг неподвижной точки как результат вращений вокруг пересекающихся осей

10

11. Вращение без проскальзывания одного конуса по поверхности другого

cos(ω1ω2 ) 0
cos(ω1ω2 ) 0
Мгновенная ось вращения при движении без проскальзывания проходит
через линию соприкосновения двух конусов.
11

12.

Угловая скорость вращения вокруг мгновенной оси определяется суммой
угловых скоростей:
R1
ω ω1 ω 2 , 2 1 ;
R2
2
R
R1
2
2
1
1 2 2 1 2 cos( ) 1 1 2 2 cos( )
R2
R2
R1 , R2 радиусы оснований конусов,
, направляющие углы при вершинах конусов
12

13. Качение конуса по горизонтальной поверхности без проскальзывания

Скорость в точке соприкосновения с горизонтально поверхностью при движении без
проскальзывания
2 R V 0 2 V / R
Движение каждой точки конуса можно представить как суперпозицию вращений
вокруг взаимно перпендикулярных осей
V
y 1 tg ,
R
2
1
V
V
x 2 ,
cos sin
R cos
R
Вектор углового ускорения:
dω
V
2
β
ω1 ,ω e z 1 cos e z 1 2 e z 1 tg V 2 tg ;
dt
R
13

14. Плоское движение твердого тела

Движение тела называется плоским, если все его точки движутся в параллельных
плоскостях. Плоское движение – это, в общем случае, движение с тремя
степенями свободы: две координаты определяют положение точки тела на
плоскости и одна координата– положение самой плоскости в пространстве.
Фигура Ф – сечение тела плоскостью Р,
параллельной плоскостям движения точек тела
Плоское движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного
движения вместе с произвольной точкой О тела, и вращения вокруг проходящей через эту
точку неизменной оси.
14

15. Независимость вектора угловой скорости от выбора точки в теле.

15

16. Неоднозначность разложения элементарного перемещения твердого тела на поступательный сдвиг поворот вокруг неподвижной оси

VA VO ω,r VO ω,r
16

17. Определение положения мгновенной оси и скорости движения произвольной точки тела относительно нее

VO ω,rO 0; Rмг rO RO .
VA ω,r
Мгновенная ось может лежать как внутри, так и вне тела.
При плоском движении мгновенная ось вращения перемещается
поступательно (параллельно самое себе)
17

18. Произвольное движение твердого тела. Формула Эйлера

Произвольное движение твердого
тела можно рассматривать как совокупность
поступательного движения вместе с произвольной точкой О тела, и вращения вокруг
проходящей через эту точку мгновенной оси (теорема Эйлера).
Определение положения мгновенной оси, исключающей поступательное движение:
VO ω,rO 0; Rмг rO RO .
VA ω,r
При произвольном движении твердого тела мгновенная ось движется поступательно и
меняет свою ориентацию.
18

19. Формы движения мгновенной оси при разных видах движения твердого тела

Вид движения тела
Форма движения мгновенной оси
Поступательное движение
На бесконечности
Вращение вокруг неподвижной оси
Мгновенная ось неподвижна и
совпадает с осью вращения
Движение тела с одной неподвижной
точкой
Мгновенная прикреплена к
неподвижной точке тела непрерывно
меняет свое направление
(поворачивается)
Плоское движение
Мгновенная ось движется
поступательно (перемещается
параллельно самое себе)
Произвольное движение
Мгновенная ось движется
поступательно и меняет свое
направление
19

20. Пример плоского движения – равномерное качение цилиндра по горизонтальной плоскости.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной плоскостям движения точек
цилиндра
dR
V
VO ω, r
dt
R R O r, R O xOe x yO e y zO e z r xe x ye y ze z
ex
ω, r 0
x
ey
0
y
ez
e x y e y x e x r cos e y r sin
z
V ex VO r cos e y r sin Vxe x Vye y
0 t
Интегрируя эти уравнения, получаем
x1 (t ) xO (t ) x(t ) xO (0) VOt r sin( t 0 ), y1 yO r cos( t 0 ), z z0
xO (0) начальное значение горизонтальной координаты оси цилиндра
Если рассматриваемая точка в начальный момент находится на отвесе к оси диска
0
x1 xO (0) VOt sin( t );
y1 Rц r cos( t )

21. Качение без проскальзывания

При движении без проскальзывания все точки соприкосновения цилиндра с
плоскостью имеют нулевую скорость:
(2n 1), r Rц ;
VO Rц 0;
VO Rц
Мгновенная ось вращения при движении без проскальзывания совпадает с
линией соприкосновения цилиндра с поверхностью качения.
Распределение скоростей по диаметру сечения цилиндра от
мгновенной оси (точка М) до верхней точки обода
Ускорение каждой его точки цилиндра при равномерном
качении без проскальзывания
dV
a
2r
dt
Ускорение такое же, как при равномерном вращении цилиндра
вокруг своей оси, т.е. направлено к оси цилиндра, а не к
мгновенной оси.
21

22.

Параметрическое задание траектории каждой точки обода цилиндра при
начальном условии x1 (0) y1 (0) 0
x1 VOt Rц sin( t ) Rцt Rц sin( t ) Rц sin ;
y1 Rц (1 cos t ) Rц (1 cos ) 2Rц sin 2 / 2
t 0
Кривая называется циклоидой (κυκλοειδής — круглый). Эволюта циклоиды также
является циклоидой, «опережающей эвольвенту на четверть периода
22

23.

Определение радиуса кривизна циклоиды из кинематических
характеристик движения цилиндра.
Амплитуда циклоиды равна 2 Rц
Длина одной арки равна 8 Rц
Vx Rц 1 cos( t ) 2 Rц sin 2 ( t / 2);
Vy Rц sin( t ) 2 Rц sin( t / 2) cos( t / 2);
V Vx2 Vy2 2 Rц sin( t / 2);
dV
Rц 2 cos( t / 2); a 2 Rц ; an a 2 a 2 2 Rц sin( t / 2);
dt
4 R , (2n 1);
v2
4 R0 sin( t / 2) 4 R0 sin( / 2) 0
0, 2 n
an
a
23

24.

Замечательные свойства циклоиды
(Г.Н.Берман. «Циклоида»)
Время обращения по одной арке T 2 /
Это время не зависит от радиуса цилиндра и, следовательно, от амплитуды циклоиды.
Впервые это замечательной свойство «таутохронности» (равномерности) движения по
циклоиде было замечено Х.Гюйгенсом и положено в основу сконструированного им
«циклоидального маятника». Период обращения такого маятника не зависит от амплитуды
его колебаний.
Перевернутая циклоида является траекторией наискорейшего спуска с заданной высоты
(«брахистохроной»). Это ее свойство впервые заметил Я.Бернулли.
Свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды,
достигает горизонтали за одно и то же время.
24

25. Укороченная циклоида. Качение с проскальзыванием.

При качении без
проскальзывания любая
внутренняя точка цилиндра
движется по укороченной
циклоиде. Мгновенная ось
проходит по линии
соприкосновения цилиндра с
плоскостью качения
Качение с проскальзыванием
означает, что точки
соприкосновения цилиндра с
плоскостью имеют скорость в
направлении поступательного
цилиндра: VO Rц
Точки на поверхности цилиндра движутся по укороченной циклоиде, а мгновенная ось
параллельна оси цилиндра и проходит ниже точек соприкосновения цилиндра с
плоскостью. Расстояние от оси цилиндра до мгновенной оси в этом случае
Rc V / R0
25

26. Удлиненная циклоида. Качение с буксировкой.

При качении с пробуксовкой точки на линии соприкосновения цилиндра с
плоскостью качения имеют скорость, направленную против скорости
поступательного движения оси цилиндра: VO Rц
Точки на поверхности цилиндра движутся по удлиненной циклоиде
Мгновенная ось, параллельная оси цилиндра, лежит внутри цилиндра на
расстоянии от его оси, равным Rc V / R0
26