Простейшие движения твердого тела

1. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
КИНЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ 2

2. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА

Очевидно,
что если известен закон движения всех N точек тела, то
можно определить его положение и кинематические
характеристики всех составляющих его точек.
Вопрос:
можно ли это сделать, имея сведения о движении (зная
закон движения) лишь некоторой совокупности n<N точек
данного тела?
2
Кинематика тела

3. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА

z
A2
A1
x
Покажем,
что
положение
твердого тела вполне определяется
заданием
6-и
независимых
параметров.
Возьмем 3-и не лежащие на
одной прямой точки тела A1, A2, A3
с координатами
A3
O
y
xk=xk(t), yk=yk(t), zk=zk(t) (k=1, 2, 3).
Их положение характеризуется 9-ю параметрами
(координатами).
3
Кинематика тела

4. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА

Соединим точки между собой.
z
d1
A1
d3
x
O
Так как расстояния d1, d2, d3 не
изменяются, то координаты точек должны
удовлетворять уравнениям
A2
d 2 A4
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 d12
A3
y
( x3 x2 ) 2 ( y3 y2 ) 2 ( z3 z2 ) 2 d 22 (1)
( x1 x3 ) 2 ( y1 y3 ) 2 ( z1 z3 ) 2 d32
Следовательно из девяти координат независимых только
шесть, остальные три определяются из уравнений (1).
Если взять еще одну точку A4 с координатами x4, y 4, z 4,
то эти координаты должны будут удовлетворять трем
уравнениям вида (1).
4
Кинематика тела

5. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА

Положение твердого тела относительно произвольно
выбранной системы координат вполне определяется 6-ю
независимыми параметрами.
Число
независимых
параметров,
определяющих
положение системы в пространстве называют числом
степеней свободы.
5
Кинематика тела

6. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательным называется движение тела, при котором
прямая, соединяющая две любые его точки, остается в
процессе движения параллельной самой себе
6
Поступательное движение

7. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательным называется движение тела, при котором
прямая, соединяющая две любые его точки, остается в
процессе движения параллельной самой себе
7
Поступательное движение

8. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Теорема При поступательном движении тела все его
точки описывают одинаковые траектории и имеют в каждый
момент времени одинаковые скорости и ускорения
8
Поступательное движение

9. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

II
I
B0
z
rB
B
rA
A
A0
rA
rB
Доказательство.
Пусть твердое тело движется
поступательно относительно системы
координат Oxyz. Из рисунка следует
rB rA
(2)
В момент времени t тело занимало
положение I, а в момент t+ t положение II.
O
y
x
Во время движения вектор не изменяется,
A0B0 и AB равны и параллельны, A0B0BA – параллелограмм и
rA rB , т. е. перемещения всех точек равны между собой.
Продифференцировав (2) по времени, получим
drB drA d
.
dt
dt dt
9
Поступательное движение
(3)

10. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

d
0
,
то
Так как const
dt
или vB v A .
и
drB drA
dt
dt
(4)
Дифференцируя (4) устанавливаем связь между
ускорениями точек тела при поступательном движении
aB a A .
Теорема доказана
Поступательное движение тела полностью определяется
движением одной (любой) его точки.
Описание поступательного движения сводится к уже
изученной кинематике точки.
10
Поступательное движение

11. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (вращение тела вокруг неподвижной оси)

Вращательным называется движение, при котором хотя бы
две точки остаются неподвижными
B
При движении тела с все точки на
прямой AB остаются неподвижными.
Прямую AB называют осью вращения,
A
Все точки тела описывают дуги окружности с
центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из
этих точек на ось вращения.
11
Вращательное движение

12. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Возьмем на оси вращения две точки A и B
B
z
.
С
A
y
Так как положение точек A и B – известно,
то положение тела будет полностью
определено, если мы будем знать в любой
момент времени положение какой-либо не
лежащей на оси вращения точки C тела.
x
Из трех координат этой точки независимой будет только одна,
так как расстояния AC и BC постоянны
(xA-xC)2+(yA-yC)2 +(zA-zC)2 =AC2,
(xB-xC)2+(yB-yC)2 +(zB-zC)2 =BC2.
Положение тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, определяется одним параметром
12
Вращательное движение

13. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

z1
z
A
x
(t) x1
Направим ось
Az
неподвижной
системы координат Axyz вдоль оси
вращения тела.
Возьмем подвижную систему координат
Ax1y1 z1, жестко связанную с телом.
y1
(t) Положение тела будет полностью
y определено, если задан угол (t) между
неподвижной
Axz и подвижной Ax1z1
плоскостями.
(t) угол поворота тела
> 0 поворот против часовой стрелки, < 0 поворот по
часовой стрелки.
13
Вращательное движение

14. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ

Угловой скоростью тела называется вектор, равный по
величине производной от угла поворота по времени и
направленый вдоль оси вращения в сторону, откуда вращение
видно проходящим против часовой стрелки
z
O1
d
Z
dt
Угловым ускорением называется вектор,
равный производной по времени от вектора
угловой скорости
O
d
dt
14
Вращательное движение

15. СКОРОСТИ ТОЧЕК ПРИ ВР. ДВИЖЕНИИ

z1
z
дифференцируя который по времени,
y1 находим скорость точки B
rB (t )
vB rB x B (t ) i y B (t ) j
y Чтобы определить x и y , рассмотрим
B
B
проекции радиус-вектора rB на оси Ox и Oy:
xB (t ) RB cos (t ) yB (t ) RB sin (t )
RB
yB
дифференцируя которые по времени, получим
y
x B (t ) RB sin (t ) RB sin (t )
B(t)
B(0)
rB (0)
О
x
Положение произвольной точки
B
тела относительно неподвижной системы
координат определяется законом движения
rB rB (t ) xB (t ) i yB (t ) j z B (t ) k ,
x1
О
xB
B
x
15
Вращательное движение
y B (t ) RB cos (t ) RB cos (t )

16. СКОРОСТИ ТОЧЕК ПРИ ВР. ДВИЖЕНИИ

vB RB sin i RB cos j ( yB i xB j ).
Полученное выражение для скорости можно записать в виде
vB RB rB ,
где RB - радиус-вектор вращения точки B в плоскости Oxy.
Действительно по определению векторного произведения
i
j k
i
j k
rB 0 0 RB 0 0 ( j xB i y B ).
xB y B z B
xB y B 0
Так как RB , то модуль скорости точки B
определяется так
vB RB ,
т.е. скорости точек вращающегося твердого тела
пропорциональны их расстояниям до оси вращения.
16
Вращательное движение

17. УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ВР. ДВИЖЕНИИ

Продифференцируем выражение для скорости точки vB rB
по времени
d
d d
aB ( rB ) rB rB
dt
dt
dt
d
rB ( xB i y B j z B k ) rB ( x B i y B j )
dt
rB vB rB ( rB ).
z
Ускорение rB направлено по касательной
к траектории точки B и называется
aB v
B
вращательным ускорением
C
r
r
c
r aB rB (его модуль aB rB sin( , rB ) RB ).
B
aB
a
rB (t ) B
Вторая часть ускорения
c
aB vB ( rB )
О
y
направлена к оси вращения и по модулю равна
c
2
x
a B vB RB .
Это ускорение называется центростремительным.
17
Вращательное движение