Множества и матрицы

1. Тема: Основные понятия теории множеств

Множество – совокупность объектов
(элементов), объединенных по некоторому
признаку. В зависимости от числа элементов
множества различают как конечные или
бесконечные. Множество, не содержащее
элементов, называют пустым ( ).
Говоря о множестве X, полагают, что для
объекта имеются 2 возможности: или он
является его элементом (x X); или нет (x X).

2.

Способы задания множества:
1) перечисление всех элементов множества
A = {a1, a2, …, an, …};
2) указание общего свойства, которым обладают
все элементы множества
A = {a| B (a)}.
Например, множество четных натуральных
чисел
1) X = {2, 4, 6, 8, …} или
2) X = { x| x = 2·n для каждого n N}.

3.

N - множество натуральных чисел
{1, 2, 3, ............}
Z - множество целых чисел{..., -1, 0, 1, ...}
Q - множество рациональных чисел;
a
{..., b
a
, 0,
, ....}
b
R - множество действительных чисел
(-∞, ∞)

4.

Операции над множествами
Множество А называют подмножеством
множества В (А ⊂ В), если каждый элемент
А является также элементом множества В.
Множество всех студентов факультета,
подмножество – студенты ОЗО.
Множества А и В называют равными
(А = В), если каждый элемент множества А
является одновременно элементом В и
наоборот, т.е. если А В и В А.

5.

Множество I называется универсальным
для некоторой системы множеств, если
каждое множество системы является
подмножеством I ,
т.е. A I, B I, C I ...
Дополнением множества А (обозначают Ā)
называют множество, состоящее из тех
элементов универсального множества,
которые не входят в множество А.

6.

Суммой (объединением) двух множеств А и В
(А + В или А U В) называется множество С,
состоящее из тех элементов, которые
принадлежат или множеству А, или В, или А
и В одновременно.
Произведением (пересечением) двух множеств
А и В (А ∙ В или А ∩ В) наз. множество С,
состоящее только из тех элементов, которые
принадлежат множествам А и В
одновременно.

7.

Разностью двух множеств А и В (А - В или А \ В)
наз. множество тех элементов множества А, которые
не принадлежат множеству В.
Непересекающиеся множества А ∩ В = Ø.
Мощностью (длиной, размерностью) множества
называют число его элементов.
Прямым (декартовым) произведением А×В множеств
А и В называют множество, содержащее все пары
элементов, в которых на первом месте стоит элемент
из А, на втором - элемент из В.
(Рене Декарт,трактат Рассуждение о методе, 1637г.).

8.

Пример. Заданы множества: А = {-2, -1, 0, 1, 2} и
B = {0, 2, 4, 5}. Найти А ∩ В; АUВ; А × В; B × A;
А \ В; В \ A и их мощность.
Решение: Множества А и B состоят из пяти и
четырёх элементов, соответственно их мощность:
|A| = 5, |B| = 4.
Объединение (U) множеств состоит из всех
элементов, принадлежащих и множеству А, и
множеству В
А U В = {-2, -1, 0, 1, 2, 4, 5} и | А U В | = 7.

9.

Пересечение (∩) множеств состоит только из
общих для обоих множеств элементов:
А ∩ В= {0, 2}, | А ∩ В | = 2.
Разность множеств А и В состоит из элементов А,
которые не принадлежат множеству В:
А \ В = А – В = {-2, -1, 1}; | А \ В | = 3.
Аналогично В \ A = В – А = {4, 5}; | В \ A | = 2.

10.

Прямое (декартово) произведение:
А × В = {(-2, 0); (-2, 2); (-2, 4); (-2, 5); (-1, 0);
(-1, 2); (-1, 4); (-1, 5); (0, 0); (0, 2); (0, 4); (0, 5);
(1, 0); (1, 2); (1, 4); (1, 5); (2, 0); (2, 2); (2, 4); (2, 5)}.
B × A = {(0, -2); (0, -1); (0, 0); (0, 1); (0, 2); (2, -2);
(2, -1); (2, 0); (2, 1); (2, 2); (4, -2); (4, -1); (4, 0);
(4, 1); (4, 2); (5, -2); (5, -1); (5, 0); (5, 1); (5, 2)}.
Из примера видно, что А × В ≠ B × A, но при этом
| А × В | = | B × A | = | А | · | В | = 5 × 4 = 20.

11.

Пример.
Заданы множества А={2; 6; -6}; В ={4; -4} ,
тогда декартовым произведением множеств А×В
является…
Варианты ответов:
1. {(4, 6), (6, 4), (6, -4),
2. {-6, -4, 2, 4, 6}
(-6, -4), (4, -6), (-4, 2)}
3. {Ø}
4.{(2, 4), (2, -4), (6, 4),
(6, -4), (-6, 4), (-6, -4)}
Ответ: пункт № 4.

12.

Пример:
Если бинарное отношение задано неравенством:
x + 3y ≤ 0, то данному отношению
принадлежит следующая пара действительных
чисел …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) (-1, 1)
Ответ:
2) (0, 0)
пункт № 2.
3) (1, 3)
4) (2, 2)

13.

Пример:
Заданы множества C = {1; 2; 3; 4} и D = {1; 2; 3}.
Верными для них являются утверждения…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) «Множество D есть подмножество множества C»
2) «Множества C и D не равны»
3) «Множество C есть подмножество множества D»
4) «Множество C конечно»
5) «Множество D конечно»
Ответ: верны все утверждения, кроме пункта № 3.

14.

Пример:
Если A есть множество нечетных
натуральных чисел, а В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
то количество элементов множества
А ∩ В равно …
Ответ: А ∩ В = {1, 3, 5, 7} – четыре элемента.

15.

Пример.
Даны числовые множества А = (0; 4) и В = [1; 5].
Найти А +В, А∙В, А - В и дополнения данных множеств.
Решение.
На числовой оси рассмотрим сумму А + В:
Ответ. Сумма А + В = ( 0; 5 ].

16.

Аналогично рассмотрим произведение А∙В и
разность А - В:
Ответ. Произведение А ∙ В = [1; 4).
Ответ. Разность А - В = (0; 1).

17.

Найдем дополнение множества А:
Ответ. Дополнение множества А:
= (-∞; 0] U [4; ∞).
Найдем дополнение множества В:
Ответ. Дополнение множества В:
= (-∞; 1) U (5; ∞).

18.

Пример:
Пусть М1 = {a; b; c; d}; М2 = {e; f; g};
М3 = {a; b; c; d; e; f; g}.
Тогда множество М1 равно…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) М1 ∩ М2
2) М3 \ М2
3) М2 ∩ М3
4) М2 \ М3
Ответ: пункт № 2.

19.

Пример:(выбрать варианты согласно указанной
последовательности)
Заданы произвольные множества А, В, С.
Расположите указанные данные множества так,
чтобы каждое из них было подмножеством
следующего за ним.
1) А U В
2) А U В U С
3) А ∩ В
4) А
Ответ: 3), 4), 1), 2).

20.

Задание №1 (выбрать один вариант ответов)
Заданы множества А={1, 2, 3} и В={1, 2, 3, 4, 5}.
Верным для них будет утверждение …
1)«Множества А и В равны »
2)«Множество А есть подмножество множества В»
3)«Множества А и В не имеют общих элементов»
4)«Множество А включает в себя множество В »
Ответ: пункт № 2

21.

Задание №2 (выбрать варианты согласно
указанной последовательности)
Даны множества А = {a, b, c, d, e, f } и
B = {d, e, f, k, m, n}. Установить соответствие
между обозначениями множеств и самими
множествами.
1.А ∩ В
2. А U В
3. А \ В
4. В \ А
Варианты ответов
A) {a, b, c, d, e, f, k, m, n }
B) { k, m, n }
C) { d, e, f }
D) {a, b, c }

22.

Числовая последовательность
Если каждому натуральному числу n поставлено в
соответствие число хn, то говорят, что задана
последовательность {x1, х2, …, хn } = {xn}.
x1 – 1-ый элемент, х2 — 2-ой, ..., хn — n-ый член
последовательности.
Чаще последовательность задается формулой
общего элемента, которая позволяет вычислить
любой член последовательности по номеру.
xn = f(n)

23.

Так, равенства
1
n 1
v n n 1, z n ( 1) n, y n , a n
, n N
n
n
задают соответственно последовательности
2
n
v n { 2, 5, 10, ... , n 1, ...}
2
z n { 1, 2, 3, 4, ...
, ( 1) n , ...}
n
1 1 1
1
y n {1, , , , ..., , ...}
2 3 4
n
1 2 3 4 5
n 1
a n {0, , , , , , ...,
,...}
2 3 4 5 6
n

24.

25.

Число а называется пределом данной
последовательности {an}, если для
любого ε > 0 существует такой номер nε, что для
всех номеров n ≥ nε выполняется
неравенство |an - a| < ε, записывают lim a n = a или
n →∞
или an → a при n → ∞. Последовательность, у
которой существует предел, называется
сходящейся. Последовательность, не являющаяся
сходящейся - расходящаяся. Неравенство |an - a| < ε
равносильно a – ε < an< a + ε

26.

Если lim a n = a и an ≤ a для всех n=1, 2,…, то
n →∞
говорят, что последовательность {an} сходится к
числу а слева, или lim a n = a - 0
n →∞
соответственно если an ≥ a, то lim a n = a + 0 - предел
n →∞
справа.
Последовательность {xn} называют бесконечно
большой, если для любого числа ε существует
такой номер nε, что для всех n ≥ nε выполняется
неравенство |xn| > ε, то есть lim x n = ∞
n →∞
(последовательность имеет бесконечный предел).

27.

Числовая последовательность может иметь только
один предел, конечный или бесконечный
определённого знака.
Последовательность bk, k =1, 2,…, называется
подпоследовательностью последовательности {an},
если для любого k существует такое натуральное
число nk, что bk = ank , причем, nk1 < nk2 , только
тогда, когда k1 < k2 (то есть, порядок следования
элементов в подпоследовательности такой же, как
в исходной последовательности).

28.

Следует различать последовательность {an}, то
есть множество элементов an и множество
значений ее элементов. Первое множество всегда
бесконечно, а второе состоит из всех чисел,
являющихся значениями элементов и может быть
конечно. Последовательность называется
ограниченной сверху (снизу), если множество
значений ее элементов ограничено.
Последовательность, ограниченная сверху и снизу,
называется просто ограниченной. Если
последовательность имеет предел, то она
ограничена.

29.

Точная верхняя (нижняя) граница множества
значений элементов последовательности {an}
называется верхней (нижней) границей данной
последовательности и обозначается sup {an}, или
sup a n (или inf {an}).
n =1, 2..
Последовательность {xn} называется
возрастающей (убывающей), если для
каждого n=1, 2,… выполняется неравенство
xn ≤ xn+1 (соответственно, неравенство xn ≥ xn+1).
Возрастающие и убывающие последовательности
называются монотонными.

30.

Всякая возрастающая (убывающая)
последовательность {xn} имеет предел, конечный,
если она ограничена сверху (снизу), и
бесконечный, равный + ∞ (- ∞), если она не
x n = sup {x n }
ограничена сверху (снизу), причем nlim
→∞
x n = inf {x n } )
(соответственно nlim
→∞

31.

Из любой ограниченной последовательности
можно выделить сходящуюся
подпоследовательность, а из любой
неограниченной последовательности можно
выделить бесконечно большую
подпоследовательность, имеющую своим
пределом бесконечность определенного знака.

32.

1. Если x n ∈ R, y n ∈ R , z n ∈ R , n = 1,2,...
x n ≤ y n ≤ z n и lim x n = lim z n = a ∈ R , то lim y n = a
n →∞
n →∞
n →∞
2. Если x n ≤ y n x n ∈ R, y n ∈ R , n = 1,2,... и lim x n = + ∞
n →∞
(или lim y n = -∞ ), то limx
n →∞
n →∞
n
= - ∞ (или lim y n = + ∞ )
n →∞

33.

34. Матрицы. Операции над матрицами.

Матрицей m x n называется прямоугольная таблица,
состоящая из m строк и n столбцов. Числа таблицы
называют элементами матрицы и обозначают аij, первый
индекс - номер строки, а второй номер столбца.
a 11
a 21
a
m1
a 12
a 22
a m2
a 1n
a 2n
a mn
i 1, m, j 1, n.
A
,
m
n

35.

Элементы квадратной матрицы {1, 2, 0, 7},
образуют главную диагональ (
),
а элементы {5, -1, 2, -5} побочную (
).
1 3 0
2 1
0
B
10
2
0
5 0
2
5
4
3
7
Матрица, у которой число строк равно числу
столбцов (m = n), - квадратная. Порядком квадратной
матрицы называется число ее строк (столбцов).
Если m n, то матрица прямоугольная.

36.

Матрица, состоящая из одной строки, называется
матрицей-строкой: А=(-1; 0; 3; 6; 8).
Матрица, состоящая из одного столбца, называется
матрицей-столбцом.
Нулевой называется квадратная матрица, все элементы
которой равны нулю.
0 0
Нулевая матрица 2-го порядка: О =
0 0
Единичная - квадратная матрица, у которой все элементы
главной диагонали равны 1, остальные – 0,
1
Единичная матрица 3-го порядка: Е = 0
0
0
1
0
0
0
1

37.

Если в матрице А все строки заменить столбцами, то
полученная матрица называется транспонированной (Ат ).
Пример:
8 7 6
A 4 3 2
7 1 5
8 4 7
T
A 7 3 1
6 2 5

38.

Диагональная матрица — квадратная матрица,
все элементы которой, стоящие вне главной
диагонали, равны нулю.
Диагональная матрица имеет вид:
a 11
0
A
0
0
a 22
0
0
0
a nn

39.

Симметричной (cимметрической) называют
квадратную матрицу, элементы которой
симметричны относительно главной диагонали.
Примеры

40.

ОПЕРАЦИИ
НАД МАТРИЦАМИ

41.

Равенство матриц
Две матрицы А и В равны между собой, если они
одинакового размера и их соответствующие
элементы равны, т.е.
А = В, если aij = bij (i=1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n).
Сложение матриц
Складывать можно только матрицы одинакового
размера поэлементно
C cij m n
A a ij m n
B bij m n
C A B a ij bij m n

42.

Пример:
1
A 0
1
2
2
2
3
1
4
1 1
C A B 0 0
1 10
3
0
1
B 0 2 11
10 0
4
2 3 3 0 2 5 3
2 2 1 11 0 0 12
2 0 4 4 11 2 8

43.

Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу А на число надо
умножить на это число каждый элемент матрицы.
Пример:
1
A 0
1
3 1
B 3 A 3 0
3 1
2
2
2
3
1 . Найти B = 3·A
4
3 2
3 2
3 2
3 3 3
3 1 0
3 4 3
9
3
6 12
6
6

44.

ЗАДАНИЕ ( выберите вариант ответа)
Если
, то матрица 5А имеет вид...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)

45.

Вычитание матриц
A – B = A + (-1) B
Пример:
1
A 0
1
2
2
2
3
1
4
3
0
1
B 0 2 11
10 0
4
1 1 2 3 3 0 0 1 3
C A B 0 0 2 2 1 11 0 4 10
1 10 2 0 4 4 9 2
0

46.

Произведение двух матриц
Умножать можно только те матрицы, для
которых число столбцов в первой матрице
равно числу строк во второй матрице (!!!).
Произведением двух матриц A и B называется
матрица С, у которой элемент Сij находится по
n
формуле:
с ij a ik b kj a i1 b1 j ... a in b nj
k 1
i=1 , 2,…, m; j=1 , 2,…,p, т.е. элемент матрицы Cij,
стоящий на пересечении i – строки и j - столбца
равен сумме произведений элементов i – строки
матрицы А на соответствующие элементы j столбца матрицы В.

47.

В результате умножения матрицы А на матрицу В
получится матрица С число строк , которой равно
числу строк матрицы А, а число столбцов равно
числу столбцов матрицы В.
Пример:
2 3
1 2 3
A
B
1 4 2 2
4 5 6
2 3
2 1 3 4 2 2 3 5 2 3 3 6 14 19 24
C A B
1 1 4 4 1 2 4 5 1 3 4 6 17 22 27
Если А В = В А, то матрицы называются
перестановочными.

48.

Определители и их свойства
Определителем квадратной матрицы
(детерминантом) называется число, которое
ставится в соответствие матрице и может быть
вычислено по её элементам. Детерминант (от лат.
determinans, родительный падеж determinantis —
определяющий) обозначается det.
det A
a11
a12
...
a1n
a 21
a 22
... a 2 n
...
a n1
...
an2
... ...
... a nn

49.

Квадратная матрица первого порядка состоит из
одного элемента, поэтому её определитель равен
самому элементу a a
11
11
Определитель второго порядка вычисляется по
формуле:
a11
a12
a 21
a 22
a11a 22 a 21a12

50.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу
треугольника:
a11
a 21
a12
a 22
a13
a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31
a 31
a 32
a 33
a 21a 32a13 a 31a 22a13
a 32a 23a11 a 21a12a 33

51.

Схема вычисления определителя 3-го порядка
(правило треугольника французского математика
Саррюса).
рис. 1 (+).
рис. 2. (-)
+
По схеме на рис. 1, произведение элементов
берется со знаком плюс, а по схеме рис. 2 – со
знаком минус (!!!).

52.

Пример 1. Найдём определитель следующей матрицы:
А=
Тогда по правилу треугольника получаем:
det A= 1∙0∙5 + 3∙(-1)∙(-2) + 2∙2∙4 - 4∙0∙(-1) - 3∙2∙5 - 1∙2∙(-2)= -4.
Пример 2. Даны две матрицы:
А=
В=
Найти: С = 2∙А + А∙В.
2 1 2 0 2 3 2 0 6
2А= 2 0 2 8 2 0 0 16 0
2 4 2 0 2 5 8 0 10

53.

Рассмотрим решение примера подробнее:
1 0 0 6 3 0 1 4 0 0 3 8 1 0 0 7 3 0 0 28 0
А∙В = 0 0 8 6 0 0 0 4 8 0 0 8 0 0 8 7 0 0 48 0 56
4 0 0 6 5 0 4 4 0 0 5 8 4 0 0 7 5 0 0 56 0
С = 2А+АВ =
2 0 0 28 6 0 2 28 6
0 48 16 0 0 56 48 16 56
8 0 0 56 0 10 8 56 10

54.

Свойства определителей
1. При транспонировании величина определителя
не меняется. Строки и столбцы эквиваленты.
2. Если в определители поменять местами какиелибо две строки (столбца) местами - он меняет
знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми столбцами
(строками) равен 0.
4. При умножении элементов какого-либо столбца
(строки) на число , определитель
увеличивается в это же число раз.

55.

5. Если все элементы какого-либо столбца
(строки) равны 0, то определитель равен 0.
6. Если элементы двух строк (столбцов)
пропорциональны, то определитель равен 0.
ЗАДАНИЕ (выберите вариант ответа)
Определитель
равен 0 при α = …
ВАРИАНТЫ:
1) – 4
3) 0
2) 3
4) 4

56.

Произведение определителей.
det (AB) = detA detB
1 2
5 2 .
Пример: Даны матрицы А =
,
В
=
3 4
1
3
Найти det (AB).
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2;
det B = 15 – 2 =13; det (AB) = det A det B = -26.
2- й способ: AB = 1 5 2 1 1 2 2 3 7
8 ,
3 5 4 1 3 2 4 3 19 18
det (AB) = 7 18 - 8 19 = 126 – 152 = -26.

57.

Ранг матрицы - натуральное число равное наибольшему
из порядков определителей отличных от нуля среди
порожденных матрицей. Обозначение: Rang A или r (A).
Если r (A) = k, значит:
1. Существует определитель порядка k ≠ 0;
2. Все определители порядка больше чем k равны 0.
ЗАДАНИЕ. Ранг квадратной матрицы А четвертого
порядка равен r (A) = 1. Тогда определитель матрицы …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) det (A) = 5
2) det (A) = 0
3) det (A) = 1
4) det (A) = 4

58.

Исследование систем
линейных уравнений

59.

Рассмотрим систему m уравнений c n неизвестным
(1)
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
..........
..........
..........
..........
.......
a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn
где a11, …, amn - коэффициенты системы
х1, х2,…, хn – неизвестные переменные
b1,…,bm - свободные члены (правая часть системы)

60.

Решениями системы являются n чисел, которые при
подстановке в (1) превращают уравнение в тождество.
Система лин. уравнений наз. однородной, если все её
свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0),
иначе — неоднородной; квадратной, если число m
уравнений равно числу n неизвестных (m = n).
Система, имеющая решения называется совместной, не
имеющая - несовместной.
Система называется определенной, если она имеет только
одно (!) решение и неопределенной, если более одного.

61.

Для системы (1) матрица коэффициентов системы
a11
a 21
А=
...
a
m1
a12
a 22
...
am2
a1n
... a 2 n
... ...
... a mn
...
Расширенная матрица системы
a11
a 21
А* = ...
a
m1
a12
...
a1n
a 22
...
a2n
...
am2
... ...
... a mn
b1
b2
...
bm

62.

Обозначим: A a
ij
m n
- матрица системы,
b1
...
B
- матрица свободных членов,
...
b
m m 1
х1
х 2 - матрица неизвестных.
Х
...
х
n n 1
Тогда, по правилу умножения матриц, система (1)
записывается в матричном виде:
А Х = В
(2)

63.

ЗАДАНИЕ ( выберите вариант ответа)
Дана система линейных уравнений
Тогда матричная форма записи имеет вид ...

64.

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)

65.

К элементарным преобразованиям относятся:
1) Прибавление к обеим частям одного уравнения
соответствующих частей другого, умноженных
на одно и то же число, не равное нулю.
2) Перестановка уравнений местами.
3) Удаление из системы уравнений, являющихся
тождествами для всех х.