Основы оптимальной обработки сигналов. Оптимальная оценка параметра сигнала. Тема 4

1. Тема 4:

Основы оптимальной обработки сигналов.
Оптимальная оценка параметра сигнала.

2.

Основные понятия
Оптимальный приёмник устройство обработки, обеспечивающее
наилучшее выделение полезной информации из сигнала, принимаемого в
смеси с аддитивной шумовой помехой
Шумовая помеха нормальный белый шум
Синтез оптимального приёмника нахождение структуры и
параметров устройства обработки, обеспечивающее наилучшее
выделение полезной информации из определённого типа сигнала
Критерий оптимальности приёмника правило, которое определяет,
какой способ выделения полезной информации считается наилучшим
Примеры:
- критерий минимума СКО
- критерий максимума апостериорной вероятности

3.

изучаются в курсе
Задачи, решаемые в теории оптимального
приёма сигналов
1. Обнаружение сигнала на фоне помех
2. Различение двух или нескольких сигналов на фоне помех
3. Оценка одного или нескольких параметров сигнала,
принимаемого в смеси с помехами
4. Фильтрация (выделение) сигнала из смеси с помехами
(Задачи 1 и 2 – частный случай задачи 3)

4.

10.1. Оптимальная оценка
параметра сигнала
Априорная и апостериорная вероятности
a priori «из предыдущего» (до «опыта»)
a posteriori «из последующего» (после «опыта»)
Принимаемая смесь сигнала и шума: y (t ) s (t ) n(t )
До начала обработки известно (априорная информация):
вид сигнала
распределение вероятностей шума
априорное распределение вероятностей параметра
Обрабатываются N отсчётов принятого колебания:
y y1 , y2 ,
или реализация
, yN s n
y (t ) s (t ) n(t )

5.

Формула полной вероятности
Р( АВ) Р( А) Р( В А) Р( В) Р( А В)
Совместная плотность вероятности
отсчётов y и параметра
w( , y)
w( | y ) w(y)
w( | y) w(y) w(y | ) w( )
w(y | ) w( )
w(y | ) L( ) условная плотность вероятности отсчётов y при
условии, что параметр равен (функция правдоподобия)
w( ) wpr ( ) априорная плотность вероятности параметра
w( | y) wps ( ) апостериорная плотность вероятности параметра
при условии, что приняты отсчёты y
w(y ) плотность вероятности отсчётов y

6.

Формула Байеса. Функция правдоподобия
1
wps ( )
L( )wpr ( ) c1 L( )wpr ( )
w(y )
Функция правдоподобия L( ) w(y | ) w( y1 , y2 , , yN | )
условная плотность вероятности отсчётов принятой
смеси сигнала и шума, рассматриваемая как функция
параметра
5

7.

Функция правдоподобия параметра сигнала,
принимаемого на фоне нормального белого шума
1-й шаг - находим функцию правдоподобия при следующих условиях:
а) спектр шума ограничен частотой f в ,
дисперсия шума 2 G0 f в
б) отсчёты y y1 , y2 ,
, y N берутся
G( f )
G0
с частотой f д 2 f в (по теореме Котельникова)
Получаем L( ) w( y1 , y2 ,
, y N | )
0
fв
f
G( f )
2-й шаг - переходим к пределу:
f в G( f ) белый шум, дисперсия шума 2 G0
f д , N y y (t ) непрерывное колебание
Получаем L( ) w( y(t ) | )
0
f

8.

Функция правдоподобия при ограниченной частоте fв
АКФ шума
fв
0
0
K ( )
2
K ( ) G ( f ) cos 2 f df G0 cos 2 f df
G0 f в
tд
sin 2 f в
sin 2 f в
2
2 f в
2 f в
3 tд
0
2 tд
1
,
Отсчёты шума, взятые с интервалом дискретизации tд 1 f д
2 fв
некоррелированны и статистически независимы (т.к. имеют
нормальное распределение)
L( ) w( y1 , y2 ,
, y N | ) w( y1 | ) w( y2 | )
N
w( y N | ) w( yi | )
i 1

9.

Функция правдоподобия при ограниченной частоте fв
Нормальное распределение вероятностей отсчётов:
w( yi | )
N
1
2
2
e
N
L( ) w( yi | )
i 1
i 1
yi s i 2
2 2
, где s i s (i 1) tд отсчёт сигнала
1
2
2
e
yi s i 2
2 2
1
2
2
N
1 N
2
exp
y
s
i
2 i
2
i 1
Дисперсия шума 2 G0 f в , следовательно
1
L ( )
2 G f
0 в
1
2 G f
0 в
N
1
exp
2G0 f в
2
y
s
i i
i 1
N
N
1
exp
G0
N
yi s i
i 1
2
tд
1
tд
2 fв

10.

Функция правдоподобия при
1
L( ) lim
f в 2 G f
0 в
0
N
1 N
1
2
exp
y
s
t
lim
i
i
д
2 G f
G0 i 1
Nf в
0 в
N
1 N
2
lim exp yi s i tд
tд 0
G0 i 1
1 T
1 T
2
2
exp y (t ) s (t ) dt c2 exp y (t ) s (t ) dt c2 exp k ( )
G0 0
от не
G0 0
неопределённость
зависит
1
Аргумент экспоненты : k
G0
1
G0
fв
T
2
y
(
t
)
dt
0
G0
2
от не зависит
T
T
1
2
2
dt
y
(
t
)
s
(
t
)
dt
y
(
t
)
2
y
(
t
)
s
(
t
)
s
(
t
)
0
G0 0
2
Ec ( )
1
2
y
(
t
)
s
(
t
)
dt
s
(
t
)
dt
c
q
(
)
3
0
G0 0
G0
T
корреляционный
интеграл
T
энергия
сигнала
L( ) c2 ec3 eq ( ) e
Ec ( )
G0

11.

Апостериорная плотность вероятности параметра
wps ( ) c1 L( ) wpr ( ) c1c2 ec3 eq ( ) e
Ec ( )
G0
wpr ( ) Ceq ( ) e
Ec ( )
G0
wpr ( )
Оценка параметра по критерию максимума апостериорной вероятности:
ˆ argmax wps ( ) argmax ln wps ( )
q ( ) EcG( )
Ec ( )
0
ln wps ( ) ln Ce e
wpr ( ) ln C q( )
ln wpr ( )
G0
T
2
q ( )
y (t ) s (t )dt корреляционный интеграл
G0 0
T
Eс ( ) s 2 (t )dt энергия сигнала
0