2.28M

Category:

physics

Оценка задержки радиосигнала с неизвестной начальной фазой

1.

Оценка задержки радиосигнала с неизвестной
начальной фазой (1)
Сигнал с неизвестной начальной фазой
Совместная оценка
задержки и фазы
ln wps ( , )
ˆ
max
ˆ , ˆ
ln wps max
argmax ln wps ,
min , max
min , max
min
2
0
ˆ
2
max
min
16

2.

Оценка задержки радиосигнала с неизвестной
начальной фазой (2)
Усреднение по случайной начальной фазе
Апостериорная плотность вероятности задержки w ps ( )
w
ps
( | )w pr ( )d
Априорная плотность вероятности фазы w pr ( )
1
, 0,2
2
Условная апостериорная плотность вероятности:
Апостериорная плотность вероятности задержки:
2
2
1
q ( , )
w ps ( ) w ps ( | ) w pr ( ) d c
e
d w pr ( )
2 0
0
17

3.

Оценка задержки радиосигнала с неизвестной
начальной фазой (3)

4.

Оценка задержки радиосигнала с неизвестной
начальной фазой (4)
Корреляционный интеграл
q( , )
2
2
Z c ( )cos 0 Z s ( )sin 0
Z ( )cos ( ) 0
G0
G0
Z ( ) Z c ( ) 2 Z s ( ) 2 , Z c ( ) Z ( )cos ( ), Z s ( ) Z ( )sin ( )
Апостериорная плотность вероятности задержки
2
wps ( ) c I 0 Z ( ) wpr ( )
G0
19

5.

Оценка задержки радиосигнала с неизвестной
начальной фазой (5)
Логарифм апостериорной плотности вероятности задержки
2
ln wps ( ) ln c ln I 0 Z ( ) ln wpr ( )
G0
ln I 0 ( x)
При равномерном априорном
ln I 0 x − монотонно
распределении задержки
2
ln wps ( ) const ln I 0 Z ( )
G0
возрастающая
x
0
функция
ˆ argmax ln wps ( ) argmax Z ( )
Оценка задержки:
min , max
min , max
argmax Z ( )2 argmax Z c ( ) 2 Z s ( ) 2
min , max
min , max
20

6.

Оценка задержки радиосигнала с неизвестной
начальной фазой (6)
Сигнал с задержкой 0 :
s 0 , (t ) U (t 0 ) cos 0 (t 0 ) (t 0 )
Алгоритм оценки задержки
T
Z c ( ) y (t )U (t ) cos 0t (t ) dt
0
T
Z ( ) y (t )U (t )sin 0t (t ) dt
s
0
Z ( ) Z c ( ) 2 Z s ( ) 2
ˆ argmax Z ( ) argmax Z c ( ) 2 Z s ( ) 2
min , max
min , max
21

7.

Оптимальный корреляционный приёмник
радиосигнала с неизвестной начальной фазой
Z C 1
y (t )
T
2
0
U (t 1 )cos 0t (t 1 )
T
Z 2 1
Z S 1
2
0
argmax
U (t 1 )sin 0t (t 1 )
Z C M
T
2
0
Z
U (t M )cos 0t (t M )
T
Z S M
2
M
ˆ
mˆ argmax Z 2 ( m )
m 1, M
ˆ mˆ
2
0
U (t M )sin 0t (t M )
22

8.

Максимальное отношение сигнал-шум
на выходе коррелятора при измерении задержки
Принимаемое колебание
y (t ) s(t 0 ) n(t )
Корреляционный интеграл
2
q( )
y (t ) s(t )dt qс ( ) qш ( )
G0 0
T
T
2
qс ( )
s(t 0 ) s(t )dt
G0 0
T
2
qш ( )
n(t ) s(t )dt
G0 0
- сигнальная функция
- шумовая функция
Максимальное отношение сигнал-шум по напряжению:
max
qс max
qш
23

9.

Вычисление
qс max
Сигнальная функция как скалярное произведение векторов:
T
2
2
qс ( )
s
(
t
)
s
(
t
)
dt
s 0 , s
0
G0 0
G0
s s , s s (t )dt Eс
0
T
2
s 0 s 0 , s 0 s (t 0 )dt Eс
0
T
2
s
0
s s 0
, s max при s s 0 , т.е. при s(t ) s (t 0 )
T
qс max
2 Eс
2
2
qс ( 0 )
s(t 0 ) dt
G0 0
G0
24

10.

Вычисление q
ш
Дисперсия шумовой функции:
25

11.

3.2. Оптимальное обнаружение сигнала
(полностью известный сигнал)
Принятая смесь сигнала и шума
1, если сигнал есть
0, если сигнала нет
y (t ) s(t ) n(t ) s (t ) n(t )
обнаружение
оценка
сигнала
параметра
Апостериорная вероятность параметра
p ps ( ) сeq( ) e
T
Ec ( )
G0
p pr ( )
T
2
2
q ( )
y
(
t
)
s
(
t
)
dt
y (t ) s(t )dt корреляционный интеграл
G0 0
G0 0
T
T
Eс ( ) s (t )dt 2 s 2 (t )dt энергия сигнала
2
0
0
26

12.

Оптимальное обнаружение сигнала
(полностью известный сигнал - 1)
1
0
s (t ) s (t ) s (t )
s (t ) s(t ) 0
T
def
2
q(1)
y (t ) s(t )dt q
G0 0
T
def
Eс (1) s (t )dt Eс
2
q(0) 0
Eс (0) 0
0
p ps (1) сeq e
Ec
G0
p pr (1)
p ps (0) с p pr (0)
27

13.

Оптимальное обнаружение сигнала
(полностью известный сигнал - 2)
Оценка параметра
1 (сигнал есть), если p ps (1) p ps (0)
ˆ
0 (сигнала нет), если p ps (1) p ps (0)
Случай, когда p ps (1) p ps (0)
сe e
q
Ec
G0
p pr (1) с p pr (0) e
q
def
p pr (1) p pr
p pr (0)
p pr (1)
e
Ec
G0
q ln
p pr (0)
p pr (1)
Ec
G0
p pr (0) 1 p pr
Алгоритм оптимального обнаружения
T
1 p pr Ec
2
q
y (t ) s(t )dt ln
G0 0
p pr
G0
порог h
28

14.

Оптимальный корреляционный обнаружитель
(полностью известный сигнал)
Коррелятор
y (t )
2
G0
s t
q h сигнал есть
T
q
ПУ
0
q h сигнала нет
h
Оптимальный порог
1 p pr
Ec
h
ln
G0
p pr
29

15.

Характеристики оптимального обнаружителя
(полностью известный сигнал - 1)
Возможные ситуации при обнаружении
ˆ
1
1
0
правильное
обнаружение
ложное срабатывание
[ложная тревога (ЛТ)]
pобн
0
пропуск
сигнала
pпроп
pпроп pобн 1
pЛТ
правильное
необнаружение
pнеобн pЛТ 1
pнеобн
Независимые вероятности:
30

16.

Характеристики оптимального обнаружителя
(полностью известный сигнал - 2)
Статистические характеристики корреляционного интеграла
T
T
2
2
Корреляционный интеграл q ( )
y
(
t
)
s
(
t
)
dt
s(t ) n(t ) s(t )dt
G0 0
G0 0
T
T
2
2
2 Eс
s 2 (t )dt
n
(
t
)
s
(
t
)
dt
qш
G0 0
G0 0
G0
2 Eс
мат.
ожидание
q
(
)
q
|
G0
2E
2 Eс
D qш с
2
дисперсия
D
q
(
)
G0
q
G0
qш 0
Условная плотность вероятности
корреляционного интеграла
(нормальное распределение):
w q |
1
q 2
2
q ( q | )
e
2 2q
31

17.

Характеристики оптимального обнаружителя
(полностью известный сигнал - 3)
q | 1
w q | 1
w q | 0
pобн
0
h
q
pЛТ
32

18.

Характеристики оптимального обнаружителя
(полностью известный сигнал - 4)
Вероятность ложной тревоги
Вероятность обнаружения
pЛТ w q | 0 dq
pобн w q | 1 dq 1
h
h
h
1
w q | 0 dq
h
1
h
1
1
q
h
1
q
pЛТ
2
e
2
q
2 2q
dq
1 h
h
1
q
2 Eс
G0
1
q
2
q ( q | 1) 2
e
2 Eс
h
G0
1
2 Eс
G0
2 2q
h
w q | 1 dq
h (q | 1)
dq 1
q
1 h 2 Eс
2 Eс
G0
G0
h
2 Eс
1
G0
q
pобн
33

19.

Характеристики оптимального обнаружителя
(полностью известный сигнал - 5)
x
2
z
1
Интеграл вероятности x
e 2 dz
2
( x)
1
0.9
1
2
x 1 x
0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
34

20.

Характеристики оптимального обнаружителя
(полностью известный сигнал - 6)
Обнаружение по критерию максимума апостериорной вероятности
Полная вероятность ошибки
при оптимальном пороге
pош pпроп p pr pЛТ 1 p pr min
h ln
1 p pr
p pr
Ec
G0
Обнаружение по критерию Неймана-Пирсона
pобн max при заданной допустимой pЛТ
pобн
pЛТ
h
2 Eс
1
G0
q
h
1
q
pобн
2 Eс
h
G0 q
h
1 1 pЛТ
q
- нормированный порог
2 Eс
1
1 pЛТ
G0
35

21.

Характеристики оптимального обнаружителя:
(полностью известный сигнал - 7)
Характеристики (кривые) обнаружения
по критерию Неймана-Пирсона
pобн
1
0.9
10 3
0.8
0.7
0.6
10 2
pЛТ 10 4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2Eс
G0
1
2
3
4
5
6
7
36

22.

Оптимальное обнаружение сигнала
(сигнал с неизвестной начальной фазой - 1)
Апостериорная вероятность параметра
1
p ps ( ) p ps ( | )w pr ( )d
2
0
2
0
1 2 q ( , )
p ps ( | )d
сe
d e
2 0
T
Ec ( )
G0
p pr ( )
T
2
2
q( , )
y
(
t
)
s
(
t
)
dt
y (t ) U (t )cos 0 (t ) dt
,
G0 0
G0 0
2
2
1
q ( , )
e
d
I
Z
(
)
0
2 0
G
0
T
Z c ( ) y (t ) U (t )cos 0t (t ) dt
0
Z ( ) Z c ( ) 2 Z s ( ) 2
T
Z s ( ) y (t ) U (t )sin 0t (t ) dt
0
37

23.

Оптимальное обнаружение сигнала
(сигнал с неизвестной начальной фазой - 2)
2
p ps ( ) сI 0 Z ( ) e
G0
1
Ec ( )
G0
p pr ( )
0
2
G0c
p ps (1) сI 0 Z (1) e p pr
G0
E
Z (0) 0 I 0 0 1
p ps (0) с p pr (0) с 1 p pr
Случай, когда pps (1) pps (0) :
1 p pr
2
G0c
2
Ec
сI 0 Z (1) e p pr с 1 p pr ln I 0 Z (1)
ln
p pr
G0
G0
G0
E
h
38

24.

Оптимальное обнаружение сигнала:
(сигнал с неизвестной начальной фазой - 3)
Алгоритм оптимального обнаружения
1 p pr
Ec
порог h
ln
G0
p pr
2
ln I 0 Z h
G0
c2
Z Z Z
T
Z c y (t )U (t )cos 0t (t ) dt
0
s2
T
Z s y (t )U (t )sin 0t (t ) dt
0
39

25.

Оптимальный корреляционный обнаружитель
(сигнал с неизвестной начальной фазой)
ZC
T
0
y (t )
сигнал
2
ln I 0 Z h
есть
G0
2
Z2
Z
2
ln I 0 Z
G0
U (t )cos 0t (t )
ПУ
ZS
T
h
2
0
U (t )sin 0t (t )
Z
сигнала
2
ln I 0 Z h
нет
G0
Z h* сигнал есть
ПУ
Z h* сигнала нет
2
ln I 0 Z
G0
h*
h
Оптимальный порог
0
Z
h
*
h
1 p pr
Ec
G
ln
, h* 0 I 0 1 e h
G0
p pr
2
40

26.

Характеристики оптимального обнаружителя
Характеристики (кривые) обнаружения
по критерию Неймана-Пирсона
pобн
1
0.9
10 3
0.8
0.7
0.6
10 2
pЛТ 10 4
0.5
0.4
0.3
известный сигнал
0.2
сигнал с неизвестной
фазой
0.1
0
1
2
3
4
5
6
2Eс
G0
7
41

27.

3.3. Оптимальное различение
полностью известных сигналов
y (t ) s (t ) n(t )
Принятая смесь сигнала и шума
s (t ) s1 (t ) 1 s2 (t )
1, если сигнал s1 (t )
0, если сигнал s2 (t )
различение
оценка
сигналов
параметра
Апостериорная вероятность параметра
p ps ( ) сeq( ) e
Ec ( )
G0
p pr ( )
T
2
q ( )
y (t ) s (t )dt корреляционный интеграл
G0 0
T
Eс ( ) s 2 (t )dt энергия сигнала
0
42

28.

Оптимальное различение двух
полностью известных сигналов (1)
43

29.

Оптимальное различение двух
полностью известных сигналов (2)
44

30.

Оптимальный приёмник различения
двух известных сигналов
2
G0
T
q1
0
q
y (t )
s1 (t )
ПУ
-
2
G0
T
q h сигнал s1 (t )
q2
h
q h сигнал s2 (t )
0
s2 (t )
Оптимальный порог
h ln
p pr 2
p pr1
Ec1 Ec2
G0
45

31.

32.

Вероятность ошибки при оптимальном различении
двух известных сигналов (2)
Статистические характеристики напряжения на входе ПУ

33.

Вероятность ошибки при оптимальном различении
двух известных сигналов (3)
Условные плотности вероятности
2
q ( qс | s1 )
1
w q | s1
exp
2
2 q
q 2
2
q
(
q
|
s
)
1
с
2
w q | s2
exp
2
2
q 2
q
Условное математическое ожидание
T
T
2
2
q
|
s
s
(
t
)
s
(
t
)
dt
q
|
s
s2 (t ) s(t )dt
с 1
с 2
1
G0 0
G0 0
T
2
E
Дисперсия 2 q s , где E s s(t ) 2 dt
G0
0
48

34.

Вероятность ошибки при оптимальном различении
двух известных сигналов (4)
49

35.

Вероятность ошибки при оптимальном различении
двух известных сигналов (5)
Условные плотности вероятности и условные вероятности ошибок
w q | s1
w q | s2
q
qс | s2
p s2 | s1
p s1 | s2
w q | s d q
2
h 0
qс | s1
p s1 | s2
p s2 | s1
h 0
p s2 | s1 p s1 | s2
h 0
w q | s d q
1
50

36.

Вероятность ошибки при оптимальном различении
двух известных сигналов (6)
2E
с
1 r12
0
0 qс | s1
G0
p s2 | s1 w q | s1 d q
4 E 1 r
q
с
12
G
0
Eс
Eс
1
1 r12 p s1 | s2
1 r12
G0
т.к. ( x ) 1 ( x )
G0
Вероятность ошибки различения
pош
Eс
1
p s2 | s1 p s1 | s2 p s2 | s1 1
1 r12
2
G0
51

37.

Вероятность ошибки при оптимальном различении
двух известных сигналов (7)
Противоположные сигналы:
Ортогональные сигналы:
Неразличимые сигналы:
r12 1
2 Eс
pош. пр 1
G0
r12 0
r12 1
"Двоичное" отношение сигнал-шум qдв
pош. орт
pош min
Eс
1
G0
1
pош pош max
2
Eс
E
, qдв дБ 10lg с
G0
G0
52

38.

Вероятность ошибки при оптимальном различении
двух известных сигналов (8)
pош
Ортогональные сигналы
10
10
10
10
10
10
-1
-2
-3
3 дБ
Противоположные сигналы
-4
-5
qдв дБ
-6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
53

39.

Оптимальный приёмник различения M
равновероятных сигналов с одинаковой энергией
y (t )
R1
T
1-й
канал
0
argmax
s1 t
T
M-й
канал
mˆ
RM
0
sM t
sˆ t smˆ t
T
Rm y (t ) sm (t ) dt
0
54

40.

3.4. Оптимальная обработка сигналов с
использованием согласованных фильтров
g СФ (t )
Импульсная характеристика
s ( t )
s (t )
g CФ (t ) cs (t0 t )
и
0
и
t
0
t0 и
t
Передаточная функция
t t x
0
K =СФ ( j ) F g СФ (t ) cs(t0 t )e j t dt t t0 x c s ( x )e j ( t0 x )d ( x )
dt dx
c s( x )e j t0 e j x dx ce j t0
АЧХ
K =СФ ( ) K =СФ ( j ) cS ( )
s ( x )e j x dx cS * ( j )e j t0
ФЧХ
=СФ ( ) arg K =СФ ( j ) ( ) t0
55

41.

Характеристики согласованного фильтра (1)
Отклик СФ
y( ) g
yвых (t ) y (t ) gСФ (t )
СФ
(t ) d c y ( ) s( t0 t )d
cs (t0 (t ))
yвых (t0 ) c y ( ) s( )d
Корреляционный интеграл
2
q ( )
G0
T
y(t )s (t )dt
0
Отклик СФ на сигнал
sвых (t ) s(t ) g СФ (t )
s( ) g
cEс
СФ
(t ) d c s ( )s (t t0 ) d c Rс (t t0 )
cs t0 (t )
Пиковое значение отклика
s (t )
АКФ сигнала,
сдвинутая на t0
sвых max sвых (t0 ) cRs (0) c s 2 ( )d cEс
sвых (t )
Uс
Eс U с2 и
0
и
t
0
и
t
2 и
56

42.

Характеристики согласованного фильтра (2)
Отношение сигнал-шум на выходе СФ
2
Дисперсия шума ш.
вых
G0
по теореме 2
Парсеваля
sвых.max
ш.вых
sвых max cEс
G 1
2
2
Gш. вых ( f )df G0 K СФ
( f )df 0
K
( )d
СФ
2 2
0
0
G0
g
(
t
)
dt
2
2
СФ
СФ
2 2
2
c
s
t
t
dt
c
0
G0
Eс
2
ш.вых c
G0
Eс
2
Теорема Парсеваля:
2
1
если X ( j ) F x (t ) , то x (t )dt
X
(
j
)
d
2
2
СФ
2Eс
G0
Максимальное отношение сигнал-шум на выходе СФ не зависит от вида
сигнала и определяется только отношением его энергии к спектральной
плотности шума
57