Матрицы, их виды. Линейные и нелинейные операции над матрицами

1. Матрицы, их виды. Линейные и нелинейные операции над матрицами

2.

1. Определение и некоторые виды матриц.
2. Линейные операции над матрицами.
3. Нелинейные операции над матрицами.

3. Определение и некоторые виды матриц

Матрицей
размера
m×n
называется
множество чисел, расположенных в виде
прямоугольной таблицы, состоящей из m-строк и
n-столбцов.
Матрицы обозначают обычно большими латинскими буквами алфавита
(А, B, С, …) и при записи заключают в круглые или квадратные скобки:
a11 a12 ... a1n
a11 a12 ... a1n
a
a
...
a
a
a
...
a
21
22
2n
22
2n
21
А =
,
А=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
a
a
...
a
a
...
a
mn
mn
m1 m 2
m1 m 2

4. Определение и некоторые виды матриц

Их обычно обозначают маленькой латинской буквой с
нижним индексом из двух цифр. Он указывает
положение элемента в матрице: первая цифра индекса –
номер строки, в которой стоит элемент, а вторая –
номер столбца.
Например, а24 – элемент второй строки и четвертого
столбца, а13 – элемент первой строки и третьего
столбца.

5. Виды матриц

Если число строк матрицы не равно числу столбцов ( m n ), то матрица
называется прямоугольной. Например, прямоугольными являются матрицы
a11 a12 a13
a
a
11 12
a
a
a
А = a21 a22 , В = 21 22 23 .
a31 a32 a33
a a
31 32
a
a
a
41 42 43

6. Виды матриц

Если число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется
квадратной. Например, квадратными являются матрицы
a11
a21
A =
a11 a12 a13
a12
, B = a21 a22 a23 .
a22
a a a
31 32 33
Число строк или столбцов квадратной матрицы
называется ее порядком. Так, в последнем примере
порядок матрицы А равен 2, а порядок матрицы В
равен 3.

7. КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА

Рассмотрим квадратную матрицу В.
Диагональ, содержащую элементы a11 , a22 , a33 будем называть главной, а
диагональ,
содержащую
вспомогательной).
элементы
a13 , a22 , a31
–
побочной
(или

8. Виды матриц

Матрица, содержащая один столбец или одну
строку, называется вектором.

9. Виды матриц

10. Виды матриц

11. Виды матриц

12. Виды матриц

13. Виды матриц

Квадратные матрицы, у которых все элемента выше
(ниже) главной или побочной диагонали равны нулю,
называются треугольными.

14. Виды матриц

15. Равенство матриц

16. Линейные операции над матрицами

Линейными операциями над матрицами
называются умножение матрицы на число и
сложение (вычитание) матриц.

17. Линейные операции над матрицами

18. Линейные операции над матрицами

19. Линейные операции над матрицами

Частным случаем произведения матрицы А на
число является произведение (-1)А. Так как все
элементы этой матрицы противоположны
соответствующим элементам матрицы А, то
матрицу (-1)А называют противоположной
матрице А и обозначают –А.

20. Линейные операции над матрицами

21. Линейные операции над матрицами

22. Линейные операции над матрицами

23. Линейные операции над матрицами

24. Линейные операции над матрицами

25. Линейные операции над матрицами

Легко проверить, что введенные таким образом линейные
операции над матрицами обладают следующими свойствами:
1) А+В=В+А (коммутативность сложения матриц);
2) (A+В)+С=A+(B+С) (ассоциативность сложения матриц);
3) А+О=А;
4) А+(-А)=О;
5)α(βА)=(αβ)А (ассоциативность относительно умножения
чисел);
6) (α +β)А= αА+βА (дистрибутивность умножения на
матрицу относительно сложения чисел);
7) α(А+В)= αА+ αВ (дистрибутивность умножения на число
относительно сложения матриц);
8) 1А=А.

26. Нелинейные операции над матрицами

Нелинейными операциями над матрицами
называются
умножение
матриц
и
транспонирование матриц.

27. Нелинейные операции над матрицами

28. Нелинейные операции над матрицами

Решение.
• В данном примере А и В – матрицы
одинаковой длины, значит можно найти
произведение этих матриц. Получим:
• С = АВ =1×(-5)+2×3+(-3)×4= -11.

29. Нелинейные операции над матрицами

30. Нелинейные операции над матрицами

31. Нелинейные операции над матрицами

32. Нелинейные операции над матрицами

33. Нелинейные операции над матрицами

Таким образом, для прямоугольных матриц
справедливы следующие правила:
1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл
только в том случае, когда число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В;
2) в результате умножения двух прямоугольных
матриц получается матрица, содержащая столько
строк, сколько строк в первой матрице, и столько
столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

34. Нелинейные операции над матрицами

35. Нелинейные операции над матрицами

36. Нелинейные операции над матрицами

37. Нелинейные операции над матрицами

38. Нелинейные операции над матрицами

Операции умножения матриц обладают следующими свойствами (при
условии, что записанные произведения имеют смысл):
1) АЕ=ЕА=А, АО=ОА=О;
2) (АВ)С=А(ВС) (ассоциативность умножения матриц);
3) (А+В)С=АС+ВС (дистрибутивность умножения матриц справа
относительно сложения матриц);
4) С(А+В)=СА+СВ
(дистрибутивность
относительно сложения матриц).
умножения
матриц
слева

39. Нелинейные операции над матрицами

40. Нелинейные операции над матрицами

41. Домашняя работа

1. Выучить конспект по теме занятия.
2. Решить задания: