Линейная алгебра

1.

Имас
Ольга
Николаевна

2.

Главы
1. Линейная алгебра
2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
3. Введение в анализ
4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

3. Литература

• Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
• Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сборник задач по
линейной алгебра и аналитической геометрии
• Щипачев В.С. Высшая математика. 7-е изд., стер. - М.:
2005.— 479 с.
• Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического
анализа.
Дополнительная литература
Барышева В.К., Пахомова Е.Г., Рожкова О.В. Лекции по линейной
алгебре и аналитической геометрии
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии
Барышева В.К., Ивлев Е.Т., Пахомова Е.Г. Руководство к решению
задач по аналитической геометрии

4. Глава I. Элементы линейной алгебры

x y 3
2 x y 5
x 3 y
2(3 y) y 5
x y 3z 5u 10v 20w 3
2 x y 3z u 12v 2w 5
x z u v w 0
100 x 11 y 5 z w 12
x y z u v w 55
x 8 / 3
y 1 / 3
x
y
z
u
v
w
?

5. § 1. Матрицы и действия над ними

1. Определение и некоторые виды матриц
ОПР. Матрицей размера m n называется таблица,
образованная из элементов некоторого множества
(например, чисел или функций), в которой есть m строк и
n столбцов.
Номер строки
a11
a
A 21
am1
a12
a22
am 2
a1n
a2 n ,
amn
Номер столбца
Краткая форма записи
A ( aij ) , ( i 1, m, j 1, n )
Элементы, из которых составлена матрица, называются
элементами матрицы.
Если m n, то матрицу называют прямоугольной.
Если m n, то матрицу называют квадратной, порядка n.

6. Некоторые частные случаи матриц

Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового
размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых
местах, равны между собой, т.е. aij bij.
Некоторые частные случаи матриц
a11
a
1) A 21 (ai1 ) матрица-столбец длины m .
a
m1
2) A a11 a12 a1n (a1i ) матрицей-строкой длины n .
3)
0
0
O
0
0
0
0
0
0
0
Нулевая матрица

7.

4) Пусть A ( aij ) , ( i 1, m, j 1, n )
Элементы a11, a22, …, akk (где k min{m,n}) называют
элементами главной диагонали матрицы.
Элементы a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 называют элементами
побочной диагонали матрицы.
a11 0
0 a
22
A
0 0
0
0
ann
1
0
E =
0
0
0
1
0
1
0
диагональная квадратная матрица :
Единичная матрица
Обозначают: E или En.

8.

5) Пусть Anxn – квадратная матрица порядка n.
Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше)
главной или побочной диагонали равны нулю, называются
треугольными :
a11 a12
0 a
22
A 0 0
0 0
c11
c
21
C c31
cn1
a13
a23
a33
0
a1n
a2 n
a3 n ,
ann
0 0
c22 0
c32 c33
cn2 cn3
0
0
0 ,
cnn
b11
b21
B b31
b
n1
0
0
D 0
d
n1
b1, n 2
b2, n 2
b3, n 2
0
0
0
d3, n 2
d n, n 2
b1, n 1 b1n
b2, n 1 0
0
0 ,
0
0
0
d1n
d2, n 1 d2 n
d3, n 1 d3n
d n, n 1 d nn

9.

6) Прямоугольную матрицу размера m n будем называть
трапециевидной, если она имеет вид:
a11 a12
0 a
22
A 0 0
0 0
a13
a23
a33
0
a1m
a2 m
a3 m
amm
a1n
a2 n
a3 n
amn
7) Квадратную матрицу m m называют симметрической,
если aij= aji, и кососимметрической, если aij = ─ aji.

10. 2. Линейные операции над матрицами

1) Умножение матрицы на число;
2) Сложение матриц.
Свойства
линейных
операции
над
матрицами аналогичны
свойствам линейных операций над числами

11. 3. Нелинейные операции над матрицами

1) Умножение двух матриц;
2) Транспонирование матрицы.
ОПР. Пусть A=(aij) – матрица размера m n,
B=(bij) – матрица размера n k (т.е. количество столбцов в
матрице A совпадает с количеством строк матрицы B) !!!.
Произведением матрицы A на матрицу B называется
матрица C =(cij) размера m k такая, что каждый ее
элемент cij является произведением i-й строки матрицы
A на j-й столбец матрицы B, т.е.
n
cij ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj aik bkj
Обозначают: A ·B, AB.
k 1
Матрицы A и B для которых AB = BA , называются
перестановочными или коммутирующими.

12.

n
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ... ainbnj aik bkj
k 1
Am n Bn p Cm p
Внутренние индексы равны!
Только для согласованных матриц!
число столбцов матрицы А должно совпадать с числом строк матрицы В
0
1 0
11 10
ПРИМЕР . 2 1
(
1)
1
0
1 3
c11+
2 1c+(–1)·
0
21
c31
1·1+3·0
A3 2 B2 2 C3 2
1
c+0·
12
c13
c22(–1)·(–1)
2 10+
1 c·10+3·(–1)
32
1 10
2 21
1
7

13. Свойства операции умножения матриц

1) AE = EA = A , AO = OA = O;
2) (AB)C = A(BC) (ассоциативность умножения матриц) ;
3) (A + B)C = AC + BC ;
4) C(A + B) = CA + CB .
– дистрибутивность умножения
матриц относительно сложения
матриц

14.

ОПР. Пусть A – матрица размера m n.
Матрица размера n m, полученная из A заменой каждой
ее строки столбцом с тем же номером, называется
транспонированной к A и обозначается AТ.
Операция нахождения матрицы AТ называется
транспонированием матрицы A.
Свойства операции транспонирования матриц
1) (AТ )T = A ;
2) (A + B)T = AT + BT ;
3) (αA)T = αAT ;
4) (A · B)T = BT · AT .

15. Многочлены от матриц

ОПР. Произведение k квадратных матриц A называется целой
положительной степенью Ak.
Ak A A ... A
k раз
A E
A1 A
0
ОПР. Полиномом степени k называется выражение вида
0 A 1A
k
0 , 1 ,... k R
k 1
... k A P( A)
0
- коэффициенты
Если P(A)=0, то А – корень многочлена P(x).
Многочлен P(x) называется аннулирующим для матрицы А.