Матрицы, определители, СЛАУ. Линейная алгебра 1

1. Линейная алгебра

Лекции

2. Глава 1. Матрицы, определители, СЛАУ

Матричное исчисление широко
используется в различных областях
математики (решение систем линейных
уравнений, векторная алгебра,
дифференциальные уравнения, теория
вероятностей), механики, электротехники,
теоретической физики и т.д. Матричное
исчисление позволяет в компактной форме
получить решение реальных задач,
содержащих большое количество
переменных.

3. § 1. Матрицы. Действия над матрицами

Опр. 1. Матрицей называется прямоугольная таблица.
Обозначают матрицы заглавными латинскими буквами A, B, C и т.д.
Если м. содержит m строк и n столбцов, то таблица называется
матрицей размера (формата) m x n (читается «эм на эн»).
Матрицу записывают в виде:
a11 a12
a21 a22
A
...
...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... am n

4. Матрица-строка и матрица-столбец

Опр.2. Матрица размером 1 n наз. матрицей-строкой.
Например: матрица B=(5 6 9), размер 1 X 3.
Опр.3. Матрица размером
Например: Матрица
m 1
1
C 0
5
наз. матрицей-столбцом.
. Размер 3 X 1.

5. Квадратные матрицы

Опр. 4. Матрица наз. квадратной, если число её
строк равно числу её столбцов, т.е. m=n. Число n
называют порядком квадратной матрицы.
Например, при n=3 квадратная матрица имеет
вид:
a11 a12 a13
A a21 a22 a23
a
31 a32 a33
Элементы квадратной матрицы, для которых
номера строки и столбца совпадают, называются
диагональными, а диагональ матрицы, на которой
они находятся, называется главной диагональю.

6. Виды квадратных матриц

1. Верхняя треугольная матрица
a11
0
...
0
a12
...
a22
...
...
...
0
...
a1n
a2 n
...
ann
2. Нижняя треугольная матрица
a11
a21
...
a
n1
0
...
a22
...
...
...
an 2
...
0
0
...
ann

7.

3. Диагональная матрица (все элементы
матрицы, кроме главной диагонали,
нулевые) a 0 ... 0
11
0
...
0
a22
...
0
... 0
... ...
... ann
4. Единичная матрица (на главной
диагонали – единицы, все остальные
1 0 ... 0
элементы нулевые)
0 1 ... 0
E
... ... ... ...
0 0 ... 1

8.

5. Нулевая матрица (все элементы
нулевые):
0
0
...
0
0
...
0
...
...
...
0
...
0
0
...
0
6. Симметричная матрица (симметрия
элементов относительно главной
диагонали)
a
a
... a
a
11
a12
a
13
...
a
1n
12
13
a22
a23
...
a23
a33
...
...
...
...
a2 n
a3 n
...
a2 n
a3 n
...
ann
1n

9. Действия с матрицами

1. Сложение и вычитание матриц.
Опр. 5. Суммой (разностью) двух матриц А
и В одинакового размера называется
матрица С=А+В (С=А-В), элементы
которой вычисляются по правилу:
cij aij bij , i 1, m, j 1, n

10. 2. Произведение матрицы на число.

Опр. 6. Произведением матрицы А на
число называется матрица B ,
элементы которой вычисляются по
правилу bij aij i 1, m , j 1, n .
3. Транспонирование матрицы.
Опр. 7.Транспонированием матрицы
называется преобразование, состоящее в
замене строк столбцами с сохранением их
номеров.

11. 4. Умножение матриц

Опр. 8. Произведением матриц А и В,
B bij p n
наз. матрица С=А В, элементы которой
A aij m p
вычисляются по правилу:
p
сij aik bkj ai1b1 j ai 2b2 j ... aipbpj
k 1
i 1, m
j 1, n
,

12.

Замечание 1. Произведение матриц определено т.
и т.т., когда число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй матрицы.
Замечание 2. Элемент Cij матрицы произведения
равен сумме произведений элементов i – строки
первой матрицы на соответствующие элементы j –
столбца второй матрицы.
Замечание 3. В общем случае
A B B A
Опр. 9. Матрицы, для которых выполняется
условие
называются
коммутативными
A B Bили
A перестановочными.

13. Свойства операции умножения матриц

1. A B C A B C .
2. A B C A C B C.
3. A B C A B A C.
4. A E E A.
5. A A .
6. A B BT AT .
T

14. 5. Возведение матрицы в степень.

Возводятся в степень только квадратные
матрицы.
Возведение матрицы в степень сводится к
операции умножения матриц.