Аналитическая геометрия

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Аналитическая геометрия - это раздел курса
высшей математики, в котором изучаются
свойства
геометрических
объектов
алгебраическими способами.
1

2. Уравнение линии на плоскости

Линия – это множество точек плоскости,
обладающих определенным свойством.
Уравнением линии l называется уравнение
вида F(x,y)=0, которому удовлетворяют
координаты всех точек, лежащих на линии l,
и не удовлетворяют координаты ни одной
точки, не лежащей на этой линии.
Аналитическая геометрия на плоскости
ставит перед собой две основные задачи:
2

3.

1.Задана линия l как множество точек
плоскости,
обладающих
некоторым
свойством. Надо составить уравнение этой
линий
2. Задано уравнение вида F(x,y)=0. Требуется
установить форму и свойства описываемой
им линии.
Пример:
y
0
x2 +y2 =25
x
M ( x ,y )
3

4. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору

Определение: Нормальным вектором к
прямой называется любой вектор ей
перпендикулярный. Обозначение: n .
y
n (A ,B )
М (x ,y )
М 0 (x 0 ,y 0 )
o
x
4

5.

М0(x0,y0) - точка на прямой, n( A, B)
нормальный вектор этой прямой . (А и В
одновременно нулю не равны). M(x,y) –
произвольная
точка
рассматриваемой
прямой. Введем в рассмотрение вектор
M 0 M ( x x0 ; y y0 )
Вектор M 0 M
и вектор n( A, B)
ортогональны => M 0 M n 0 , или:
А(х-х0)+В(у-у0)=0
-
(1)
5

6.

Пример 1.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку М(1,-3) и имеющую нормальный
вектор n ( 2,5)
Решение. Из уравнения (1) следует:
2(х-1)+5(у+3)=0
или
2х+5y+13=0.
Пример 2.
Даны вершины треугольника АВС: А(1,2);
В(-3,5);C(1,4). Написать уравнение высоты
HA, опущенной из вершины А.
6

7.

Решение.
В
H A BC
=>
BC H A
С
HA
А
Вектор BC можно принять за нормальный
вектор с координатами (4,-1).
Тогда уравнение высоты:
4(х-1)-1(у-2)=0, или 4х-у-2=0.
7

8.

Пример 3.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку М(-4,2) и имеющую нормальный
вектор n (0, 3) .
Решение. Из уравнения (1) следует:
0(х+4)-3(у-2)=0
или у=2.
8

9. Общее уравнение прямой на плоскости

На плоскости XOY уравнение Ах+Ву+С=0
определяет прямую линию, при условии, что
А и В одновременно не равны нулю.
Раскроем скобки в (1):
Ах-Ах0+Ву-Ву0=0.
Обозначим - Ах0-Ву0=С. Тогда уравнение (1)
приведется в виду:
Ах+Ву+С=0
(2) - общее уравнение прямой
на плоскости. Коэффициенты А и В координаты нормального вектора этой
прямой.
9

10.

Пример 1.
1. Построить прямую 3х-2у+6=0.
2.Проверить, лежат ли точки М1(1,2) и
М2(-4,-3) на этой прямой.
3. Найти нормальный вектор этой прямой.
Решение. 1. Чтобы построить прямую,
найдем две точки, лежащие на ней и
проведем через них прямую линию.
Положим в уравнении х=0, тогда –2у+6=0.
Отсюда: у=3. Таким образом, точка А с
координатами (0,3) лежит на прямой.
10

11.

Положим в уравнении у=0, тогда: 3х+6=0.
Отсюда: х=-2. Нашли вторую точку,
лежащую на прямой – В(-2,0). Откладываем
их на осях координат и строим прямую l.
Y
A ( 0 ,3 )
B (- 2 ,0 )
X
11

12.

2. Проверим, проходит ли прямая через
точку М1. Подставим координаты точки в
уравнение прямой. Получим: 3·1-2·2+6 0.
Координаты точки М1 не удовлетворяют
уравнению прямой l, => точка М1 не лежит на
данной прямой.
Подставим координаты точки М2 в
уравнение прямой. Получаем: 0=0, => точка
М2 лежит на прямой.
Координаты нормального вектора равны
коэффициентам при х и у в общем
уравнении прямой. n (3, 2)
12

13. Частные случаи общего уравнения прямой на плоскости

Общее уравнение прямой: Ах+Ву+С=0
1. Пусть А=0, В 0, С 0. Уравнение примет
вид: Ву+С=0 или у=b, где b C
B
Нормальный вектор этой прямой
n (0, B ) перпендикулярен оси ОХ
y
n =(0, В)
b
y=b
x
13

14.

=
.
2. Пусть В=0, А 0, С 0.
В этом случае уравнение примет вид:
C
Ах+С=0, или х=а, где а= A , n ( A,0)
Прямая, параллельная оси OY и
пересекающую ось OX в точке с абсциссой а.
y
x= a
n = (a , 0 )
a
x
14

15.

3. Пусть С=0, А 0, В 0. Уравнение прямой
принимает вид: Ах+Ву=0 или у=кх, где к=-А/В
Точка О(0,0) лежит на прямой. Уравнение
Ах+Ву=0 задает прямую, проходящую через
начало координат.
Параметр к – тангенс угла наклона прямой к
положительному направлению оси ОХ.
y0
k
tg
x0
y
y= k x
M 1 ( x ` ,y ` )
y`
x
15

16.

4. Пусть А=С=О, В О. В этом случае
уравнение прямой принимает вид: Ву=0 или
у=0. Это уравнение выражает прямую,
одновременно параллельную оси ОХ и
проходящую через начало координат.
Уравнение у=0 есть уравнение
координатной оси ОХ.
Аналогично, уравнение х=0 представляет
собой уравнение координатной оси ОУ
16

17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой на плоскости:
Ах+Ву+С=0. Пусть В 0, (прямая не
параллельна оси ординат). Тогда
A
C
у= x .
B
B
угловой коэффициент прямой к= -А/В ,
параметр b=-С/В - ордината точки
пересечения прямой с осью ОУ. Уравнение
записано в виде: у=кх+b. Оно называется
уравнением прямой с угловым
коэффициентом.
17

18. Уравнение пучка прямых на плоскости

Рассмотрим уравнение :
А(х-х0) + В(у-у0) = 0.
Пусть В≠0, то есть прямая не параллельна
оси ординат. Тогда у-у0 = к(х-х0),
где к=-А/В – угловой коэффициент прямой.
Множество всех прямых на плоскости,
проходящих через данную точку (х0,у0),
называется пучком прямых с центром в этой
точке. Если к фиксировано, получим
уравнение прямой по точке и угловому
коэффициенту.
18

19.

Пример:
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку М0(3,-1) и образующей с осью ОХ
угол 450.
Решение: Воспользуемся уравнением
у-у0 = к(х-х0). Здесь , k tg 1
4
х0=3, у0=-1. Следовательно, получаем:
у+1=1(х-3) или х-у-4=0
19

20. Уравнение прямой в отрезках на осях

Общее уравнение прямой:
Ах+Ву+С=0 или Ах+Ву=-С
x
y
1
C
C
A
B
или
x y
1
a b
20

21.

Пример:
2х + 4у = 8
у
x y
1
4 2
2
4
х
21

22. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору

Определение: Направляющим вектором
прямой называется всякий вектор,
параллельный этой прямой.
y
S (m , n )
M 0 ( x 0 ,y 0 )
M (x , y)
0
x
22

23.

Вектор M 0 M (х-х0, у-у0) будет параллелен
вектору S =(m,n). Следовательно,
x x0 y y 0
m
n
(условие коллинеарности векторов). Это
равенство будет справедливо только для тех
точек, которые лежат на прямой =>
уравнение прямой на плоскости по точке и
направляющему вектору или каноническое
уравнение прямой.
23

24.

Пример 1: Написать уравнение прямой,
проходящей через точку М0(-2,0),
параллельно вектору S (3, 1)
Решение:
Из уравнения следует:
x 2 y 0
3
1
или
х+3у+2=0
24

25. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Две прямые на плоскости, заданные
общими уравнениями:
I:
А1 х+В1 у+С1=0. II: А2 х+В2 у+С2=0.
y
I
II
n2
n1
0
x
25

26.

Угол между двумя прямыми равен углу
между нормальными векторами этих
прямых: n1 ( A1 , B1 ) и n2 ( A2 , B2 )
A1 A2 B1 B2
Cos φ=
Формула определяет один из углов между
прямыми, второй угол равен π-φ
A12 B12 A22 B22
26

27.

Пример 1:
Найти угол между прямыми 3х+у-5=0 и
2х-у+1=0.
Решение: По формуле имеем:
2 3 ( 1) 1
1
Cosφ=
=
4 1 9 1
2
один из углов равен π/4, другой 3π/4.
27

28.

Пример 2:
Найти угол между прямыми 2х+6у+1=0
и 9х-3у+8=0.
Решение: По формуле имеем:
2 9 6 3
=O
4 36 81 9
Cosφ =
Один из углов равен π/2, другой 3π/2,
прямые перпендикулярны.
28

29.

Условие параллельности прямых совпадает
с условием коллинеарности их нормальных
векторов:
A1 B1
A2 B2
Условие перпендикулярности прямых
совпадает с условием ортогональности их
нормальных векторов, следовательно, оно
имеет вид:
А1А2 + В1В2=0
29

30.

Условие параллельности и
перпендикулярности прямых, если они
заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами.
I: y=k1x+b1 ;
II: y=k2x+b2
Выразим предыдущие условия через
угловые коэффициенты прямых:
A1 B1
A2 B2
A1
A2
=>
k1 k 2
B1
B2
30

31.

Из условия А1А2 + В1В2=0
=>
A1 A2
A1
A2
1 0 ( ) ( ) 1 0 k1k 2 1 0
B1 B2
B1
B2
Или
1
k2
k1
Итак, прямые параллельны: к1=к2
Прямые перпендикулярны: угловые
коэффициенты обратны по величине и
противоположны по знаку .
31

32.

Пример: Написать уравнение прямой,
проходящей через точку М(5, -1)
параллельно прямой у=2.
Решение: Так как прямые параллельны, то
к1=к2, следовательно, к1=0. Получаем:
у+1=0(х-5), или у=-1.
Пример : Написать уравнение прямой,
проходящей через точку М(5, -1)
перпендикулярно прямой у=2.
Решение: Так как к2=0,, то прямая у=2
параллельна оси ОХ. Искомая прямая
перпендикулярна оси ОХ и проходит через
точку М(5, -1). Уравнение такой прямой: х=5
32

33. Точка пересечения прямых

Прямые заданы общими уравнениями:
I:
А1 х+В1 у+С1=0. II: А2 х+В2 у+С2=0.
Пусть точка М0(х0,у0) точка пересечения
прямых. Тогда ее координаты х0,у0
удовлетворяют и уравнению I и уравнению
II. Следовательно, координаты этой точки
являются решением системы уравнений:
A1 x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
33

34.

Пример:
Найти точку пересечения прямых 5х-3у-15=0
и х+2у-3=0.
Решение:
Решаем совместно систему уравнений
5 x 3 y 15
x 2y 3
получаем: х=3, у=0. Таким образом, точка
пересечения прямых имеет координаты:
М0(3,0).
34