Уравнение прямой на плоскости

1.

Лектор Буганова С.Н.
Уравнение
прямой на
плоскости.
Дисциплина Математика 1
Лекция 4
2016-17 учебный год

2. План лекции

Общее уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Угол между двумя прямыми
Расстояние от точки до прямой
Биссектриса углов между прямыми
Деление отрезка в заданном отношении

3. Общее уравнение прямой

Уравнение вида: Ax By C 0
с произвольными коэффициентами А; В; С такими , что А и В не
равны нулю одновременно, называется общим уравнением
прямой.
Вектор n A; B
нормальным.
ортогонален этой прямой и называется

4. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой называется полным, если все
коэффициенты А, В, и С отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.
Виды неполных уравнений:
1)
C 0;
Ax By 0
2)
B 0;
Ax C 0
3)
A 0;
By C 0
4)
B C 0;
Ax 0 x 0
5)
A C 0;
By 0 y 0
y
0
х

5. Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим полное уравнение прямой:
Ax By C 0
x
y
C C 1
A
B
C
Обозначим:
a
A
Ax By C
C
b
B
Уравнение в отрезках
Уравнение в отрезках
используется для построения
прямой, при этом a и b – отрезки,
которые отсекает прямая от осей
координат.
Получим:
y
Ax By
1
C C
x y
1
a b
b
0
a
х

6. Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой,
называется направляющим вектором этой прямой.
Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную
точку М0(х0; у0 ) и параллельно заданному вектору q l; m
Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на
прямой, только в том случае, если
векторы
q l; m
и
q
M 0 M x x0 ; y y0
М (х; у )
М0(х0; у0 )
коллинеарны.
По условию коллинеарности получаем:
x x0
y y0
l
m
Каноническое уравнение
прямой

7. Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ) и М2(х2; у2 ).
q
М2(х2; у2 )
М1(х1; у1 )
Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом
уравнении можно взять вектор:
q M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1
x x1
y y1
y 2m
y1
x 2 l x1
Уравнение прямой,
проходящей через две
заданные точки

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий
вектор q l; m , то угловой коэффициент k этой прямой
равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX.
y
m q
0
m
k tg
l
l
x x0
y y0
l
m
х
Уравнение прямой с угловым
коэффициентом
m
y y0 k ( x x0 )
l
y y0 kx kx0 y kx yb0 kx0
Уравнение прямой с
=b
угловым
коэффициентом

9. Пример

q { 1;3}x 1 y3 2x
1
y
2
3
(
x
1
)
(
y
2
)
3x y 5 0N
{;1
}
Пример
Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий
вектор:
Написать: каноническое, общее уравнение прямой, уравнение
прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом.
Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает
прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с
осью OX.
1. Каноническое уравнение:
2. Общее уравнение:

10. Пример

3
x
y
5
0
3
x
y
5
x
35x y 1
1
a
b
5
5
3
3
3
x
y
5
0
y
k
t
g
3
qN
Пример
3. Уравнение в отрезках:
4. Уравнение с угловым коэффициентом:
y
b
М
0
a
х

11. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
L2 :
A1x B1y C1 0
A2 x B2 y C2 0
Угол между этими прямыми
определяется как угол между
нормальными векторами к этим прямым:
n1 A1;B1
n2
n1
L2
n2 A2 ;B2
n1 n2
cos cos( n1; n2 )
n1 n2
A1 A2 B1 B2 0
A1 B1
A2 B2
A1 A2 B1 B2
A12 B12 A22 B22
L1 L2
L1 ll L2
L1

12. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:
L1 :
L2 :
x x1 y y 1
l1
m1
x x2 y y 2
l2
m2
q2
Угол между этими прямыми определяется
как угол между направляющими векторами
q2 l 2 ;m2
к этим прямым: q1 l1;m1
q1 q2
cos cos(q1; q2 )
q1 q2
l1 l 2 m1 m2 0
l1 m1
l 2 m2
L2
q1
l1 l 2 m1 m2
l12 m12 l 22 m22
L1 L2
L1 ll L2
L1

13. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами:
y
L2
L1 :
y k1x b1
L2 :
y k 2 x b2
2 1
k1 tg 1
1
k 2 tg 2
2
0
tg 2 tg 1
k 2 k1
tg tg ( 2 1 )
1 tg 2 tg 1
1 k 2 k1
k1 k 2 1
k1 k 2
L1 L2
L1 ll L2
х
L1

14. Расстояние от точки до прямой

Пусть необходимо найти расстояние от точки М0(х0; у0 ) до
прямой, заданной общим уравнением: Ax By C 0
М0(х0; у0 )
n
Пусть М1(х1; у1 ) – основание
перпендикуляра, опущенного из
точки М0 на прямую L.
d
М1(х1; у1 )
d M1M 0 x0 x1; y 0 y 1
L
Найдем скалярное произведение векторов
n A; B и M1M 0
n M1M 0 n M1M 0 cos
0
или
n M1M 0 n M1M 0
cos 1
n d
Найдем скалярное произведение в координатной форме:
n M1M 0 A( x0 x1 ) B( y 0 y 1 ) Ax 0 Ax1 By 0 By 1

15. Расстояние от точки до прямой

Ax 0 By 0 Ax1 By 1
Точка М1(х1; у1 ) принадлежит прямой L , следовательно:
Ax1 By 1 C 0
Ax1 By 1 C
n M1M 0 Ax 0 By 0 C
n M1M 0 n d
Ax 0 By 0 C
d
n
n d Ax 0 By 0 C
d
Ax 0 By 0 C
A2 B 2

16. Биссектриса углов между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L2
L1 :
A1x B1y C1 0
L2 :
A2 x B2 y C2 0
Если точка M(x; y) лежит на биссектрисе
угла между прямыми, то расстояние от
точки М до прямой L1 равна расстоянию до
прямой L2: d1 d 2
d1
A1x B1y C1
A B
2
1
2
1
d2
A2 x B2 y C2
A22 B22
A1A
x1
y1y C
xB
1B
1C1 AA2 2xx BB2 y2 y CC2 2
2 2
2 2
A1A 1 B
AA2222 BB2222
1B1
d2
M(x; y)
d1
L1

17. Деление отрезка в заданном отношении

Разделить отрезок М1М2 в заданном отношении λ > 0 значит найти
на отрезке такую точку М(х;y), что имеет место равенство:
M1M
MM 2
или M1M MM 2
M
M1
Пусть M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Найдем координаты точки М.
M1M MM 2
В координатной форме:
M1M { x x1; y y 1 }
x x1 ( x 2 x )
y y1 (y 2 y )
x (1 ) x 2 x1
y (1 ) y 2 y 1
MM 2 { x 2 x; y 2 y }
x x 2 x x1
y y 2 y y 1
x1 x 2
x
1
y 1 y 2
y
1
M2

18. Пример

N
q
x
1
0
y
1
3
x
1
0
y
1
3
3
6
3
7
7
9
7
0
9
N
{3x;q
} 7
x
1
y
1
3x 7y
{y 7
;43
}073
Пример
Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13; 6)
Найти: Уравнения высоты, медианы и биссектрисы,
проведенных из вершины А.
1. Уравнение высоты:
В
А
(ВС):
Н
С
(АН):

19. Пример

B
M
1
C
xMM8x .5 yx1BB 210C9Cy.5y 120 2
36 9x10 .51.5
(
.y8. 517x
M
1
;2y849
5
) x0 .5 10y 10.5
Пример
В
2. Уравнение медианы:
т. М:
А
М
С

20. Пример

x
1
y
1
x
1
y
1
0
3
9
2
2
3
0
14452xx2 33(yy )1212 92 0 5y63x9 2 11
x
1
y
1
2
5
5
7
0
2(y3 )72 2546x0 53 y1 5x 123y 7
Пример
В
4. Уравнение биссектрисы:
(АВ):
А
К
(АС):
С

21. Пример

k54xAB 9 5322xyA K 3197 kyA0C6 13
k
k
A
C
A
K
A
B
4
4
1
k
y
x
A
B
3
3
5
7
5
A
C
1
2
2
1
2
2
7
x
y
4
8
0
2
x
6
0
y
5
9
1
6
9
x
0
k
A
K
7
7
2
(
5
3
)
2
5
7
4
7xy2 y9AK91 93
Пример
Для биссектрисы внутреннего угла треугольника должно
выполняться условие:
или
1)
2)

22.

Задание на СРС
1. Уравнение прямой в полярной системе
координат [1;2;3] .
2. Приведение общего уравнения первой
степени к нормальному виду. [1;5;6]
Задание на СРСП
1. ИДЗ-3.2. [1. стр. 110].

23.

№
Қазақша
Русский
1.
Теңдеу
Уравнение
2.
Координат жүесі
Система координат
3.
Бұрыштық
Угловой
English
Equation
System of coordinates
Angular

24.

Основная
1. А.П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей
математике,т.1. - Мн.: Выш. Школа, 2011.
2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и
задачах: Учебное пособие для втузов. - М.: Оникс, 2007.
Дополнительная
3. Буганова С.Н. Математика для технических специальностей с
применением прикладных программ. - Алматы: КазГАСА, 2015,
с.108.
4. Сыдыкова Д.К. «Курс Математики- I», Модуль I, II для
дистанционного обучения. Электронный учебник.-Алматы:
КазГАСА, 2012.
5. www.studentlibrary.ru
6. http://sferaznaniy.ru/vysshaya-matematika.