Свойства числовых функций

1. Свойства числовых функций

1. Область определения функции.
2. Точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Промежутки знака постоянства.
4. Промежутки монотонности функции.
5. Непрерывность.
6. Ограниченность.
7. Наибольшее и наименьшее значение функции.
8. Промежутки выпуклости и вогнутости.
9. Четность.
10. Область значений функции.

2. Область определения и область значений функции

Х
Y
y f (x)
x
D(f) – область определения функции
y
Е(f) – область значений функции

3.

Найдите область определения функции,
изображенной на рисунке
y
y = f(x)
1
-2
0
1
4
6
D(f) = [-2;6]
x

4.

Найдите область значений функции,
изображенной на рисунке
y
3
y = f(x)
1
0
1
4
6
-2
Е(f) = [-2;3]
x

5.

Монотонность функции
y
y
y = f(x)
y = f(x)
f(х2)
f(х1)
f(х1)
0
f(х2)
х1
х2
x
х1,х2 Х
f(х1 ) f(х2 )
х1 х2
f(x) - возрастающая
х1
0
х2
х1,х2 Х
f(х1 ) f(х2 )
х1 х2
f(x) – убывающая
x

6.

Найти промежутки
возрастания и убывания функций
y
y
y = f(x)
4
4
y = f(x)
3
3
x
-3
-1 0
3
4
-2
y = f(x) – возрастает на [-3;-1]
x
-3
-1 0
3
4
5
-2
y = f(x) – убывает на [-1;4]

7.

Непрерывность функции
y
y = f(x)
x
x1
0
x2
y = f(x) – непрерывная на [x1; х2 ]

8.

Указать промежутки непрерывности функции
y
y = f(x)
x
0
y = f(x) – непрерывна на (-∞; 0)
и
y = f(x) – непрерывна на (0; +∞)

9.

Ограниченность функции
y
y
y = f(x)
M
y = f(x)
m
x
0
f(x) > m
y = f(x) – ограниченна снизу
у=m
x
0
f(x) < М
y = f(x) – ограниченна сверху
y=M

10.

По графику функции ответьте на вопрос,
является ли она ограниченной снизу,
ограниченной сверху
y
y
y = f(x)
2
1
0
2
x
1
4
Функция - ограниченна снизу прямой у = 0
y = f(x)
x
0
Функция - ограниченна сверху прямой у = 2

11.

Наименьшее значение функции
y
y = f(x)
f(x)
x0
x
x
0
m= f(x0)
Если x : f ( x) f ( x0 ), где f ( х0 ) m, то yнаим m

12.

Наибольшее значение функции
y
M= f(x0)
x
x
0
x0
f(x)
y = f(x)
Если x : f ( x) f ( x0 ), где f ( х0 ) M , то yнаиб М

13.

Найдите наименьшее и наибольшее
значения функции
y
y = f(x)
3
-3
x
-1
0
yнаим = -2
1 2
-1
-2
yнаиб = 3

14.

Выпуклость функции
y
y
y = f(x)
y = f(x)
x
x
0
x1
y = f(x) – выпукла вниз
на [x1 ; х2 ]
x2
0
x1
x2
y = f(x) – выпукла вверх
на [x1 ; х2 ]

15.

Определите выпуклость функции
y
y = f(x)
x
0
y = f(x) – выпукла вниз на (-∞; 0]
y = f(x) – выпукла вверх на [0; +∞)

16.

Четные и нечетные функции
y
y
f(x)
f(-x)
f(x)
-x
0
x
x
-x
0
Четная функция,
f(-x) = f(x)
x
x
f(-x)
Нечетная функция,
f(-x) = -f(x)

17.

Исследуйте на четность функцию, график
которой изображен на рисунке
y
y
y
x
0
Нечетная
Рис. 1
x
0
Четная
Рис.2
x
0
Ни четная,Рис.
ни нечетная
3

18.

Задание: Прочитать график функции
y
y = f(x)
2
-7
7
-5
-1
0
1
-2
5
x