Similar presentations:
Свойства функции
1.
1 0 . 4 . 1 . 4У М Е Т Ь
З А Д А Н Н О М У
О П И С Ы ВАТ Ь
Г РАФ И К У
П О
ФУ Н К Ц И И
С ВО Й СТ ВА
С ВО Й СТ ВА
ФУНКЦИИ
Е Ё
2.
1) ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ;2 ) О БЛ АСТ Ь З Н АЧ Е Н И Й ФУ Н К Ц И И ;
3) НУЛИ ФУНКЦИИ;
4) ПЕРИОДИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ;
5) ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ
ФУНКЦИИ;
6) ПРОМЕЖ УТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА
ФУНКЦИИ;
7) НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ
З Н АЧ Е Н И Я ФУ Н К Ц И И ;
8) ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ ФУНКЦИИ;
9 ) О Г РА Н И Ч Е Н Н О СТ Ь ФУ Н К Ц И И ;
10) НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ;
11) ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
3.
Определение функцииЗависимость между двумя переменными х и у,
при котором каждому значению переменной х соответствует
единственное значение переменной у называют функцией .
Обозначают у = f(х),
у
у
где х – независимая
переменная (аргумент),
у
у2
у = f(x) – зависимая переменная (функция).у1
хо
у1
хо
О
у2
Не является функцией
х1
О
х
х
у1
О
х2
х
у2
Не является функцией
Является функцией
4.
Область определения функцииОбласть значений функции
Множество всех допустимых значений Множество всех значений функции
х (аргумента, независимой
у = f(х),
переменной) при которых выражение
где х принадлежит Х (области
имеет смысл.
определения).
Обозначение: D(f) = [а;b]
Обозначение: Е(f) = [m;n]
у
у
n
х
О
a
О
bх
m
5.
Функция, заданная в виде многочлена6.
Дробно-рациональная функция7.
Иррациональная функция8.
Показательная функция9.
Тригонометрические функции10.
Обратные тригонометрические функции11.
12.
Множество значений функции13.
Множество значений функции14.
Множество значений функции15.
Множество значений функции16.
Множество значений функции17.
18.
СВО Й СТВА ФУНКЦ И И•Возрастание
•Убывание
Функцию у = f(x) называют
возрастающей на множестве D(f), если
для любых двух точек х1 и х2 области
определения, таких, что х1 < х2 ,
выполняется неравенство f(x1 ) < f(x2).
Функцию у = f(x) называют убывающей
на множестве D(f), если для любых
двух точек х1 и х2 области
определения, таких, что
х1 < х2 ,
выполняется неравенство f(x1 ) > f(x2).
(Если большему значению аргумента
соответствует большее значение
функции)
(Если большему значению аргумента
соответствует меньшее значение
у
функции)
у
О
О
x
x
Термины «возрастающая», «убывающая» функция объединяют
общим названием МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ.
19.
ОГРАНИЧЕННОСТЬФУНКЦИИ
• Функцию у = f(x) называют
ограниченной снизу на множестве
D(f), если все значения функции на
области определения больше
некоторого числа.
• Функцию у = f(x) называют
ограниченной сверху на множестве
D(f), если все значения функции на
области определения меньше
некоторого числа.
(Если существует число m такое, что для
(Если существует число m такое, что для
любого значения х области определения
выполняется неравенство f(x) < m.)
любого значения х области определения
выполняется неравенство f(x) > m.)
у
m
у
О
m
x
О
Если функция ограничена снизу, то ее
график целиком расположен выше
некоторой горизонтальной прямой
у = m.
x
Если функция ограничена сверху, то
ее график целиком расположен ниже
некоторой горизонтальной прямой
у = m.
Если функция ограниченна и сверху и снизу, то ее называют
ограниченной.
20.
НАИБОЛЬШЕЕ (НАИМЕНЬШЕЕ)ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
Число M называют наибольшим
• Число m называют наименьшим
значением функции у = f(x) на
множестве D(f), если:
значением функции у = f(x) на
множествеD(f), если:
1) в области определения существует
1) в области определения существует
такая точка хо , что f(хо ) = M;
такая точка хо , что f(хо ) = m;
2) для всех х из области определения
выполняется неравенство f(x) f(хо).2) для всех х из области определения
выполняется неравенство f(x) f(хо).
Обозначение: у наиб. = у(хо) = M.
у
у
Обозначение: У наим.
= у(хо) = m.
M
хо
хо
О
х
О
х
m
Если у функции существует У наиб.,
то она ограничена сверху.
Если функция не ограничена сверху,
то У наиб. не существует.
Если у функции существует У наим,
то она ограничена снизу.
Если функция не ограничена снизу, то У
наим. не существует.
21.
ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬФУНКЦИИ
Функция у = f(х) называют четной,
если:
Функция у = f(х) называют
1)Область определения ее
симметрична относительно начала
координат;
1)Область определения ее
симметрична относительно
ОУ;
нечетной, если:
оси
2)Для любого х из D(у) выполняется 2)Для любого х из D(у) выполняется
равенство f(-x) = f(x).
равенство f(-x) = - f(x).
у
у
О
x
График симметричен относительно
начала координат.
О
x
График симметричен относительно
оси ОУ.
22.
Четность и нечетность функции23.
Четность и нечетность функции24.
Четность и нечетность функции25.
10/18/202425
26.
Л И Н Е Й Н А Я Ф У Н К Ц ИyЯ kx m( k 0)K>0
у
1. D(f) = R;
2. Не является ни четной ни
нечетной;
m
О
3. Если k > 0, возрастает,
если k < 0 убывает;
х
4. Не ограничена ни снизу, ни
сверху;
5. Нет ни наибольшего, ни
наименьшего значения;
у
K<0
m
6. Функция
Е( f ) непрерывна;
,0 0,
7.
8. Не имеет выпуклости.
О
х
27.
ФУНКЦИЯD( f ) ,0 0,
1.
k
y
x
у
K>0
2. Нечетная функция;
3. Если k > 0, то функция убывает на D(f),
О
если k < 0, то функция возрастает на D(f);
x
4. Не ограничена ни сверху, ни снизу;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Функция терпит разрыв в точке х = 0;
7.
у
Е( f ) ,0 0,
K<0
8. Если k > 0, то функция выпукла вверх при х < 0,
и выпукла вниз при х > 0;
Если k < 0, то функция выпукла вверх при х > 0,
и выпукла вниз при х < 0.
О
х
28.
y xФУНКЦ И Я
1. D(f) = [0; + ∞);
у
2. Не является ни четной ни нечетной;
3. Возрастает;
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Наибольшего значения нет, наименьшее
значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = [0; + ∞)
8. Выпукла вверх.
О
х
29.
y xФУНКЦ И Я
1. D(f) = R;
2. Функция четная;
у
3. Возрастает на [0; + ∞);
убывает ( - ∞; 0]
4. Не ограничена сверху,
ограничена снизу;
5. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = [0; + ∞)
8. Выпукла вниз.
О
х
30.
ФУНКЦ И Яу ах
1. D(f) = R;
2. Функция четная;
3. Возрастает на [0; + ∞); убывает (
- ∞; 0]
4. Не ограничена сверху,
ограничена снизу;
5. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0,
при
х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = [0; + ∞)
8. Выпукла вниз.
у
2
1. D(f) = R;
2. Функция четная;
3. Убывает на [0; + ∞);
возрастает ( - ∞; 0]
4. Не ограничена снизу,
ограничена сверху;
5. Наименьшего значения нет,
наибольшее значение 0,
при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = ( - ∞; 0];
8. Выпукла вверх.
О
у
х
a>0
a<0
О
х
31.
ИССЛЕДУЙТЕ ФУНКЦИЮ ПОГ РАФ И К У
32.
Периодичность функции33.
Периодичность функции34.
Периодичность функции35.
Н УЛ И ФУ Н К Ц И ИНулем функции y = f (x) называется такое значение аргумента x0,
при котором функция обращается в нуль: f (x0) = 0.
Нули функции - абсциссы точек пересечения с Ох
Y
х1
х2
Х
x1,x2 - нули функции
36.
ПРОМЕЖУТКИЗНАКОПОСТОЯНСТВА
Промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой
знак и не обращается в нуль, называются
промежутками знакопостоянства.
y > 0 (график расположен
выше оси ОХ)
при х (- ∞; 1) U (3; +∞),
y<0 (график расположен
ниже OX) при х (1;3)
y
1
0 1
x