Решение показательных неравенств

1. Решение показательных неравенств.

2.

Необходимые умения.
Знать свойства степеней с рациональным показателем и
уметь преобразовывать выражения содержащие степени и
корни.
Уметь решать рациональные неравенства методом
интервалов. http://ta-
shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s3/s3_1_reshenie_racionalnykh_neravenstv_
metodom_intervalov/15-1-0-85
Понимать значение понятий: система, совокупность.
Уметь решать системы и совокупности.
http://ta-shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s3/s3_2_sistemy_i_sovokupnosti/15-1-0-86
Следует помнить, что неравенство является
показательным, если основание степени больше нуля и не
равно единице.
16.07.2019
2

3.

Некоторые методы решения показательных
неравенств.
Назад
Простейшие показательные неравенства
Сведение неравенства к простейшему
Метод введения новой переменной
Разложение на множители
Сведение к равносильной совокупности
Метод рационализации (замены множителей)

4.

Простейшие показательные неравенства
Методы
Неравенство вида a f(x)< a g(x), где а>0 и а≠1,
называется показательным
Решение основано на следующем свойстве показательной
функции:
- функция у=ах возрастает, если а>1
- функция у=ах убывает, если 0<а<1
a f ( x ) a g( x )
Таким образом:
f(x)<g(x)
при а>1
16.07.2019
f(x)>g(x)
при 0<а<1
4

5.

Простейшие показательные неравенства
Пример 1. 23 4 x 5 23 3 x 8
23 1
4 x 5 3x 8
Ответ : x 13
Пример 3.
3 ,14 1
4 x 2 5 3 x 2
4 x2 3 x 7 0
7
4
4 x 2 5
3 x 2
1
7
Ответ : ; 1;
4
Методы
Пример 2. 0 ,234 x 5 0 ,233 x 8
0 0 ,23 1
4 x 5 3x 8
Ответ : x 13
Пример 4.
3
3 5
3
3
5
6
6
27
25
3
4 x 5
3
3
5
3 x 8
3
1
5
4 x 5 3x 8
Ответ : x 13
5
Свойства

6.

Сведение неравенства к простейшему
Пример 5.
3
3
3
x 2 4 ,5
x 2 4 ,5
x 2 4
Методы
1
3
27
30 ,5 3 3
3 3
x 2 4 3
x2 1 0
1
Ответ :
1
; 1 1;
Свойства

7.

Методы
Сведение неравенства к простейшему
Пример 6. 10 3 x 3
2 x
0
,
81
3
3 x 3
2 x
10
81
32
100
1
3 x 3
4 x
2
10
9
9
10
2
2
1
( 3x2 3 ) 4 x
2
3 x2 3 8 x
3 x2 8 x 3 0
2
10
9
1
3 x2 3
2
10
9
4x
1
3
3
1
Ответ : ;3
3
Свойства

8.

Методы
Сведение неравенства к простейшему
Пример 7. 5 x 1 2 x 2 8 10 x
5
x 1
2
x 2
2 2
5
2 (5 2 )
5
x2 3 x 2
5
x 1 ( x 2 3 x 2 )
x 2 4 x 3
10
2
x 2 4 x 3
3 x 2
3
5 x 1 2 x 2
3
2
x2 3 x 2
2
x 2 3 x 2
10 0
x2 4 x 3 0
x2 4 x 3 0
x2 3 x 2
)
1
x 2 3 ( x 2 3 x 2 )
x 2 4 x 3
( 2 (5 2 )
3
1
1
1
3
Ответ : ( 1;3 )
9
Свойства

9.

Методы
Сведение неравенства к простейшему
1
16
Пример 8.
1
2
4 x 1
1 1
2 2
1
2
4x
4 x 2
x 0 , 25
1
4
1
2
2
1 1
2 2
4x
4 x 3
5 1
8 2
4x
5
4
3
5
8
1
2
3
4x
4 x 3
5
4
1 1
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
2 x 1
5
4
4x
5
4
5
4
1
2
1
2
4x
4x
2
1
2
1
4 x 1
1
Ответ : x 4
10
Свойства

10.

Сведение неравенства к простейшему
Пример 8.
Методы
2 2 x 1 3 2 x 1 3 2 x 7 2 2 x
2 2 2 x 3 32 x 32 x 7 2 2 x
2 7 2 2 x 1 3 32 x
9 2 2 x 4 3 2 x 32 x 9
22 x 4
2x
3
9
2
3
2x
2
3
2x 2
2
Ответ : x 1
11
Свойства

11.

Метод введения новой переменной
Пример 9.
Методы
25 x 4 5 x 5 0
5
2x
4 5 5 0
x
Замена : 5 x t 5 2 x t 2
t2 4t 5 0
( t 5 )( t 1 ) 0
5
t 5
t 1
1
5 х 5
x
5 1
нет решений
x
0
5
5
Ответ : x 0
Свойства

12.

Метод введения новой переменной
Пример 10.
Методы
25 x 4 5 x 5 0
5
2x
Замена : 5 x t 5 2 x t 2
4 5 5 0
x
t2 4t 5 0
( t 5 )( t 1 ) 0
5
t 5
t 1
1
5 x 5
x
5 1
x R
x
0
5
5
Ответ : x 0
Свойства

13.

Методы
Метод введения новой переменной
Пример 11.
5
5
12 x 143 12 x 2
5
5
12 x 143 12 x 144
5
5
t 143 144 t
Замена : 12 x t
144 t ( t 144 ) 0
5 144 t 5 ( t 143 ) 0 5
144 t ( t 143 ) 0
t 1
143t 143 0
5x 1
5 x 50
Ответ : x 0
Свойства

14.

Метод введения новой переменной
Методы
Пример 12. ( 19 6 10 ) x 6 ( 10 3 ) x 1 0
Заметим, что выражение
( 10 3 )2 x 6 ( 10 3 ) x 1 0 в первой скобке равно
квадрату выражения,
t2 6 t 1 0
находящегося во второй
скобке
( t ( 3 10 )( t ( 3 10 )) 0
Замена : ( 10 3 ) x t
3 10
3 10
t 3 10 ( 10 3 ) x 3 10 x R
x
t 3 10 ( 10 3 ) 3 10 ( 10 3 ) x ( 10 3 )0
0 10 3 1
Ответ : x 0
Свойства

15.

Методы
Метод введения новой переменной
( 3 2 2 )x ( 3 2 2 )x 6 0
Числа (a-b) и (a+b)
1
t 6 0 t 0
являются взаимно
t
2-b2=1
обратными,
если
a
t2 6t 1 0
(наш случай)
( t ( 3 2 2 )( t ( 3 2 2 )) 0
Замена : ( 3 2 2 ) x t
Пример 13.
1
(3 2 2 )
t
x
3 2 2
t 3 2 2
t 3 2 2
3 2 2
( 3 2 2 ) x ( 3 2 2 )1
x 1
0 3 2 2 1
x
1
x 1
( 3 2 2 ) ( 3 2 2 )
Ответ : ( ; 1 ) ( 1; )
Свойства

16.

Разложение на множители
Пример 14.
Методы
8 x 3 4 x 2 x 2 12 0
2 3 x 3 2 2 x 4 2 x 12 0
Замена : 2 x t
t 3 3 t 2 4 t 12 0
t 2 ( t 3 ) 4( t 3 ) 0
( t 2 4 )( t 3 ) 0
( t 2 )( t 2 )( t 3 ) 0
( 2 x 2 )( 2 x 2 )( 2 x 3 ) 0 ( 2 x 2 )( 2 x 3 ) 0
2x 2 0
2 x 21
Ответ : x 1
Свойства

17.

Разложение на множители
Методы
Пример 15. 4 8 x 6 12 x 2 18 x 3 27 x 0
4 2 3 x 6 2 2 x 3 x 2 2 x 32 x 3 33 x 0
Замена : 2 x a
3x b
4 a 6 a b 2 a b 3 b 0
3
2
2
3
2 a 2 ( 2 a 3b ) b 2 ( 2 a 3 b ) 0
( 2a 2 b 2 )( 2a 3b ) 0
( 2 2 2 x 3 2 x )( 2 2 x 3 3 x ) 0 ( 2 2 x 3 2 x ) 0
2 2 x 1 3 2 x 1 0
2
2 x 1
2
3
3
2 x 1
2 x 1
1
3
2 x 1
0
2
3
2 x 1
2
3
2x 1 0
0
Ответ : x 0 ,5
Свойства

18.

Разложение на множители
Методы
3 3 x 3 2 x 1 3 x 1 1 0
Пример 16.
33 x 3 32 x 3 3 x 1 0
Замена : 3 x a
a 3 3a 2 3a 1 0
( a 3 1 ) ( 3a 2 3a ) 0
( a 1 )( a2 a 1 ) 3a( a 1 ) 0
( a 1 )( a 2 a 1 3a ) 0
a 1 0
( a 1 )( a 2 2a 1 ) 0
a 1
( a 1 )( a 1 ) 0
3x 1
( a 1) 0
3 x 30 Ответ :
2
3
x 0
Свойства

19.

Сведение к равносильной совокупности
Пример 17.
( x 4x )
2
x 2 5 x
( x 4x )
2
x 2 5 x
1
( x 2 4 x )0
Если х2-4х≠1, то необходимо
рассматривать два случая:
x 4 x 1
2
x 5 x 0
2
0
x
4x 1
x 2 5 x 0
2
Методы
Во первых, заметим, что
если х2-4х=1, то неравенство
выполнено; при х=0 - не имеет
смысла
x 2 5 решения
2
1) x 4 x 1 0
2
x 5x 0
( x ( 2 5 ))( x ( 2 5 )) 0
x( x 5 ) 0
5
2 5
0
2 5
Свойства

20.

Сведение к равносильной совокупности
Пример 17.
( x 4x )
2
x 2 4 x 1
2
1)
x
5
x
0
2
0
x
4x 1
x 2 5 x 0
x 2 5 x
1
5
Методы
x 2 5 решения
2 5
2 5
0
2
0
x
4x 1
2)
2
x 5 x 0
( x ( 2 5 ))( x ( 2 5 )) 0
x( x 4 ) 0
2
5
x( x 5 ) 0
5
0
4
2 5
Решение – объединение решений двух случаев
Ответ : ( ; 5 ] [ 2 5 ;0 ) [ 2 5 ; )
Свойства

21.

Метод замены множителей
Методы
Знак выражения hf-hg совпадает со знаком выражения
(h-1)(f-g)
Пример 17 (второй способ). ( x 4 x )
2
( x 4x )
2
x 2 5 x
x 2 5 x
( x 2 4 x )0 0
1 при х=0 - не имеет
смысла
( x 2 4 x 1 )( x 2 5 x ) 0
x( x ( 2 5 ))( x ( 2 5 ))( x 5 ) 0
5
2 5
0
2 5
Ответ : ( ; 5 ] [ 2 5 ;0 ) [ 2 5 ; )
Свойства

22.

Методы
Спектр решения таких задач значительно
расширится после изучения темы «Логарифмы»
Мы сможем записывать решение, например,
такого неравенства:
2x 3

23.

Источники
Мордкович А. Г. Задачник (профильный
уровень) 11 класс
Алтынов П. И. «Контрольные и зачетные
работы по алгебре. 11 класс»
Методы