Показательные неравенства. Решение простейшего показательного неравенства

1. ПРОСТЕЙШИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

2.

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО это неравенство, содержащее неизвестную величину
в показателях степеней при некоторых постоянных
основаниях этих степеней
2х 8
27 3х 0,5х 4
25х 5х 1 4 0
х 4
2

3.

Неравенство вида
а
f x
f x
b
g x
а
или а
, где а 0 , a 1
- простейшее показательное неравенство.
Решение простейшего показательного неравенства основано
на использовании характера монотонности показательной функции:
а f x а g x
у ах
а 1
возрастает
f x g x
знак неравенства
в показателях
не меняется!
0 а 1
у а х убывает
f x g x
знак неравенства
в показателях
МЕНЯЕТСЯ!

4.

Примеры решения простейших показательных неравенств
1)
2х 8
2 х 23
у 2 х возрастает,
поэтому
х 3
Ответ. 3;
х
2)
1 1
2 8
х
3)
3
1 1
2 х 2
1
у убывает,
2
поэтому
х 3
Ответ. 3;
5х 1
5 х 50
у 5х
возрастает,
поэтому
х 0
Ответ. ; 0

5.

Примеры решения простейших показательных неравенств
х
4)
1
1
27
3
х
3
1
1
3
3
х
1
у убывает,
3
поэтому
x
5)
5
3
3
5
x
1
3
3
5
5
х
3 убывает,
у
5
поэтому
х 3
х 1
Ответ. ; 3
Ответ. 1;
6)
0,2 х 125
х
1
3
5
5
5 х 53
у 5 х возрастает,
поэтому
х 3
х 3
Ответ. ; 3

6.

Примеры решения простейших показательных неравенств
Показательная функция
у а х , а 0, a 1
при любых значениях х
принимает только положительные значения!
х
7)
3х 0
Ответ.
;
1
8) 2
2
Ответ.
решений нет
9)
2 х 0 ,5
Ответ.
;
10)
0,3х 0
Ответ.
решений нет

7.

1 х
4
2
2 1 х
1
8
2 3
22 2 х 2 3
у 2 х возрастает,
поэтому
2 2 х 3
2 х 3 2
2 х 5
х 2,5
Ответ. 2,5;
х
х 1
4 0 ,25
8
х
1
1
4
4
8
0 ,5
1
2 х 3
2
2
1
2
2 х 1,5 2 1
х
1
1
4
2
х
2
2 х 6
у 2х
2
1 1
2 2
х
1
у убывает,
2
поэтому
х 2
Ответ. 2;
возрастает,
поэтому
х 1,5 1
х 0,5
Ответ. 0,5;

8.

0 ,27 3 x 2
0,20
0,2
у 0 ,2 х
убывает,
поэтому
0,27 3х 2 0
квадратное неравенство,
решается графически
Рассмотрим функцию
у 3х 2 0,27
график - парабола
1) ветви вниз
2) точки пересечения с осью Ох
3х 2 0,27 0
3х 2 0,27
х 2 0,09
х 0,3 - две точки
_
1
0,2
-0,3
Ответ. - ; 0,3 0,3;
+
0 ,27 3 x 2
0,3
_ х

9.

7
x 2 x 4
x 2 x 4
7
у 7х
49
Рассмотрим функцию
72
график - парабола
возрастает,
поэтому
у х2 х 6
1) ветви вверх
2) точки пересечения с осью Ох
х2 х 6 0
х 2 ,
- две точки
х 3
х х 4 2
2
х2 х 6 0
квадратное неравенство,
решается графически
+
Ответ. 2; 3
-2
_
•3
+ х

10.

x2
0,5 22 x 2 64
2
x2
Рассмотрим функцию
y x 2 2x 4
2 2 x 2 26
x2 2 x 2
2
у 2х
график - парабола
26
1) ветви вверх
2) точки пересечения с осью Ох
возрастает,
x 2 2x 4 0
D 12 0
поэтому
x2 2x 2 6
x2 2x 4 0
корней нет
квадратное неравенство,
решается графически
т.е. парабола
с осью Ох
не пересекается
х
_
Ответ. решений нет
_
_

11.

2 х 1
0,15 3 х
2 х 1
0 ,15 3 х
Рассмотрим функцию
1
y
0 ,150
у 0,15 х убывает,
поэтому
2x 1
3 x
1) Область определения функции
D y : 3 x 0
x 3
2) Нули функции
2x 1
0
3 x
2x 1
0
3 x
x 0 ,5
дробно-рац. неравенство,
решается методом интервалов
3) Знаки функции на интервалах
_
-0,5
Ответ. - ; 0,5 3;
+
°
3
_
х

12.

2
2
x 8 х
2 32
2
x 8 х
2
2
x 2 8 х
1
22
5
22
23
x 2 8х 3
x 2 8х 3 0
иррациональное неравенство,
решается методом интервалов
Рассмотрим функцию
у x 2 8х 3
1) Область определения функции
D у : x 2 8 х 0
парабола
ветви вверх
x 2 8х 0
+
х х 8 0
-8
х 0, x 2 8х 3 0
х 8
2) Нули функции
0
x2 8х 3
x2 8х 9
x2 8х 9 0
х 1,
х 9
3) Знаки функции на интервалах
+
Ответ. - ; 0,5 3;
_
-9
_
_
-8
0
•1
+
х
+ х

13.

Домашнее задание
1) 53 x 2 625
5
2)
3
3)
4)
5)
2 x 8
9
25
5 x
0,09
х
0,2 5
5 x 9
0,1
6)
0 ,3
3 х
х 7
2 х 9
0,001
7)
х
4
2
5
9
15
x
5
x 2 3 х
х
4 х 3
8)
9
9)
0,6
1
4
9
x 2 х
9
25
2
10) 4 х x 0,25