Решение задач ЕГЭ с применением графиков функций, уравнений, неравенств

1.

B11
11 класс, подготовка к ЕГЭ
Подготовила:
Ефимова Людмила Иосифовна,
учитель математики МБОУ «СОШ №9»
высшая квалификационная категория

2.

Задачи, решаемые при помощи графика
линейной функции (прямой):
тепловое расширение рельса;
месячная прибыль предприятия.

3.

Задачи, решаемые при помощи графика
квадратичной функции (параболы):
мальчик, камешки, колодец;
выручка предприятия при
наибольшей цене;
мяч, подброшенный вверх;
скорость вращения ведёрка;
частичное вытекание воды из бака;
полное вытекание воды из бака;

4.

Задачи, решаемые при помощи графика
квадратичной функции (параболы):
камнеметательная машина;
нагревание прибора;
время проверки работы лебёдки;
мотоциклист в зоне сотовой связи;
торможение автомобиля;
момент инерции вращающейся
катушки.

5.

Задание B11
Деталью некоторого прибора является вращающаяся
катушка. Она состоит из трёх однородных соосных
цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R = 5 см,
и двух боковых с массами M = 2 кг и с радиусами R + h. При
этом момент инерции катушки относительно оси вращения,
выражаемый в кг· см2 , даётся формулой
(m+2M)R2
. + h2).
I =
+ M(2Rh
2
При каком максимальном значении h момент инерции
катушки не превышает предельного значения 1900 кг· см2 ?
Ответ выразите в сантиметрах.

6.

Задание B11
Решение. Функция:
Данные:
m 8,
M 2,
R 5.
hmax 0 при I 1900.
2
(m 2M ) R
2
I
M (2 Rh h ).
2
2
I 2h 20h 150, h 0.
Найти: hмах
Схематичный
график:
y
y = I(h)
1900
150
0
hmax h

7.

Задание B11
2
2h 20h 150 1900
Решение.
2h 2 20h 1750 0, |: 2
Решаем
2
h 10h 875 0.
уравнение:
2
2
D 10 4 875 60 .
h1 35,h2 25 hmax .
(больший корень)
y
y = I(h)
1900
Ответ:
25.
150
0
hmax h

8.

Задание B11
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени
со скоростью v0 = 24 м/с, начал торможение с постоянным
ускорением a = 3 м/с2. За t секунд после начала
at2
торможения он прошёл путь S = v0t
(м). Определите
2
время, прошедшее от момента начала торможения, если
известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров.
Ответ выразите в секундах.

9.

Задание B11
Функция:
Данные:
v0 24,
a 3.
2
at
S v0t
.
2
Найти: t 0 при S 90.
Схематичный
график:
y
y = S(t)
90
tнаим.
0
t

10.

Задание B11
Решение. Функция:
Решаем
уравнение:
2
3t
S 24t
.
2
2
3t
90 24t
.
2
3 2
3
t 24t 90 0, |:
2
2
2
t 16t 60 0.
t1 10, t2 6 tнаим.
( меньший корень)
Ответ:
6.
Схематичный
график:
y
y = S(t)
90
tнаим.
0
t

11.

Задание B11
Мотоциклист, движущийся по городу со
скоростью v0 = 57 км/ч, выезжает из него
и сразу после выезда начинает
разгоняться с постоянным ускорением
a = 12 км/ч2. Расстояние от
мотоциклиста до города, измеряемое в
километрах, определяется выражением
at2
S = v0t
. Определите наибольшее
2
время, в течение которого мотоциклист
будет находиться в зоне
функционирования сотовой связи, если
оператор гарантирует покрытие на
расстоянии не далее чем в 30 км от
города. Ответ выразите в минутах.
Нет зоны
действия сети

12.

Задание B11
2
at
.
Функция: S v0t
Данные:
v0 57,
a 12.
2
tнаиб. 0 при S 30.
Найти:
57t 6t 30
2
6t 2 57t 30 0, |: 3
2
2t 19t 10 0.
t1 10, t2 0,5(ч) tнаиб.
(больший корень )
tнаиб. 30( мин.)
Ответ: 30
Схематичный
график:
y
y = S(t)
30
tнаиб. t
0

13.

Задание B11
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от
времени для нагревательного элемента некоторого
прибора была получена экспериментально и на
исследуемом интервале температур определяется
выражением T(t) = T0 + bt + at2 , где t — время в
минутах, T0 = 1450 К, a = - 12,5 К/мин2 , b = 175 К/мин.
Известно, что при температуре нагревателя свыше
1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно
отключать. Определите, через какое наибольшее
время после начала работы нужно отключать
прибор. Ответ выразите в минутах.
Пирометр — прибор для беcконтактного
измерения температуры тел.

14.

Задание B11
Функция:
Данные:
T0 1450,
a 12,5,
b 175.
T (t ) T0 bt at 2
Найти: tнаиб. 0 при T (t ) 1750.
Схематичный
график:
y
1750
1450
0
y = T(t)
tнаиб.
Необходимо
отключить
t

15.

Задание B11
2
Решение. Функция: T (t ) 1450 175t 12,5t
Решаем
Найти: tнаиб. 0 при T (t ) 1750.
уравнение:
2
Схематичный
1750 1450 175t 12,5t
график:
2
12,5t 175t 300 0, |: 12,5
y
1750
t 14t 24 0,
2
y = T(t)
t1 12, t 2 2 t наиб.
( меньший корень )
Ответ:
2.
1450
0
tнаиб.
Необходимо
отключить
t

16.

Задание B11
Камнеметательная машина выстреливает камни под
некоторым острым углом к горизонту. Траектория
полёта камня описывается формулой y = ax2 + bx ,
-1 -1
7
где a
м ,b
— постоянные параметры,
60
6
x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) —
высота камня над землёй.
На каком наибольшем
расстоянии (в метрах) от
крепостной стены высотой
9 м нужно расположить
машину, чтобы камни
пролетали над стеной на
высоте не менее 1 метра?

17.

Задание B11
Данные:
Функция: y( x) ax bx.
1
a ,
60
7
b .
6
Найти: x при y( x) 10.
2
Схематичный
график:
y
y = y(x)
10
xнаиб.
0
x

18.

Задание B11
Решение.
Решаем
уравнение:
1 2 7
Функция: y ( x) 60 x 6 x.
Найти: x при y( x) 10.
Схематичный
график:
1 2 7
x x 10.
60
6
2
x 70 x 600 0,
x1 10, x2 60 x наиб.
Ответ:
60.
y
y = y(x)
10
xнаиб.
0
x

19.

Задание B11
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого
дна закреплён кран. После его открытия вода начинает
вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём,
выраженная в метрах, меняется по закону
H(t) = H0 + bt + at2 , где Н0 = 2 м — начальный уровень воды,
1
-2
2
a
м/мин , b
м/мин, t — время в минутах,
50
5
прошедшее с момента открытия
крана. В течение какого времени
вода будет вытекать из бака?
Ответ приведите в минутах.
H
0

20.

Задание B11
Данные:
Функция:
H 0 2 м,
1
a ,
50
2
b .
5
Найти:
Н (t ) H 0 bt at
2
t при H (t ) 0.
Схематичный график:
y
2
H=0
0
y = H(t)
t
tвытекания

21.

Задание B11
2
1 2
Функция: Н (t ) 2 t t
5 50
Найти: t при H (t ) 0.
Решение.
Решаем
уравнение:
2
1 2
2 t t 0,
5 50
Схематичный график:
y
2
100 20t t 0,
2
t 10
2
Ответ:
y = H(t)
0 t 10.
10.
H=0
0
t
tвытекания

22.

Задание B11
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого
дна закреплён кран. После его открытия вода начинает
вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём,
выраженная в метрах, меняется по закону
g 22
H (t ) = H0 — 2gH 0 kt k t , где t — время в секундах,
2
прошедшее с момента открытия крана, k = 1 —
200
отношение площадей поперечных сечений крана и бака,
Н0 = 5 м — начальная высота столба воды, а g — ускорение
свободного падения (считайте g = 10 м/с2).
Через
сколько секунд после открытия крана в баке останется
четверть первоначального объёма воды?

23.

Задание B11
g 22
Данные: Функция: Н (t ) H 0 2 gH 0 kt k t
2
2
g 10 м / с ,
1
5
Найти: t при H (t ) H 0 .
1
4
4
k
,
200
Схематичный график:
H0 5 м
y
5
H0
1
H0
4
1
H0
4
0
y = H(t)
t
tнаим.

24.

Задание B11
1
1 2
Решение. Функция: Н (t ) 5
t
t
20
8000
Решаем
уравнение:
1
1 2 5
5 t
t .
20 8000
4
Схематичный график:
40000 400t t 10000.
t 2 400t 30000 0.
y
5
2
y = H(t)
t1 300, t2 100 t наим.
Ответ:
100.
1
H0
4
0
t
tнаим.

25.

Задание B11
Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на
верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет
выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на
дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней
точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться,
если сила её давления на дно будет положительной во
всех точках траектории кроме верхней, где она может быть
равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная
v2
g , где m — масса воды в
в ньютонах, равна P m
L
килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с,
L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного
падения (считайте, g = 10 м/с2 ). С какой наименьшей
скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не
выливалась, если длина верёвки равна 62,5 cм?
Ответ выразите в м/с.

26.

Задание B11
Данные: L 62,5 см 0,625 м
v2
Функция: P m g
L
Найти: vнаим. 0 при P 0.
Схематичный
график:
y
y = P(v)
v
Pmax = P ≥ 0
Pmin > 0
0
vнаим.
-10m

27.

Задание B11
Решение.
v2
Функция: P m
10 , m 0, v 0.
0,625
Решаем уравнение:
v2
m
10 0, v 0.
0,625
v2
m
10 0, v 0,
0,625
Так как v 0, то v 2,5.
Ответ:
2,5.
Схематичный
график:
y
y = P(v)
v
0
vнаим.
-10m

28.

Задание B11
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по
закону h(t) = 1,4 + 9t - 5t2 , где h — высота в метрах, t — время
в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд
мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?
Функция: h(t ) 5t 2 9t 1,4
Найти: t t2 t1
5t 9t 1,4 3
t 1,6 0,2 1,4
2
5t 9t 1,4 3.
2
5t 9t 1,6 0,
y
2
y = h(t)
3
1,4 ∆t
0 t1
t1 0,2, t1 1,6.
Ответ:
Данные: h(t ) 3
1,4.
t
t2

29.

Задание B11
Зависимость объёма спроса q (тыс. руб.) на продукцию
предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся
формулой q = 130 - 10p . Выручка предприятия за месяц
r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q · p.
Определите наибольшую цену p, при которой месячная
выручка составит не менее 360 тыс. руб.
Ответ приведите в тыс. руб.
Функция:
q 130 10 p, r ( p) q p
r ( p) (130 10 p) p
Данные: r ( p) 360
0
Найти:
pнаиб. при r ( p) 360.
y
y = r(p)
360
pнаиб.
p

30.

Задание B11
Решение.
r ( p) (130 10 p) p
2
r ( p) 10 p 130 p
10 p 130 p 360
2
10 p 130 p 360,
2
p 13 p 36 0,
p1 4, p2 9
pнаиб. 9.
2
Ответ:
9.
y
y = r(p)
360
pнаиб.
0
p

31.

Задание B11
1,2 с
1,1 с
После дождя уровень воды в
колодце может повыситься.
Мальчик измеряет время t
падения небольших камешков
в колодец и рассчитывает
расстояние до воды по
формуле h = 5t2, где
h — расстояние в метрах,
t — время падения в секундах.
До дождя время падения
камешков составляло 1,2 с.
На сколько должен подняться
уровень воды после дождя,
чтобы измеряемое время
изменилось на 0,1 с?

32.

Задание B11
2
Решение. Функция: h 5t
Данные: tдо 1,2 с, tизм. 1,1 с.
h h(1,2) h(1,1)
Найти:
Схематичный
график:
h 5 1,2 5 1,1
h(1,2) y
5 (1,2 2 1,12 )
5 (1,2 1,1) (1,2 1,1)
∆h
5 0,1 2,3 1,15( м)
2
2
y=h(t)
h(1,1)
Ответ:
1,15.
1,1 1,2
0
t

33.

Задание B11
Некоторая компания продает свою продукцию по цене
p
= 600 руб. за единицу, переменные затраты на
производство одной единицы продукции составляют
ν = 400 руб., постоянные расходы предприятия
f = 600000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль
(в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q( p - ν)- f .
Определите наименьший месячный объём производства q
(единиц продукции), при котором месячная операционная
прибыль предприятия будет
не меньше
500000 руб.

34.

Задание B11
Функция: (q) q( p ) f
Данные:
p 600 руб., Найти: qнаим. при (q) 500000.
400 руб.
f 600000 руб.
Схематичный
график:
Решение.
y
(q) 200q 600000
y = π(q)
200q 600000 500000
500000
200q 1100000
qнаим.
q
qнаим. 5500
Ответ:
5500.
0
- 600000

35.

Задание B11
При температуре 0oС рельс имеет длину lo= 20 м. При
возрастании температуры происходит тепловое
расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах,
меняется по закону l(to) = l0 ( 1+α·to), где α = 1,2·10-5(oC)-1 –
коэффициент теплового расширения, to - температура (в
градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
y
20009
Функция:
0
0
l (t ) l0 l0 t
y=l(to)
Найти:
t при l (t ) 20009 мм
0
20000
0
0
to
to

36.

Задание B11
Решение. l0 2 104 мм; 1,2 10 5 (0C) 1.
l0 20 м 20 100см 2000 10 мм
4
20000 мм 2 10 мм
5 0
l (t ) 20000 2 10 1,2 10 t
0
4
l (t ) 0,24 t 20000
0
y
20009
0
20009 0,24 t 20000
0
9 0,24 t
0
0
t 37,5 С
y=l(to)
0
Ответ:
37,5.
20000
0
to
to