Площадь криволинейной трапеции

1.

2.

ABCD –криволинейная трапеция
y
B
C Y = f(x)
F/ (x) = f(x)
s
A
a
S = F(b) – F(a)
D
b
x
b
F (b) F (a) f ( x)dx
a

3.

Записать формулу для вычисления площади
криволинейной трапеции
y
Y=g(x)
a
b
x
b
а) S = F(b) – F(a)
b) S
f ( x)dx
a

4.

Записать формулу для вычисления площади
криволинейной трапеции
y
Y= f(x)
а
b
x
b
a) S = - (F(b) –F(a)
b) S ( f ( x)) dx
a

5.

Записать формулу для вычисления площади криволинейной
трапеции
y
Y=f(x)
a
Y=g(x)
b
x
a ) S S1 S2
S1 F (b) F ( a )
S2 G (b) G ( a )
F / ( x) f ( x)
G ( x) g ( x)
/
b
b) S ( f ( x) g ( x)) dx
a

6.

Записать формулу для вычисления площади
криволинейной трапеции
Y=f(x)
y
Y=g(x)
S1
S2
b
a
c x
S S1 S2
S1 F (b) F ( a )
S 2 G ( c ) G ( b)
b
c
a
b
S f ( x )dx g ( x )dx

7. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

у х 1
2
1)
Решение:
у 1 х
S S2 S1
4
f x = x+1 2
g x = 1-x
3
2
S1 F 0 F 1
1
-6
-4
-2
2
-1
-2
-3
-4
15
9
S 3
2
2
4
6
x3
F x x 2 x
3
F 0 0
F 3 9 9 3 3
S1 3
1
15
S2 5 3
2
2

8.

у х
2)
Решение:
у х 2
2
Ох
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
-1
-2
-3
-4
4
6

9.

4
f x = x
g x = x-2 2
3
2
1
Решение
-6
-4
-2
2
4
6
-1
-2
-3
-4
х х 2
2
х 1
1
S
0
2
x dx x 2 dx
2
1
2 2 1 x3
2 2 8
4 x2
1
x
4
x
2
4
8
2 4
3
0 3
1 3 3
2
3
3 2 1
3

10.

4
х
Касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой х=2,
и прямыми у=0, х=6.
3) Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой
у
4
4
f x =
x
g x = 4-x
-6
3
2
1
-4
-2
2
-1
-2
-3
-4
4
6

11.

1) способ:
4
6
4
4
S 4 x dx dx
x
x
2
4
x 4
6
4 ln x 4 x 2 4 ln x 4
2
4 ln 4 16 8 4 ln 2 8 2 4 ln 6 4 ln 4
2
2 4 ln 6 ln 2 4 ln 3 2

12.

2 способ
4
4
4
S1 dx 4 ln x 2 4 ln 6 4 ln 2 4 ln 3
x
2
1
S2 2 2 2
2
S S1 S2 4 ln 3 2

13.

3 способ
1.
S S1 S 2
S1 F 6 F 2
F x 4 ln x
2.
1
S2 2 2 2
2
F 6 4 ln 6
F 2 4 ln 2
S1 4 ln 3
S 4 ln 3 2

14.

4) Используя геометрические соображения, вычислить интеграл:
4
а)
4 х х dx
2
0
0
б)
1
х 2 х dx
2

15.

Решение. а) Имеем:
у
4 х х2 ;
у2 4 х х2;
х 2 2 у 2 22
Это уравнение окружности радиуса r=2 с центром в точке (2;0).
Значит, заданным интегралом выражается площадь половины круга.
S 0,5 r 2 0,5 4 2
б) Имеем:
у х2 2 х ;
х 1 2 у 2 12.
S 0,25 r 2 0,25 1 0,25

16.

5) Вычислить интеграл:
2
а)
4 х 2 dx
0
4
б)
64 х 2 dx
4
5
в ) х 1 dx
0

17.

а) Фигура, площадь которой выражается заданным интегралом,
состоит из сектора круга радиусом 2 и центральным углом
И прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом 45
Решение:
а) Уравнение
окружности:
у
4 х2
у2 х2 4
б)Найдем площадь сектора:
S
r 2 45
360
4
8
2
в) Найдем площадь треугольника:
1
2 2 1
2
г) Найдем площадь, заданной фигуры:
S2
S S1 S 2
2
1

18.

б)
Площадь, заданной фигуры можно найти как сумму
площади сектора и двух прямоугольных треугольников.
Решение:
у 64 х 2
8
у 2 х 2 64
-8
-4
4
Ответ:
8
64 60 32
S1
360
3
1
S2 4 4 2 2 16 2
2
32
S
16 2
3
32
S
16 2
3

19.

Г)
Площадь, заданной фигуры можно найти как
сумму
площадей двух прямоугольных треугольников.
Решение:
4
1
1 1
5
1
1
S 1 1 4 4 8,5
2
2
Ответ: 8,5

20.

6) Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций:
а ) у х 1
2
у х 1 2
4
f x = x-1 2
g x = - x+1 +2
3
2
1
-6
-4
-2
2
-1
-2
-3
-4
4
6

21.

Решение:
S1
1
1
1 1
2
2
x3
x2
1
1
S2 x 1 dx
2
x 10 1 1
2
3
3
3
0
1 1 1
S
2 3 6
1
2
7)
Найти площадь фигуры,
ограниченной графиком
функции и касательной
к нему в точке х=3
у х3 6 х2 9 х 1
Заданная функция имеет точку максимума (1;5) и точку минимума
(3;1).Построим график этой функции. Касательная к нему в точке х=3
параллельна оси абсцисс и имеет с графиком еще одну
общую точку (0;1).

22.

f x = x3-6 x2 +9 x+1
g x = 1
10
8
6
4
2
-10
5
-5
10
-2
-4
-6
-8
27
S x 6 x 9 x 1 1 dx
4
0
3
3
2
15