Системы тригонометрических уравнений

1.

2.

1. Системы уравнений, в которых одно уравнение –
алгебраическое, а другое – сумма или разность
тригонометрических функций.
Примеры:
х у а,
а)
1
sin x sin y 2 ;
5
x y 6 ,
в )
2
cos x cos 2 y 1 ;
4
2
х у ,
3
б )
tgx tgy 2 3;
x
y
3 ,
г )
ctgx ctgy 3.

3.

2. Системы уравнений, в которых одно уравнение –
алгебраическое, а другое – произведение
тригонометрических функций.
Примеры:
х у а,
а)
sin x sin y b;
x y a,
б )
sin x cos y b;
x y a,
в)
cos x cos y b;
7
x y 12 ,
г )
tgx ctgy 3 ;
3
x y ,
д)
1
ctgx ctgy 3 .

4.

3. Системы
уравнений, в которых
одно уравнение – алгебраическое,
а другое – отношение тригонометрических функций.
x y a,
а) sin x
b
;
sin y
x y a,
г ) cos x
b
;
cos y
Примеры:
x y a,
x y a,
в ) ctgx
б ) tgx
b
;
b
;
ctgy
tgy
x y a,
д) cos x
b
;
sin y

5.

4. Системы уравнений, содержащих только
тригонометрические функции.
Примеры:
1
sin
x
cos
y
,
4
а)
sin 2 x cos 2 y 1 ;
2
1
sin
x
sin
y
,
4
в )
3
cos x cos y ;
4
y
x
tg tg 2,
б ) 2
2
ctgx ctgy 1,8;
3tgx tg y,
г )
cos x sin 2 y.
3

6.

1. Решить систему уравнений
x y 3 ,
cos x cos y 3 .
2
Решение.
x y 3 , (1)
cos x cos y 3 ; (2).
2
x y
x y 3
Из (2) следует:
2 cos
cos
.
2
2
2
x y
3
2 cos
cos ,
Из (1) следует:
2
6 2
x y
3
x y
3
x y 3 3
.
, cos
2 cos
, cos
2
2
2
2
2
2
2 3

7.

x y
3
cos
.
2
2
x y
3
arccos
2 n, n ,
2
2
x y
2 n, n ,
2
6
x y
3
4 n, n .
Запишем систему:
x y 3 4 n, n ,
x y ;
3

8.

Запишем систему:
x y 3 4 n, n ,
x y ;
3
Если сложить и вычесть уравнения системы, то получим систему,
равносильную исходной.
2
x
4
n
,
n
,
3 3
2 y 4 n, n ;
3 3

9.

2 x 3 3 4 n, n ,
2 y 4 n, n ;
3 3
x
2
n
,
6 6
y 2 n, n .
6 6
Ответ: x 2 n , y 2 n , n .
6
6
6
6

10.

x y 6 ,
2. Решить систему уравнений
cos x sin y 1 .
4
Решение.
x y 6 , (1)
cos x sin y 1 (2);
4
Из (2) следует:
1
1
(sin( x y ) sin( y х)) ,
2
4
1
(sin( x y ) sin( y х)) .
2
Из (1) следует:
1
sin( x y ) sin ,
6 2
sin( x y ) 1,
x y
2
2 n, n

11.

Запишем систему уравнений:
x y 2 2 n, n ,
x y ;
6
2 x 2 6 2 n,
2 y 2 n, n ;
2 6
x 3 n,
y n, n .
6
Ответ:
x
3
Складывая и вычитая
уравнения системы,
получим систему,
равносильную исходной:
2
2 x 3 2 n,
2 y 2 n, n ;
3
(3n 1), y
6
(6n 1), n

12.

x y 6 ,
3. Решить систему уравнений
sin x 2.
cos y
x y 6 ,
sin x
2.
cos y
Решение.
y x 6 ,
sin x 2 cos( x );
6
Решим второе уравнение системы:
sin x 2 cos( x ), (1).
6
Правую часть уравнения (1) распишем по формуле косинуса разности:
sin x 2 cos x cos
6
2 sin x sin
sin x 3 cos x sin x,
6
,
откуда cosx = 0,
x
2
n, n .

13.

x
n
,
n
,
2
y x ;
6
x 2 n,
y n , n ;
2
6
x 2 n,
y n, n .
3
Ответ:
x
2
n, n , y
3
n, n .

14.

4. Решить систему уравнений
sin x cos y
cos x sin y
3
,
4
3
.
4
sin x cos y
cos x sin y
Решение.
3
,
4
3
.
4
Если сложить и вычесть уравнения системы, то получим систему
равносильную исходной. Итак:
3
,
sin x cos y cos x sin y
2
sin x cos y cos x sin y 0.

15.

Применим формулы сложения:
3
,
sin( x y )
2
sin( x y ) 0;
n
x y 1 n, n ,
3
x y k , k .
При решении независимых простейших уравнений необходимо писать
разные целочисленные параметры, иначе будет потеряно множество
корней.
Сложим и вычтем уравнения системы(1):
n
2 x 1 3 n k , n, k ,
2 y 1 n n k , n, k ;
3

16.

1
n
x 1 6 2 (n k ) , n, k ,
y 1 n 1 (n k ) , n, k .
6 2
Ответ:
1
x 1 (n k ) ,
6 2
1
n
y 1 (n k ) , n, k
6 2
n