Исследование устойчивости рынка ВРП методами Ляпунова. Лекция 6

1. Лекция 6 Исследование устойчивости рынка ВРП методами А.М. Ляпунова

2. 1. Рынок ВРП как самоорганизующаяся система

Экономику региона представим в виде однопродуктовой модели
мезоэкономической системы. Основной товар, производимый и реализуемый
на рынке – валовой региональный продукт (ВРП).
Цель экономической системы – обеспечить спрос на ВРП и определенный
уровень капитала, соответствующий ресурсам, технологиям.
Составные части рынка:
• Т – рынок товара;
• Р – рынок рабочей силы;
• К – рынок капитала.
К
Т
Товарно-денежные
отношения
(производство,
ценообразование)
Конкуренция
и
кооперация
Р
Свободное
предпринимательст
во
Рис.1 – Саморегулирующийся рынок

3.

Рынок – система самоорганизующаяся:
• открытая;
• нелинейная;
• с кооперативным взаимодействием – обменом между собственниками
товара и собственниками денег.
Механизм саморегулирования обусловлен наличием прямых и обратных
связей между:
• спросом и предложением в ценообразовании и производстве;
• поставщиками и потребителями при обмене;
• предприятиями, фирмами при конкуренции и кооперации.
Функции рынка:
регулятивная; информационная;
санирующая.
Рыночные отношения:
• товарно-денежные (ценообразование и производство);
• конкуренция и кооперация между предприятиями, фирмами;
• свободное предпринимательство, основанное на знании законов
функционирования и развития рынка.

4. 2. Теорема А.М. Ляпунова

А.М. Ляпунов ввел в математику функции (функции
Ляпунова) и разработал методы расчета устойчивости
движения систем.
Теорема: если для рынка ВРП, описываемого
уравнениями стационарного движения с перекрестной
эластичностью, можно найти знакоопределенную
функцию S (Yi, Ye) 0, производная от
dS
которой dt 0 , т.е. является знакопостоянной
функцией противоположного знака, то движение
устойчиво.
Ye
Yi
Yi, Ye – количество произведенного и реализованного ВРП
за время t соответственно (параметры неравновесности).
Если S (Yi, Ye) 0, то условие устойчивости процесса:
dS S dYe S dYi
0
dt Ye dt Yi dt
(1)

5.

Введем обозначения:
dS
F (2)
dt
S
X e (3)
Ye
dYe
I e (4)
dt
S
X i (5)
Yi
dYi
I i (6)
dt
где Xe– цена спроса, Xi – цена предложения, Ie – спрос, Ii – предложение, тогда условие
устойчивости процесса взаимодействия спроса и предложения на рынке ВРП :
F Ie X e Ii X i 0
(7)
• метод заключается в прямом исследовании устойчивости неравновесных рыночных
ситуаций путем определения функций;
• методы Ляпунова – общепринятые средства анализа в точном естествознании и
теоретической экономике;
• экономический смысл условия (7) в том, что при поддержании достаточно высокой
покупательной способности населения (IeXe) удается уменьшить экономическую
энтропию.

6. 3. Приращение капитала на неравновесном рынке ВРП

Характеристика рынка:
• C – стоимость (цена) капитала(долл.) – функция состояния;
• W – объем основных фондов (долл.);
• S – количество денег в обращении (руб.);
• Yi – внутренняя переменная; количество ВРП, произведенного за время t
(у.е.т.);
• Ye – внешняя переменная; количество ВРП, реализованного за время t
(у.е.т.).
• S = S (Yi, Ye) – функция параметров неравновесности.
Для региона функция состояния:
C = C { S (Ye , Yi ), W, t }
(8)

7.

Скорость приращения капитала как полная производная функции состояния
системы имеет вид:
dC C dS C S dYe C S dYi C dW C
dt
S dt S Ye dt
S Yi dt W dt
t
(9)
Обозначения и экономический смысл величин:
C
K (10)
S
C
A (11)
W
– курс валюты;
– величина, равная
приращению капитала,
приходящегося на
единицу приращения
объема основных фондов;
dYe
I e (12)
dt
– спрос;
dYi
I i (13)
dt
– предложение;
S
X e (14)
Ye
– цена спроса;
S
X i (15)
Yi
– цена
предложения;
C
К (16)
t
– расходы, не
связанные с
производством.

8.

• спрос Ie и предложение Ii взаимодействуют между собой;
• экономический смысл цены спроса X e и цены предложения Xi следует из
соотношений:
C S
C
1 C
KX e X e
S Ye Ye
K Ye
(17)
X e – градиент капитала по внешней
переменной неравновесия.
X e – цена спроса – это приращение капитала, приходящееся на единицу
проданного ВРП с точностью до интегрирующего множителя.
C S C
1 C
KX i X i
S Yi Yi
K Yi
(18)
Xi – градиент капитала по внутренней
переменной неравновесия.
X i – цена предложения – величина, равная убыли капитала при производстве
единицы ВРП с точностью до интегрирующего множителя.
• система единиц измерения:
[Y] = у.е.т.,
[S] = руб.
[t] = мес.,
[К] = долл./руб.,
[X] = руб./у.е.т.
[I] = у.е.т./мес.,
[C] = долл.
[ ]= руб./мес.

9.

С учетом обозначений уравнение (9) имеет вид:
dC
dS
dW
K
A
KX e I e KX i I i K
dt
dt
dt
(19)
Приращение капитала на рынке ВРП в неравновесном процессе обусловлено
изменением количества денег в обращении S, изменением объема основных
фондов W, а также сложившейся ситуацией на неравновесном рынке – игрой
дохода КXeIe и издержек КXiIi+ К .
Уравнение (19) может служить основой для анализа устойчивости рынка.

10. 4. Стационарное состояние. Стоимостное уравнение

I
e
i
i
I0
e
Y
Y0
Рис.7 – Спрос и предложение на ВРП в зависимости
от цен Х (а) и стоимости капитала С (б).
Состояние рынка ВРП стационарное, если
Xe=Хi =X0;
Ie = Ii = I0.
Капитал стационарного (гипотетического) состояния принимает минимальное
значение C(t) = С0 (t) = С0.

11.

При стационарном состоянии рынка выполняется условие:
KX e I e KX i I i K 0
(20)
тогда из уравнения
dC
dS
dW
K
A
KX e I e KX i I i K
dt
dt
dt
(19)
следует уравнение:
dC0
dS
dW
K
A
dt
dt
dt
(21),
St
где St означает
стационарность.
В стационарном St состоянии:
• прирост капитала минимален и его можно принять качестве исходного
положения;
• равновесие никогда не наступает, т.к. функции доходов (XeIe) и издержек
(Хi Ii + ) меняются во времени.

12.

Приращение капитала на неравновесном рынке ВРП характеризует
стоимостное уравнение, полученное из (19) и (21):
d C C 0
K X e I e X i I i
dt
(22)
Изменение капитала:
С С0 0
по отношению к стационарному значению всегда положительно в силу
принятого условия минимальности капитала в стационарном состоянии. Тогда
стоимостное уравнение (скорость изменения капитала) имеет вид:
d
K X e I e X i I i
dt
где
(23),
d
– прирост капитала в единицу времени (прибыль).
dt
Уравнения (19)-(23) используются в анализе эволюции рынка.

13. 5. Прибыль и устойчивость рынка ВРП

Теорема. Если для рынка ВРП, описываемого уравнениями с перекрестной
эластичностью
I L X L X
i
ii
i
ie
e
I e Lee X e Lei X i
можно найти знакоопределенную функцию
С С0 0
производная от которой
d
K X e I e X i I i ,
dt
(24)
(25)
(26)
является знакопостоянной функцией противоположного знака с или
тождественно равна нулю, то прирост капитала (получение прибыли)
d
0
dt
будет неустойчивым по Ляпунову процессом.
Доказательство.
В соответствии с теоремой Ляпунова для устойчивых процессов:
если = C(t) – C0 0, а стационарное состояние (-IeXe + IiXi + ) = 0
устойчиво (рис.3).

14.

а
>0
Рис. 3 – Изменение капитала (а) и прибыли (б)
со временем в устойчивом процессе.
min
Тогда для устойчивых по Ляпунову
экономических систем скорость прироста
капитала и функция издержек:
t
d /dt
d
0;
dt
б
<0
t
dS
X e I e X i I i 0,
dt
d
dS
K X e I e X i I i K
dt
dt
(27), т.к.
(28)
Как при наличии спроса IeXe 0, так и его отсутствии IeXe = 0 издержки
положительны
IiXi + 0
(29).
Тогда прирост капитала (получение прибыли)
является неустойчивым процессом.
d
0;
dt
IeXe > IiXi +

15.

16. 6. Устойчивость линейных экономических систем в стационарном неравновесном состоянии

Теорема И.Р. Пригожина. Временная эволюция в мезоэкономической системе
при заданных постоянных граничных условиях (постоянной величине спроса)
происходит так, что полные издержки в системе стремятся убывать и
достигают минимального (положительного) значения в стационарном
состоянии, т.е.
d i
i
0,
а
dt
здесь
>0
i min
i
di S
Ii X i
dt
(30)
i
t
/dt
б
Рис. 5 – Изменение
издержек со временем
<0
t

17.

Доказательство. Для доказательства методом Ляпунова используем
стоимостное уравнение
d
K X e I e X i I i K e i
dt
Здесь = C(t) – C0 > 0 функция капитала;
e - функция спроса, e > 0, e < 0 ;
i - функция предложения, i > 0 .
Дифференцируя (31) получаем:
d e
0,
где
dt
1 d 2
d e d i
2
K dt
dt
dt
(32)
т.к. e = Const.
d i
1 d 2
2
dt
K dt
(33)
(31)

18.

Анализ по Ляпунову:
(t) 0 – функция Ляпунова;
d
0 – условие устойчивости процесса по Ляпунову;
dt
d 2
0 – стремление к равновесию (вогнутая кривая на рис. 3).
2
dt
Тогда из (33) получили (30) условие теоремы.
•Теорема И.Р. Пригожина:
выполняется и для e Const, при малых скоростях изменения спроса
d e
d e
0 и
0;
dt
dt
соответствует экономическому принципу минимизации издержек;
не выполняется для нелинейного рынка, имеющего несколько
стационарных состояний.

19.

Рис. 6

20.

Рис. 7

21. 7. Общие условия устойчивости цен в стационарном состоянии

В стационарном состоянии спрос, предложение и цены связаны уравнениями:
I i Lii X i Lie X e 0
(34)
I e Lee X e Lei X i 0
(35)
Решение уравнений (34) и (35) позволяет определить совместную точку
(X*e , X*i):
Lee I i Lie I e
Lii Lee Lei Lie
(36)
Lii I e Lei I i
Lee Lii Lie Lei
(37 )
X i*
X e*

22.

Если числители положительны:
Lee I i Lie I e 0
(38)
Lii I e Lei I i 0
(39)
то точка (X*e , X*i) устойчива, т.е. все находящиеся в ее окрестности точки
стремятся к ней.
В стационарном состоянии (Ie = Ii; Хe = Хi) условие устойчивости
определяется:
Lee Lie 0
Lii Lei 0
Lee Lie Lii Lei
(40)

23.

Устойчивая цена соответствует положительной левой и правой частей
уравнения (40).
Xi
IV
I
Рис. 8 – Условие устойчивости для внешних Xe
и внутренних Xi рыночных сил.
На плоскости четыре области:
I – Xi , Xe ,
II – Xi , Xe ,
III – Xi , Xe ,
IV – Xi , Xe .
III
II
Xe
• В лекции рассмотрена устойчивость линейных процессов на рынке ВРП,
когда минимальные издержки соответствуют максимально возможной
прибыли.
• Однако реально развитие осуществляется тогда, когда издержки (на новые
технологии, технологические решения) растут.

24.

В лекции рассмотрена устойчивость линейных процессов на
рынке ВРП, когда минимальные издержки соответствуют
максимально возможной прибыли. Однако реальное развитие
осуществляется тогда, когда издержки (на новые технологии)
растут.
Благодарю за внимание!