Готовимся к ОГЭ.Модуль геометрия

1. Готовимся к ОГЭ

Модуль геометрия

2. Справочный материал

3. Справочный материал

4. Справочный материал

5. Справочный материал

6.

Задача №9
А
Найдите величину острого угла
параллелограмма ABCD, если биссектриса
угла А образует со стороной ВС угол равный
15 . Ответ дайте в градусах.
15
Е
В
С
ВЕА= ЕАD
накрест лежащие
углы
ЕАD= ВАЕ т.к.
15
АЕ- биссектриса
А = 15 + 15= 30
D
Ответ: острый угол параллелограмма равен 30

7.

Задача №9
В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC,
AD=CD, ∠B=133 ∠D=173 . Найдите угол А. Ответ
дайте в градусах.
Проведем диагональ АС
С
133
В
173
D
А
Ответ: А= 27
АВС и ADC равнобедренные
С ADC равен А ADC ,
С AВC равен А AВC
С = А четырехугольника
АВСD, т.к. сумма всех углов
четырехугольника равна 360
С + А= 360- (133+173)=54
С = А = 54:2=27

8.

Задача №9
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 500
Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах
В
С
А+ D = 50
А= D = 50:2=25
А
D
В+ А=180
односторонние углы
В= 180 – 25 =155
Ответ: больший угол трапеции равен 155

9.

Задача №9
Найдите больший угол равнобедренной трапеции АВСD,
если диагональ АС образует с основанием АD и боковой
стороной АВ углы, равные 460 и 10 соответственно.
Ответ дайте в градусах.
В
10
А
С
А= 46+1 =47
В+ А=180
односторонние углы
В= 180 – 47 =133
460
D
Ответ: больший угол трапеции равен 133

10.

Задача №9
В параллелограмме АВСD диагональ AC в 2 раза больше
стороны AB ∠ACD=104 . Найдите острый угол между
диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
С Построим вторую
В
О
104
диагональ
Диагонали в
параллелограмме
точкой пересечения
D
делятся пополам
А
т.к АС = 2АВ, ОС=СD
OCD равнобедренный
О= D , О+ D=180-104=76 , О= D=76:2=38
Ответ: острый угол между диагоналями равен 38 .

11.

Задача №9
В треугольнике АВС АВ=ВС. Внешний угол при
вершине В равен 146 . Найдите угол С. Ответ дайте в
градусах.
В
Внешний угол треугольника
146
равен сумме двух внутренних
углов этого треугольника не
смежных с ним
А+ С =146 , но А= С
А= С =146:2=73
А
С
Ответ: С = 73

12.

Задача №9
Точка О – центр окружности, на которой лежат
точки А, В и С .Известно, что угол АВС равен 150 и
угол ОАВ равен 80 Найдите угол ВСО. Ответ дайте в
градусах.
АВС – вписанный угол, равен
С
А
половине дуги на которую
О
80
С1
150
?
А1
опирается АС=30 .
АОС=30 -центральный угол,
АОС= С1ОА1 = 30 - вертикальные,
т.е С1А1 =30 , ВАА1 – вписанный
ВА1 =16
в 16
С1В=30-16=14 ;
С1 СВ- вписанный угол, опирающийся на С1В
С1 СВ=14:2=7
Ответ: ВСО=7

13.

Задача №10
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из
отрезков, на которые делит среднюю линию этой
трапеции одна из её диагоналей.
4
В
С
КМ - средняя линия КВ=КА
КМ || ВС ВР=РD (по т.Фалеса)
Р
К
М КР – средняя линия ABD
КР=AD:2 = 10:2=5
А
D
10
Ответ: больший из отрезков, на которые делит
среднюю линию трапеции одна из её диагоналей
равен 5.

14.

Задача №10
В равнобедренной трапеции известна высота, большее
основание и угол при основании. Найдите меньшее
основание.
Рассмотрим АВН он
В
С
прямоугольный и равнобедренный,
т.е. АН=ВН=5
Построим высоту из вершины С
А
D СМD = АВН MD = AH = 5
Н
М
AD = AH + HM + MD,
HM = BC
BC = 14 – (5+5) = 4
Ответ: меньшее основание равно 4.

15.

Задача №10
На окружности с центром О отмечены точки А и В
так, что АОВ=66 . Длина меньшей дуги АВ равна 99.
Найдите длину большей дуги.
В
О
66
99
А
Длина АВ= 99, но т.к. АОВ –
центральный угол, опирающийся
на АВ, АВ= 66 .
Тогда 1 = 99:66 =1,5
Большая АВ= 360 – 66 = 294
АВ= 294 · 1,5 = 441
Ответ: Большая АВ равна 441.

16.

Задача №10
Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от
центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите
диаметр окружности.
О
27
С 72
Рассмотрим АОС он
прямоугольный ОС=27, АС=36
применим т.Пифагора и найдем
А
ОА= 45 (радиус окружности)
D = 45 · 2 = 90
Ответ: диаметр окружности равен 90

17.

Задача №10
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из
вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 8 и
15. Найдите длину основания ВС.
В
С
АМВ= НСD HD = AM = 8
BC = MH = AH – AM = 15 – 8 = 7
А
М
15
Н
8
D
Ответ: длина основания ВС = 7

18.

Задача №10
Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен
Найдите её большее основание, если меньшее
основание равно высоте и равно 4
В
С
4
tg D=
4
А
4
Н
D
DH = 4 : = 16, АD = 16 + 4 = 20
Ответ: большее основание равно 20

19.

Задача №10
На стороне ВС прямоугольника АВCD, у которого
АВ=12 и АD=17, отмечена точка Е так, что угол ЕАВ
равен 450 . Найдите ЕD.
Рассмотрим АВЕ он
Е
5
В
С прямоугольный и
12
12
ЕС = ВС – ВЕ = 17 – 12 = 5
450
А
равнобедренный АВ = ВЕ = 12
17
D
DE найдем по т. Пифагора
DE = 13
Ответ: DE = 13

20.

Задача №10
Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите
высоту ромба
С Найдем стороны ромба.
Р = 4a а = 36:4 = 9
В
Проведем высоту
S = ah
h= 27: 9= 3
h
А
D
Ответ: высота ромба равна 3.

21.

Задача №11
1. Сторона ромба равна 50, а диагональ равна 80.
Найдите площадь ромба.
50
40
80
В ромбе диагонали точкой
пересечения делятся пополам и
пересекаются они под углом 90
Найдем половину второй диагонали
по т.Пифагора
Половина второй диагонали равна 30, все
диагональ 60.
S = 60 · 80 : 2 = 2400
Ответ: площадь ромба 2400

22.

Задача №11
2. Площадь параллелограмма AВCD равна 6. Точка Есередина стороны АВ. Найдите площадь трапеции
ВCDЕ.
В
С Опустим из вершины В высоту
на сторону CD, эта высота
общая и для параллелограмма
Е
и для трапеции
А
D
= 4,5
Ответ: площадь трапеции равна 4,5

23.

Задача №11
3. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а
боковая сторона – 78. Найдите площадь треугольника
78
78
Найдем третью сторону
216 – 78 · 2 = 60
Проведем высоту к этой
стороне, это и биссектриса и
медиана
30
Найдем высоту h= 72
Sм = 72 · 30 : 2 = 1080 S = 2· Sм= 2160
Ответ: площадь треугольника равна 2160

24.

Задачи для самостоятельного решения
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а
ее боковые стороны равны 5. Найдите площадь
трапеции.
. Найдите площадь трапеции, изображённой на
рисунке.
Периметр квадрата равен 60.
Найдите площадь квадрата
Найдите площадь ромба, если
его диагонали равны 14 и 6
Высота равнобедренной (равнобокой) трапеции,
проведенная из вершины С, делит основание AD на
отрезки, длиной 1 и 5. Найдите длину основания ВС.

25.

Задачи для самостоятельного решения
Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите
высоту ромба
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна
20.
. В трапеции АВСD АВ=CD, угол ВDА равен 100 и угол
ВDС равен 1090 Найдите угол АВD . Ответ дайте в
градусах.
Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до
неё равно 1. Найдите площадь ромба.