Объемы тел. (10-11 класс)

1.

Слайды к теме
Учебник Л.С.Атанасяна «Геометрия 10-11»
Учитель: Рожкова Надежда Даниловна

2.

Объем прямоугольного параллелепипеда
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна а и составляет угол в
0
с плоскостью боковой грани и угол 45 с плоскостью основания.
0
1. Объясните, как построить угол в 30 между
C1
диагональю параллелепипеда и плоскостью
боковой грани
D1
A1
?
D
?
А
B1
30 0
?
30 0
a
С
45 0
?
0
2. Объясните, как построить угол в 45 между
диагональю параллелепипеда и плоскостью
боковой грани
3. Найдите длины отрезков АВ, АD1 , DD1
В
4. Составьте план вычисления длины отрезка AD
и объема параллелепипеда

3.

Объем прямой призмы
В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 через сторону ВС основания и
середину бокового ребра AA1проведено сечение, составляющее угол в 45 0
с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона ее основания
равна 10 см.
Решение.
С1
0
В треугольнике ABD: AD = 10 cos 30 = 5 3
А1
В треугольнике MAD: АА1 = 2 АМ = 2 AD = 10 3
В1
2
10
3
V=
10 3 = 750
4
М
С
45 0
D
А
10
В

4.

Объем призмы и цилиндра
Дана правильная шестиугольная призма, О – центр ее основания,
ВЕ1 8 см, Е1 ВЕ 60 0
Найдите: объем призмы; объем описанного около призмы цилиндра;
объем вписанного в призму цилиндра
E1
Решение.
D1
F1
С1
В1
A1
ЕЕ1 4 3
ОК =
3
S осн..призмы 6 3
8
Vпризмы 72
E
F
A
60
O
D
0
В
K
С
Vцил. впис. 12 3
Vцил.опис. 16 3
ВЕ = 4
ОВ = 2

5. Задача

Дано: АМ – наклонная к плоскости γ, МО ┴ γ, АЕ – луч на плоскости γ,
образующий острый угол β с проекцией наклонной; угол МАО = α, угол ВАО = β,
угол МАВ = φ.
Докажите: cos φ = cos α ∙ cos β
М
Доказательство.
Пусть ОВ ┴ АЕ,
γ
АВ
АВ АО
cos φ =
АМ АО АМ
α φ
А
тогда АВ ┴ МВ,
β
В
О
Е
= cos α ∙ cos β

6.

Задача
Дано: луч АМ образует равные острые углы с лучами AF и АЕ.
Докажите: проекцией луча АМ на плоскость EAF является
биссектриса АО угла EAF.
М
Доказательство.
Построим ОВ ┴ АЕ, ОС ┴ АF;
∆АВМ = ∆АСМ по гипотенузе и
острому углу, значит АВ = АС;
F
∆АВО = ∆АСО по гипотенузе и
острому углу, значит
угол ВАО равен углу САО;
C
АО – биссектриса угла EAF
А
O
B
Е

7.

Объем наклонной призмы
0
Все грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной а и острым углом 60
Найдите объем параллелепипеда.
D1
C1
Решение.
Построим проекцию ребра АА1
Пусть А1 АК
A1
B1
D
cos
С
а
1
3
, sin 1 -
1
3
Из АА1 К : А 1 К аsin
α
А
тогда cos 60 = cos α ∙ cos 30,
К
30 0
V a sin 60
2
В
0
3
a 2
a3 2
2
3
a 2
2
3

8.

Если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью
основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной
около основания пирамиды.
M
Доказательство.
\\
//
\\
Треугольники МАО, МВО, МСО,…
равны по катету и гипотенузе.
//
Поэтому ОА = ОВ = ОС = …,
O
А
D
В
С
т.е точка О – центр окружности,
описанной около основания пирамиды.

9.

Если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты
боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды
проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
M
Доказательство.
Треугольники МKО, МEО, МFО,…
равны по катету и гипотенузе.
\\
//
\\
Поэтому ОK = ОE = ОF = …,
O
А
D
К
F
В
Е
С
т.е точка О – центр окружности,
вписанной в основание пирамиды.

10.

Шаровой сегмент
Шаровой слой
m
В
h
1
h ( R h)
3
Шаровой сектор
D
А
R
Vсегм
С
2
Vслоя
Vсегм. Vсегм.
AmD BmC
h
R
Vсект
2 2
R h
3