Многогранники. Все формулы. Геометрия (10-11 класс)

1.

Веремеенко Татьяна Николаевна

2.

||
АВСD и A1B1C1D1 – равные
параллелограммы – основания
АА1|| ВВ1|| СС1|| DD1 – боковые
ребра
В1
С1
А1
D1
Все грани параллелограммы.
AA1B1B; BB1C1C; CC1D1D;
AA1D1D – боковые грани
DB1 – диагональ
Свойства.
В
А
С
D
1. Противолежащие грани
параллелепипеда параллельны и
равны.
2. Диагонали параллелепипеда
пересекаются в одной точке и
точкой пересечения делятся
пополам.

3.

– это параллелепипед, у которого боковые грани являются
прямоугольниками.
B1
С1
A1
D1
c
Lкаркаса 4 (a b c)
Sбок 2 (ac bc)
Sп.п. Sбок. 2Sосн.
В
А
С
a
D
b
V Sосн. c

4.

– это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.
a – длина, b – ширина,
с – высота, d – диагональ
c
d
d2 = a2 + b2 + c2
Sп.п. 2 (ab bc ac)
а
b
V a b c

5.

: основания – равные n – угольники,
лежащие в параллельных плоскостях,
боковые грани – параллелограммы.
Наклонная – боковые грани – параллелограммы.
HH1 – высота призмы
AH (k) – боковое ребро призмы
H
k
M
N
P
F
D
A
FMNPD – сечение,
перпендикулярное боковому ребру
H1
Sбок. Pсеч. k
Sп.п. Sбок. 2Sосн.
V Sсеч. k

6.

Прямая призма – боковые грани – прямоугольники.
V a
а
d
3
H
а
а
d 3 a
2
V Sосн. H
Lкаркаса 12 a
Sбок. Pосн. H
S п.п. 6 a
2
2

7.

– это многогранник, состоящий из
n-угольника А1А2А3...Аn
(основание) и n треугольников
(боковые грани), имеющих общую
вершину (Р).
РА1; РА2; РА3; ... ; РАn
– боковые ребра
Р
А1А2; ... ;А1Аn –
ребра основания
h
А3
А2
А1
РH – высота
пирамиды - h
S п.п. Sбок. Sосн.
H
Аn
1
V S осн. h
3

8.

• основание – правильный многоугольник, вершина
проецируется в центр основания;
• боковые ребра – равны;
• боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
H – высота,
h – апофема
1
S бок. Pосн. h
2
H
h
Sп.п. Sбок. Sосн.
1
V S осн. h
3

9.

Правильная треугольная пирамида
H – высота, h – апофема
S
AB = BC = AC = a
1
DO AD
3
h
B
H
D
O
A
a
C
AO
2
AD
3
3
S бок. a h
2
3
a2 3
S п.п. a h
2
4
1 a2 3
V
H
3
4

10.

Правильная четырехугольная пирамида
H – высота,
h – апофема,
а – сторона основания
AB = BC = CD = DA = a (в основании – квадрат)
К – середина DC
P
1
BD a 2
OK a
2
H
h
S бок.
B
C
a
К
O
A
a
D
1
4a h 2 a h
2
S п.п. a 2 2 a h
1 2
V a H
3

11.

PA1A2…An – произвольная
пирамида
P
||
B2
B1
A2
B3
O
β
β – секущая плоскость,
Bn
H
A3
α
PB1B2…Bn – пирамида
B1B2…Bn – верхнее основание
A1A2…An – нижнее снование
A1B1B2A2; …; AnBnB1A1 –
боковые грани – трапеции
O1
A1
α – плоскость основания
An
Sп.п. Sбок. Sв.осн. S н.осн.
A1B1; A2B2; …; AnBn –
боковые ребра
OO1= H – высота
1
V H ( S в.осн. S н.осн. S в.осн. S н.осн. )
3

12.

Правильная треугольная усеченная пирамида –
боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.
Δ ABC и Δ A1B1C1 –
равносторонние
B1
OO1 = H – высота
a
КК1 = h – апофема
O K
A1
C1
B
H
b
O1
A
C
h
K1
Pв.осн. 3 a
Pн.осн. 3 b
a2 3
b2 3
S н.осн.
S в.осн.
4
4
1
S бок. h ( Pв.осн. Pн.осн. )
2
S бок.
3
h ( a b)
2
1
a 2 3 b2 3 a b 3
1
a 2 3 b2 3
a 2 3 b2 3
V H (
)
V H (
3
4
4
4
4
3
4
4
4

13.

Правильная четырехугольная усеченная пирамида –
боковые грани – равные между собой равнобокие трапеции.
B1
A1
ABCD и A1B1C1D1 – квадраты
O1
a
OO1 = H – высота
C1
KK1 = h – апофема
K1
D1
Pв.осн. 4 a
h
H
S в.осн. a 2
B
C
S бок.
b
K
O
A
D
1
V H (a 2 b 2 a 2 b 2 )
3
Pн.осн. 4 b
S н.осн. b 2
1
h ( Pв.осн. Pн.осн. )
2
Sбок. 2 h (a b)
S п.п. a 2 b 2 2 h ( a b)
1
V H ( a 2 b 2 a b)
3