Перпендикулярность в пространстве

1.

Урок № 19
a b
Перпендикулярность в
пространстве
a
План урока:
1 Повторяем теорию.
2 Изучаем новый материал.
3 Записываем ДЗ.
Прямоугольный параллелепипед и куб.

2.

Перпендикулярные прямые в пространстве
Опр.
a с
a c
Л
b
a·с
a // b
a
a с
b c
c
Опр.
a
Перпендикулярность прямой и плоскости
a
a
Т1
a
Т2
b
b
α
α
α

3.

Признак перпендикулярности
прямой и плоскости
Т3
Т4
a
А
Т5
a
a
А
α
α
α
b
с
Т6
a
Т7
Перпендикуляр и
наклонная в пространстве
a
М
А
α
α
Н α
β
β
a

4.

A
α
H
β
( А; ) АН
A
α
a
H
(а; ) АН
( ; ) АН
a
α
b
(а; b) (a; )

5.

Теорема о трёх перпендикулярах
Т8
А
А
Т9
a
α
Н
a
К
α
Н
Угол между прямой и плоскостью
a
α
К

6.

Двугранный угол.
двугранный угол
АКМВ
А
К
Ребро
М
Перпендикулярность плоскостей
Опр.
В
Грани
Угол между плоскостями
ψ 0⁰<ψ<180⁰ 0 ( ; ) 90
0
Линейный угол двугранного угла
0

7.

Т10
Т11
Признак перпендикулярности
двух плоскостей
α
а
γ
β

8.

Прямоугольный параллелепипед
B1
А1
C1
D1
Основания
Боковые ребра
В
А
С
D
Параллелепипед называется прямоугольным,
если его боковые ребра перпендикулярны к основаниям, а
основания представляют собой прямоугольники.
Свойства:
1. Все грани – прямоугольники.
2. Все двугранные углы – прямые.

9.

Основные формулы
Длины трёх рёбер,
имеющих общую вершину
называются измерениями.
B1
Т12 Квадрат диагонали
прямоугольного параллелепипеда
равен
сумме квадратов трёх его измерений.
C1
А1
D1
d
c
В
А
a
D
b
С
Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед,
AD=a, DC=b, DD1=c, B1D=d.
Доказать:
d 2 а2 b2 c2
Доказательство:
1) ΔBAD – прямоугольный: по теореме Пифагора BD²=a²+b².
2) ΔB1BD – прямоугольный: по теореме Пифагора B1D²=BD²+c².
3) B1D²=BD²+c².
B1D²=a²+b²+c².
d 2 а 2 b 2 c 2 Что и требовалось доказать

10.

Следствие:
B1
А1
C1
D1
В
А
С
D
Диагонали
прямоугольного параллелепипеда
равны.

11.

Прямоугольный параллелепипед
B1
C1
А1
С
А
2
2
2
V аbc
D
Куб
Основные формулы
B1
А1
C1
С
D
d 3а
2
2
d а 3
S пов 6а 2
D1
В
А
d а b c
2
Sпов 2аb 2bc 2ac
D1
В
Основные формулы
V а
3
Куб – это прямоугольный параллелепипед,
у которого все грани квадраты.

12.

Задача 1
№ 27100 ЕГЭ
Решите задачи:
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие
из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда
равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
Задача 2
№ 27079 ЕГЭ
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие
из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда
равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда,
выходящее из той же вершины.
Задача 3
№ 27103 ЕГЭ
Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат.
Диагональ параллелепипеда равна
и образует с плоскостью этой грани угол 45⁰.
Найдите объем параллелепипеда.

13.

Задача 4
№ 27061 ЕГЭ
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь
поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
Задача 5
№ 27102 ЕГЭ
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем
увеличится на 19. Найдите ребро куба.
Задача 6
№ 27141 ЕГЭ
Площадь поверхности куба
равна 24. Найдите его объем.
Задача 7 № 27139 ЕГЭ
Диагональ куба равна 1.
Найдите площадь его
поверхности.

14.

Задача 8 № 27143 ЕГЭ
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие
из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда
равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Задача 9
№ 27117 ЕГЭ
Найдите объем пространственного креста, изображенного
на рисунке и составленного из единичных кубов.
Задача 10
№ 27158 ЕГЭ
Найдите площадь поверхности
пространственного креста,
изображенного на рисунке и
составленного из единичных
кубов.

15.

Домашнее задание
№ 19
Знать формулировки изученной теории
п.15 - 24 учебника
Решите задачи
Задача 1 № 27055 ЕГЭ
Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
Задача 2 № 27056 ЕГЭ
Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
Задача 3
№ 27098 ЕГЭ
Диагональ куба равна
Задача 4
. Найдите его объем.
№ 27099 ЕГЭ
Объем куба равен
Задача 5 № 27081 ЕГЭ
. Найдите его диагональ.
Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра
увеличить в три раза?

16.

Задача 6
№ 27128 ЕГЭ
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 1, 2, 3.
Найдите площадь его поверхности.
Задача 7
№ 27130 ЕГЭ
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба,
если все его рёбра увеличить в три раза?