Перпендикулярность плоскостей

1.

2.

Повторение. Построить линейный угол двугранного угла
ВАСК. Четырехугольник АВСD – ромб, АС - диагональ.
В
АС ВМ
H-я
TTП
АС NМ
П-я
П-р
А
К
N
M
П-я
С
D
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

3.

Повторение. Построить линейный угол двугранного угла
ВАСК. АВСD – четырехугольник, АС - диагональ.
АС ВС
H-я
TTП
АС NС
В
П-я
5
А
П-р
2
1
К
N
С
D
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

4.

Повторение. Построить линейный угол двугранного
угла ВАСК. АВСD – четырехугольник, АС – диагональ.
АС ВS
H-я
TTП
АС NS
П-я
В
9
А
6
5
П-р
К
С
S
N
D
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

5.

Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными (взаимно перпендикулярными),
если угол между ними равен 900.

6.

Примером взаимно перпендикулярных
плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты,
плоскости стены и потолка.

7.

Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную к другой плоскости, то такие
плоскости перпендикулярны.
В
С
D
А

8.

Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой,
по которой пересекаются две данные плоскости,
перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.
a

9.

№ 178. Плоскости и взаимно перпендикулярны
пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая
плоскости , перпендикулярная к прямой с,
перпендикулярна к плоскости .
A
Подсказка
Признак
перпендикулярности
прямой и плоскости
c
C
B
a
c
b

10.

№ 180. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая,
перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
Подсказка
b
a
c
Признак
параллельности
прямой и
плоскости
a
b

11.

№ 181. Плоскости и пересекаются по прямой а. Из
точки М проведены перпендикуляры МА и МВ
соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает
плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а.
А
М
a
С
В

12.

№ 182. Плоскости и взаимно перпендикулярны
пересекаются по прямой a. Из точки М проведены
перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а
пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что
четырехугольник АСВМ – прямоугольник.
М
А
a
С
В

13.

№ 183. Плоскости и пересекаются по прямой a и
перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а
перпендикулярна к плоскости .
a

14.

Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его
боковые ребра перпендикулярны к основанию, а
основания представляют собой прямоугольники.

15.

Прямоугольный параллелепипед
Две грани
параллелепипеда
параллельны.

16.

10. В прямоугольном параллелепипеде все шесть
граней – прямоугольники.
20. Все двугранные углы прямоугольного
параллелепипеда – прямые.
Длины трех ребер, имеющих
общую вершину, называются
измерениями прямоугольного
параллелепипеда.

17.

Планиметрия
Стереометрия
В прямоугольнике
квадрат диагонали
равен сумме квадратов
двух его измерений.
b
В
a
d
d
А
d2
С
Квадрат диагонали
прямоугольного
параллелепипеда равен
сумме квадратов
трех его
измерений.
с
D
=
a2
+
b2
b
d2 = a2 + b2 + с2
a

18.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда
равен сумме квадратов трех его измерений.
d2 = a2 + b2 + с2
C1
D1
B1
A1
d
с
C
Следствие.
Диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.
B
D
а
b
A

19.

№ 188. Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.
d2 = a2 + b2 + с2
D1
С1
А1
В1
d2 = 3a2
d = 3a2
а
d=a 3
D
а
А
а
В
С
d=a 3

20.

№ 189. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости
любой грани, в которой не лежит эта вершина, если:
а) диагональ грани куба равна m.
б) диагональ куба равна d.
Подсказка
D1
С1
А1
В1
Н
D
А
А
С
В
Расстояние от точки
до плоскости – длина
перпендикуляра

21.

№ 190. Дан куб. Найдите следующие двугранные углы:
a) АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина
ребра А1D1.
D1
С1
K
А1
В1
D
А
С
В

22.

№ 191. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите, что плоскости
АВС1 и А1В1D перпендикулярны.
D1
С1
А1
В1
D
А
С
В

23.

№ 192. Найдите тангенс угла между диагональю куба и
плоскостью одной из его граней.
D1
С1
А1
Подсказка
В1
М
П-Р
D
А
В
П-Р
С
А
П-я
Н
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту
прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол
между прямой и ее проекцией на плоскость.

24.

№ 193. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
Найдите расстояние между:
а) прямой А1С1 и и плоскостью АВС;
А1
В1
a
d
D
А
Подсказка
С1
D1
С
n
a II
В Расстояние от произвольной точки
прямой до плоскости называется расстоянием
между прямой и параллельной ей плоскостью

25.

№ 193. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1
Найдите расстояние между:
б) плоскостями АВВ1 и DCC1;
D1
С1
Подсказка
А1
II
В1
d
D
С
n
А
В
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.

26.

№ 193. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
Найдите расстояние между:
в) прямой DD1 и плоскостью АСС1.
А1
В1
a
d
С
D
А
Подсказка
С1
D1
n
a II
В Расстояние от произвольной точки
прямой до плоскости называется расстоянием
между прямой и параллельной ей плоскостью

27.

№ 194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между
скрещивающимися прямыми, содержащими:
Подсказка
а) диагональ куба и ребро куба;
D1
С1
А1
В1
D
А
С
а
a b
a
a II
b
В
Расстояние межу одной из
скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через
другую прямую параллельно первой, называется
расстоянием между скрещивающимися прямыми.

28.

№ 194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между
скрещивающимися прямыми, содержащими:
Подсказка
б) диагональ куба и диагональ грани куба.
D1
С1
А1
В1
D
А
С
а
a b
a
a II
b
В
Расстояние межу одной из
скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через
другую прямую параллельно первой, называется
расстоянием между скрещивающимися прямыми.

29.

№ 196.
Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
сечение плоскостью, проходящей через:
а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости ВВ1D1;
D1
С1
А1
В1
С
D
А
В

30.

№ 196.
Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
сечение плоскостью, проходящей через:
б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA1.
D1
С1
А1
В1
D
А
С
В

31.

1. Найдите угол А1ВС1
2. Доказать, что MN II А1С1, где M и N – середины ребер куба.
D1
С1
А1
В1
С
D
N
А
M
В

32.

Найдите площадь сечения, проходящего
через точки А, В и С1
D1
С1
6
А1
В1
8
D
А
С
7
В