Парная регрессия и корреляция

1. Парная регрессия и корреляция

2.

Специфика экономических измерений состоит в
наличии большого числа разнородных данных –
ресурсов и результатов (например, товаров и услуг).
Отсюда большое значение имеют стоимостные
метрики,
далеко
не
всегда
отвечающие
поставленным
задачам.
Это
не
исключает
потребность в натуральных метриках.
Количественная определенность функционирования
экономики
имеет
объемные
и
структурные
характеристики.
Объемные характеристики определяют масштаб
явления, тогда как структурны – его разнообразие,
организацию и соподчиненность. Количественные и
структурные меры дополняют друг друга.

3.

Главное, что определяет специфику точности
экономических
измерений,
-
это
неконтролируемость погрешности наблюдений.
Точность измерения – это его адекватность.
По объективным причинам для социальноэкономических измерений характерна низкая
контролируемость их точности.

4.

В области экономических
измерений проблема точности
связана со следующими
показателями:
Определением понятия
«экономическая величина»;
Формированием системы
принципов, постулатов и других
теоретических положений,
формирующих базис точности
экономических измерений;
Определением экономических
показателей;
Разработкой принципов
конструирования измерителей и
измерений;
Основанием выбора типа шкал
при конструировании
измерителя;
Разработкой правил
формирования систем

5. Спецификация моделей

Номер
наблюд
ения
Доход
Долл.
DPI
Потреб
Долл
CONS
Номер
наблю
дения
Доход
Долл.
Потреб
долл
1
2508
2406
11
2432
2311
2
2572
2564
12
2354
2278
3
2408
2336
13
2404
2240
4
2522
2281
14
2381
2183
5
2700
2641
15
2581
2408
6
2531
2385
16
2529
2379
7
2390
2297
17
2562
2378
8
2595
2416
18
2624
2554
9
2524
2460
19
2407
2232
10
2685
2549
20
2448
2356
Результаты наблюдений за расходами
Диаграмма рассеяния.

6. Спецификация моделей

Причина неоднозначной связи между
располагаемым доходом и расходами:
Индивидуальные особенности домашних хозяйств
Влияние неучтенных факторов.
Выводы:
Невозможно построить модель вида Y=f(x), с
помощью которой возможно однозначно
определить связь между расходами и доходами.
Зависимость между доходами и расходами
домашних хозяйств имеет элемент случайности.

7.

Для учета случайного характера экономических
процессов, модель записывают в виде:
Y = f(X) + ε
где: Y – эндогенная переменная;
X – вектор предопределенных переменных;
f(X) – детерминированная математическая
функция,
определяющая
закономерность между эндогенной и
предопределенными переменными;
ε – случайная величина, учитывающая
влияние неучтенных
факторов и
индивидуальные особенности конкретного
объекта.

8. Парная регрессия

–
уравнение связи двух
переменнных
y fˆ ( x )
y – зависимая переменная
(результативный признак);
x – независимая,
объясняющая переменная
(признак-фактор)

9. Различают линейные и нелинейные регрессии

Линейная регрессия:
y a b x
Нелинейные регрессии делятся на два класса:
Регрессии, нелинейные относительно
включенных в анализ объясняющих
переменных, но линейные по оцениваемым
параметрам;
Регрессии, нелинейные по оцениваемым
параметрам

10. Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

Полиномы разных степеней
y a b1 x b2 x b3 x
2
Равносторонняя гипербола
b
y a
x
3

11. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

Степенная
y a x
b
Показательная
y a b
x
Экспоненциальная
y e
a b x

12. Линеаризация нелинейных по оцениваемым параметрам уравнений парной регрессии

1.
степенная функция
y a xb
lg y lg a b lg x
Y C bX
Y lg y
;
X lg x ;
c lg a

13.

2. показательная функция
y a b
x
lg y lg a x lg b
Y C Bx
Y lg y ;
C lg a ;
B lg b

14.

3. экспоненциальная функция
y e
ln y a bx
a bx

15.

4.
равносторонняя гипербола
1
y a b
x
1
z
замена
x
y a bz

16.

РЕГРЕССИЯ ЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ - причинная
модель статистической связи линейной между
двумя количественными переменными х и у,
представленная уравнением y = a + bx

17.

Существуют два подхода к
интерпретации коэффициента
регрессии b.
Согласно первому из них, b
представляет собой
величину, на которую
изменяется предсказанное
по модели значение ŷ i = a + bxi при
увеличении значения
независимой переменной x на
одну единицу измерения,
согласно второй - величину,
на которую в среднем
изменяется значение
переменной yi при увеличении
независимой переменной x на
единицу.
На диаграмме рассеяния
коэффициент b представляет
тангенс угла наклона линии
регрессии y = a + bx к оси

18.

Свободный член
уравнения регрессии a
интерпретируется, если
для независимой
переменной значение x = 0
имеет смысл. В этом
случае y = a, если x = 0.

19. Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров

Для оценки параметров регрессий, линейных по
параметрам, используют метод наименьших
квадратов (МНК).
МНК позволяет получить такие оценки
параметров, при которых сумма квадратов
отклонений фактических значений
результативного признака y от теоретических
минимальна, то есть
( y yˆ )
x
2
min
ˆ
y

20.

Для линейных и нелинейных уравнений,
приводимых
к
линейным,
решается
следующая система относительно a и b:
:
na b x y,
2
a
x
b
x
yx
.

21.

Можно воспользоваться готовыми
формулами, которые вытекают из этой
системы:
a y b x,
b
cov( x, y )
2
x
y x y x
x x
1
2
(
x
x
)
n 1
2
2
,
где x
- несмещённая
(исправленная) дисперсия величины x .
2

22.

Тесноту связи изучаемых явлений
оценивает линейный коэффициент
rxy
парной
корреляции
для
линейной регрессии 1 rxy 1 :
x cov(x, y ) yx y x
rxy b
,
y
x y
x y

23.

и индекс корреляции
p xy
нелинейной регрессии (0 p xy 1) :
2
( y yˆ x )
ост
p xy 1 2 1
,
2
y
( y y)
2
1
2
ˆ
ост
(
y
y
)
x
где
n 1
,
1
2
2
y
( y y)
n 1
.
2
- для

24.

Оценку
качества
построенной
модели
даст
коэффициент (индекс) детерминации, а также
средняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее
отклонение расчетных значений от фактических:
1
y yˆ
A
100 %.
n
y
Допустимый предел значений A - не более 810%.

25.

Средний коэффициент эластичности
Э
показывает, на сколько процентов в среднем по
совокупности изменится результат y от своей
средней величины при изменении фактора x на
1% от своего среднего значения:
x
Э f ( x) .
y

26.

Задача
дисперсионного
анализа
состоит
в
анализе дисперсии зависимой переменной:
( y y) ( yˆ x y) ( y yˆ x ) ,
2
где
2
2
( y y)
2
-
общая
сумма
квадратов
отклонений;
( yˆ x y )
2
-
сумма
квадратов
отклонений,
обусловленная регрессией («объясненная» или
«факторная»);
2
ˆ
(
y
y
)
x - остаточная сума квадратов отклонений.

27.

Долю
дисперсии,
объясняемую
регрессией,
в
общей
дисперсии
результативного
признака
y
характеризует
коэффициент
(индекс)
2
R
детерминации
:
( yˆ x y )
.
2
( y y)
2
R
2
Коэффициент
детерминации
–
квадрат коэффициента или индекса
корреляции.

28. F-критерий Фишера

Критерий Фишера (F-
критерий, φ*-критерий,
критерий наименьшей
значимой разности) —
апостериорный
статистический
критерий, используемый
для сравнения дисперсий
двух вариационных рядов,
то есть для определения
значимых различий между
групповыми средними в

29. F-критерий Фишера

F-тест – оценивание качества уравнения
регрессии – состоит в проверке гипотезы
H0
о статистической незначимости
уравнения регрессии и показателя тесноты
связи.

30.

Для
этого
выполняется
сравнение
фактического Fфакт и критического (табличного)
Fтабл
значений
определяется
факторной
F-критерия
из
Фишера.
соотношения
и
остаточной
значений
дисперсии,
рассчитанных на одну степень свободы:
Fфакт
( yˆ y )
2
/m
( y yˆ ) /(n m 1)
2
2
rxy
2
1 rxy
Fфакт
(n 2),
где n – число единиц совокупности;
m – число параметров при переменных x.

31.

k1
- число степеней свободы (факторная
вариация результата)
Для парной линейной регрессии
k1 m 1
m - число параметров при переменной x)
k2 n m 1
n-m - число степеней свободы df
число степеней свободы для парной
линейной регрессии
df n 1

32.

- это максимально возможное значение
критерия под влиянием случайных факторов
при данных степенях свободы и уровне
значимости α. Уровень значимости α –
вероятность отвергнуть правильную
гипотезу при условии, что она верна.
Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
Fтабл

33.

Если Fтабл < Fфакт , то H 0 - гипотеза
о случайной природе оцениваемых
характеристик
отклоняется
и
признается
их
статическая
значимость и надежность. Если
H 0 не
Fтабл > Fфакт , то гипотеза
отклоняется
и
признается
статистическая
незначимость,
ненадежность уравнения регрессии.

34. Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции

Для
оценки
статистической
коэффициентов
регрессии
рассчитываются
t-критерии
и
значимости
корреляции
Стьюдента
и
доверительные интервалы каждого из показателей.
Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе
показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

35.

Оценка значимости коэффициентов регрессии
и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента
проводится
путем сопоставления их значений с
величиной случайной ошибки:
b
tb
;
mb
ta
a
;
ma
tr
r
.
mr

36.

Случайные
регрессии
ошибки
и
параметров
коэффициента
линейной
корреляции
определяются по формулам:
( y yˆ x ) /(n 2)
2
mb
ma
(x x)
2
Sост 2
Sост
;
2 n
(x x) x
2
2
x
x
2
Sост
Sост
;
2
2
2
(n 2) n ( x x )
n x
n x
( y yˆ x )
2
2
x
mrxy
2
1 rxy
n 2
.

37.

Сравнивая фактическое и
критическое (табличное) значение tстатистики - t табл и t факт принимаем или отвергает гипотезу
H0 .

38.

Связь между F-критерием Фишера и
t-статистикой
Стьюдента
равенством
t t F.
2
r
2
b
выражается

39.

Если
t табл < t факт ,
то гипотеза H 0 отклоняется, т.е.
a,b и rxy не случайно отличаются от нуля и
сформировались под влиянием систематически
действующего фактора x. Если t табл > t факт , то
гипотеза
H0
не
отклоняется
и
признается
случайная природа формирования a,b или rxy .

40.

Доверительный
интервал — это интервал,
построенный с помощью
случайной выборки из
распределения с
неизвестным параметром,
такой, что он накрывает
данный параметр с
заданной вероятностью.

41.

Для расчета доверительного интервала
определяем предельную ошибку Δ для
каждого показателя:
a t табл ma ,
b t табл mb .

42.

Формулы
для
расчета
интервалов имеют следующий вид:
a a a ;
a
min
a
max
a a ;
a a ;
b b b ;
bmax b b .
b b b ;
min
доверительных

43.

Если
в
границы
интервала
попадает
граница
отрицательна,
доверительного
ноль,
т.е.
а
нижняя
верхняя
положительна, то оцениваемый параметр
принимается нулевым, так как он не может
одновременно принимать и положительное,
и отрицательное значения.

44.

Прогнозное значение y p
определяется путем подстановки в
уравнение регрессии yˆ x a b x
соответствующего (прогнозного)
значения x p .

45.

Вычисляется
средняя
стандартная
ошибка прогноза m yˆ p :
( x p x )2
1
m yˆ p ост 1
,
2
n (x x )
где ост
2
(
y
y
)
ˆ
n m 1
;

46.

и
строится
доверительный
интервал прогноза:
yˆ p yˆ p yˆ p ;
yˆ p min yˆ p yˆ p ;
yˆ p
max
yˆ p yˆ p ;
где yˆ p t табл m yˆ p .

47.

Все изложенное в данном
разделе понадобится Вам при
выполнении контрольной
работы.
Желаю удачи!