Простейшие модели ангармонизма. Нелинейность свободного электрона

1.

Простейшие модели ангармонизма.
Нелинейность свободного электрона
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, поляризованную вдоль оси
х и распространяющуюся вдоль оси z:
взаимодействующую со свободным электроном плазмы, находящимся в
начале координат.
Лекция 5-6
Нелинейная оптика
E E x ( z, t ) H y ( z, t ) Re E1eikz ( t ) i t ,
Уравнения движения электрона с учетом силы Лоренца запишутся в виде:
e
1
e 1 1 z E ,
E
zH
x
y
m
c
m c
e
z 2 z
xE
mc
x 2 x
- константа затухания, учитывающая столкновительную релаксацию
и излучательные потери
Решение уравнений движения ищем в виде ряда Фурье методом
последовательных приближений по амплитуде поля:
R R (1) R (2) ... Re R1e i t R 2 e i 2 t ... , R X ,0, Z

2.

Нелинейность свободного электрона. Линейное приближение
В первом приближении пренебрегаем членами порядка 1/c, тогда
X 1(1)
em
(1)
E
,
Z
1
1 0
2
2i
тогда амплитуда дипольного момента d1 eX 1
а линейная поляризуемость и линейная восприимчивость
Лекция 5-6
Нелинейная оптика
(1)
e2 m
( ) 2
,
2i
при
e2
re 2
mc
(1) N
e2
c2
1
2
( )
r
r
e 2
e
m 2
4 2
классический радиус электрона
! NB линейная поляризуемость:
- отрицательна
- имеет размерность куба
- при энергиях порядка Ридберга
( ) 4a03

3.

Нелинейность свободного электрона. Второе приближение
Во втором порядке, в левую часть подставляем
R2
, а в правую - R1
тогда сила Лоренца Fz(2) X (1) E
Z 2(2)
Лекция 5-6
Нелинейная оптика
имеет компоненту на удвоенной частоте, а амплитуда колебаний в
продольном направлении
e2 E12
1
2
E
zxx
1
8im 2 c ( i )( i 2 ) e
квадратичная поляризуемость zxx связывает амплитуды поля и
дипольный момент на удвоенной частоте.
при
e3
( ) 2 3 e 2 mc 2 E NL
m c
где параметр ENL имеет смысл амплитуды поля, при котором Z (2) X (1)
E NL 109 Гс

4.

Нелинейность связанного электрона
d 2x
dx
2
2
x
ax
F
0
2
dt
dt
Приложенное поле задано на частотах 1 , 2
Лекция 5-6
Нелинейная оптика
Рассмотрим среду в виде совокупности осцилляторов плотностью N.
Уравнение движения электрона
F ( q / m) E1 e i 1t ei 1t E2 e i 2t ei 2t
Наведенная электрическая поляризация P Nqx
При малости ангармонического слагаемого смещение зарядов запишем
x x (1) x (2) x 3 ....
В приближении первого порядка
x (1) x (1) ( 1 ) x (1) ( 2 )
x ( n )
(1)
( q / m ) En
02 n2 i n
e i nt

5.

Нелинейность связанного электрона. Второй порядок
Подставив в уравнение движения вместо ax 2 результат первого
приближения a x (1) 2
x (2) x (2) ( 1 2 ) x (2) ( 1 2 )
Лекция 5-6
Нелинейная оптика
Тогда в выражении для смещения электрона появляются компоненты
на частотах 1 2 , 2 1, 2 2 , 0 :
x (2) (2 1 ) x (2) (2 2 ) x (2) (0)
где
x
(2)
( 1 2 )
x
(2)
x
(2 n )
(2)
2a ( q / m ) 2 E1E2
02
12
i 1
02
22
1
i 2
02 ( 1 2 )2 i( 1 2 )
a ( q / m ) 2 En2
02 n2 i n
e i ( 1 2 )t
02 4 n2 i 2 n
2
e i 2 n t
a ( q / m)2
1
1
(0)
2
2
2
2
2
0
i
i
0
1
1
0
2
2

6.

Нелинейность связанного электрона. Второй порядок
Квадратичная поляризация
P(2) Nqx (2)
а оценка отношения поляризаций
Лекция 5-6
Нелинейная оптика
P(2) / P(1) qaE / m 04
поскольку
qEat (m / a ) 04
то
P ( n 1) / P( n ) E / Eat