Гиперсфера. Введение. Четырехмерное пространство

1. Гиперсфера

МОУ-гимназия №13
Гиперсфера
Работу выполнил:
ученик 11б класса
Мартыненко Александр
Учитель:
Черемисина Г. А.
п. Краснообск, 2008г.

2.

Отражение в мозгу человека окружающего реального
(«объективного») мира есть субъективное восприятие
пространства человеком. Нарушение субъективных
характеристик приводит к иллюзиям.
Что такое размерность пространства и как узнать,
какова размерность пространства, в котором мы живем?
Согласно предложенной модели, наше пространство
является четырехмерной сферой.
Отсюда следует насущная необходимость образного
представления, если уж не самой сферы,
то хотя бы ее свойств.
Нижеследующие размышления имеют цель помочь
читателю интуитивно приблизиться к пониманию этой
геометрической формы.

3.

Содержание
• Введение
• Основная часть
• Заключение
• Используемые ресурсы

4. Введение Четырехмерное пространство

Минковский и Эйнштейн считали, что трёхмерное пространство
и время в отдельности не существуют и что реальный мир
является четырёхмерным. Для этого они объединили
трёхмерное евклидово пространство со временем в
четырёхмерное пространство, взяв в качестве четвёртой оси
системы координат расстояние, которое свет проходит за
время t.
z
y
x
t

5.

Цель:
• Интуитивно приблизиться к пониманию этой геометрической
формы гиперсферы
• Дать первоначальное знакомство с четырёхмерным
пространством на примере гиперсферы (познакомится с
определением гиперсферы, её уравнением и наглядным
изображением).
Для создания моделей четырёхмерных фигур в работе были
использованы
аналогии
и
закономерности
фигур
низших
размерностей: точка, отрезок, окружность.

6. Основная часть

• Четырехмерное пространство
Физический способ измерения размерности
Изменение симметрии
Вместимость пространства
• Гиперсфера
Определение
Способы представления гиперсферы
Аналитическая модель гиперсферы
Динамическая модель гиперсферы
• Гипершар
Определение
Гиперобъем гипершара
Объем границы гипершара

7. Физический способ измерения размерности

z
y
x

8.

Можно нарушить замкнутость контура
при помощи увеличения мерности
пространства.

9. Изменение симметрии

z
y
x
В пространстве размерности (n+1)
можно менять симметрию объектов,
взятых из пространства размерности n.

10.

11.

Вместимость пространства
Пространство с увеличением размерности n
становится все более вместительным.

12. Гиперсфера

Гиперсфера – геометрическая фигура, состоящая из
всех
точек
четырехмерного
пространства,
расположенных на данном расстояние от данных точек.
O – центр гиперсферы
R
R – радиус гиперсферы
O
R

13. Аналитическая модель гиперсферы

z
А (x; y; z)
d
y
o
B (x1;y1;z1)
x
d (x -x1 )² (y - y1 )² (z -z1 )²

14.

(x – x1) ² = R²
y
y
О
x
x
(x –x1) ² + (y – y1) ² = R²
(x – x1) ² + (y – y1) ² + (z – z1) ² = R²

15.

(x – x1) ² + (y – y1) ² + (z – z1) ² + (t – t1) ² = R²

16.

Динамическая модель гиперсферы
Способ 1
AOB 180 одномерная сфера
М – прямая, модель одномерного
пространства
O – центр одномерной сферы
R – радиус одномерной сферы

17.

Способ 1
M1
B1
ВА
О
A1
АВ
М

18.

Способ 1

19.

Способ 2

20.

Способ 2

21.

Способ 2

22.

Относительные размеры
четырехмерной сферы
K
AO=R
K=3R
K

23.

24.

25.

Гипершар
Гипершар
–
геометрическое
тело,
состоящее из всех точек четырехмерного
пространства,
для
которых
верно
неравенство
OX ≤ R
O – центр гипершара,
OХ
R – его радиус,
ОХ – расстояние
от точки О до
произвольной
точки гипершара.
R
O

26. Гиперобъем гипершара

y
Теорема.
Если R – радиус гипершара,
W – гиперобъем гипершара,
R
то
п R
W
2
2
4
Доказательство
о
x

27.

44
3
3
V (V
x)
п(пR
R ² x ² )
33
x y R
2
2
y
2
x
о
-R
R
y R ² x ²
R
R
4
W V ( x)dx п( R ² x ² )³dx
3
R
R
R
4
п ( R ² x ² )³dx
3 -R

28.

R
4
W п ( R ² x ² )³dx
3 -R
x R sin t
dx R cos t dt
( R ² x ² )³ ( R ² R ² sin ² t )³
( R ²(1 sin ² t )³ ( R ² cos² t )³
( R cos t ) R cos t
3
3
3

29.

п
a) R R sin t , 1 sin t , t
2
п
б) R R sin t , 1 sin t , t
2
п
2
п
2
-
-
4
4
3
3
4
4
W п R cos t R cos t dt п R cos t dt
3 п
3
п
2
2

30.

п
2
4
W п R 4 cos 4 t dt
3
п
п
2
-
2
2
4
4
4
3п
п
R
W п R 4 cos 4 t dt п R 4
1
3 4
3
8
2
п
cos t - 2 (3 4 cos 2t cos 4t )
8
п
2
п
2
1
3п
2t cos 4t )dt
4
п cos dt п 8 (3 п42cos
8
R
W
2
2
2
4

31.

Объем границы гиперсферы
Если R – радиус гипершара,
V – объем границы гиперсферы,
то
V 2п R
2
3
1
W гп V осн h
4
n
W гмп
i 1
n – количество гиперпирамид,
Vi – объем основания i-й гиперпирамиды,
hi – высота i-й гиперпирамиды.
1
п2 R 4
W VR
W
V
4
2
1
V i hi
4
2п R
2
3

32.

Фигура
Шар
Размерность
Трехмерная
Гипершар
Четырехмерная
Граница
Сфера
Гиперсфера
Мера границы
Площадь
Объем
Формула
S=4пR2
V=2пR3
Мера фигуры
Объем
4 3
V пR
3
Формула
Гиперобъем
п R
W
2
2
4

33.

Как видим, четырёхмерные фигуры
можно изучать и познавать так же,
как и трёхмерные, хотя в
четырёхмерном пространстве
существуют фигуры, аналогов
которых нет в пространствах
низших размерностей.

34. Список используемых ресурсов

http://stratum.ac.ru/textbooks/kgrafic/lection16.html
http://metaphysic.narod.ru/etud.htm
http://fizika3000.narod.ru/prwr.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki
Газета “Математика” приложение «1 сентября» 2005 г.