Ряды. Действия над рядами

1. Ряды

2.

Числовые ряды
Если члены бесконечной числовой последовательности
a1 , a2 , a3 , …, an , …
соединить знаком «+», то полученный символ
a1 a2 a3 ... an ... an
n 1
(1)
называется числовым рядом. Числа a1 , a2 , a3 , …, an , …
называются членами ряда, an - общий член ряда.
Сумма n первых членов ряда Sn a1 a2 a3 ... an называется n-й частичной суммой ряда.
О. Если существует конечный предел последовательности
частичных сумм ряда lim Sn S , то ряд (1) называется сходяn
щимся, а S называется суммой ряда. Если lim Sn бесконечен
n
или не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

3.

Пример. Исследовать ряды на сходимость:
1. 0 + 0+…+ 0 +…
Sn 0 0
0 0 . nlim
S lim 0 0 .
...
n n
n
Данный ряд сходится и его сумма равна 0.
2. a a ... a ... a 0
Sn a
...
a a n . nlim
S lim a n .
a
n n
n
Ряд расходится.

4.

3. Ряд геометрической прогрессии a aq aq2 ... aqn 1 ... , q 0 , a 0 .
1. если q 1, то ряд расходится (пример 2).
2. q 1 По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии
n
a
aq
Sn
1 q .
0, q 1
a
, q 1,
1, q 1,
1
q
n
a
q
не , q 1,
n не , q 1,
lim
q
lim
S
lim
n
n n n 1 q
, q 1,
, q 1,
, q 1.
n
не , но q б.б, q 1.
Ряд геометрической прогрессии сходится, если q 1, если q 1 - расходится.
Вывод: убывающая по абсолютной величине геометрическая прогрессия сходится, неубывающая по абсолютной величине геометрическая прогрессия расходится.

5.

Гармонический ряд 1 1 1 ... 1n ... расходится.
2 3
Обобщённый гармонический ряд
1 1p 1p ... 1p ...
2
3
n
при p 1 – расходится, при p 1 - сходится.
Необходимый признак сходимости
Если ряд сходится, то предел его общего члена an
при