Числовые ряды

1.

a a a ... a ...
Числовые ряды
k 1
n
Sn ak – частичная сумма ряда
k 1
df
k
1
k 1
k n 1
2
k
rn an k ak – n -й остаток ряда
Если lim S n S , то ряд ak называется сходящимся, если Sn расходится,
n
k 1
то ряд называется расходящимся.
З а м е ч а н и е 1. Понятие «сумма ряда» определено только для сходящегося
ряда и в отличие от понятия «частичная сумма ряда» вводится посредством
предельного перехода.
З а м е ч а н и е 2. Если ak S , то S Sn rn .
k 1
Каждому ряду однозначно соответствует посл-ть его частичных сумм;
Каждой данной посл-ти Sn однозначно соответствует ряд, для которого эта
посл-ть является посл-тью частичных сумм
a1 S1; k 1 ak Sk Sk 1.
1

2.

k 1
k n 1
Теорема. Если ряд ak сходится, то rn ak – БМП.
Необходимое условие сходимости ряда.
Для сходимости ряда ak необходимо, чтобы lim ak 0 .
k
k 1
Критерий Коши сходимости ряда.
Ряд ak сходится
k 1
0 n0 n n0 p
n p
a .
k n 1
k
1
расходится.
k 1 k
Гармонический ряд
Геометрический ряд
1
при q 1 сходится к
1 q
k 1
при q 1 расходится
k 1
q
:
2

3.

Основные свойства сходящихся рядов
1. Отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на
сходимость ряда.
2. Если c 0 , то ряд cak сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
k 1
a , причем в случае сходимости ca c a .
k 1
k
k 1
k 1
k 1
k
k
k 1
3. Если ряды ak и bk сходятся, то сходится ряд ak bk , причем
k 1
a b a b . Если один из рядов a и b сходится, а второй
k 1
k
k
k 1
k
k 1
расходится, то ряд
k
k 1
k
k 1
k
a b расходится. Если оба ряда a
k 1
k
k
k 1
k
и
b
k 1
k
расходятся, то ряд ak bk может как сходиться, так и расходиться.
k 1
З а м е ч а н и е . Согласно свойству 1 всюду в формулировках условий
сходимости или расходимости ряда можно требование «для всех членов ряда»
заменить требованием «для всех членов ряда, начиная с некоторого номера».
В дальнейшем такая замена будет подразумеваться без специальной оговорки.6

4.

Знакопостоянные ряды
k ak 0 ИЛИ k ak 0 .
С учетом свойства 2 сходящихся рядов ограничимся рассмотрением
только рядов с неотрицательными членами.
Основное свойство рядов с неотрицательными членами.
Ряд с неотрицательными членами сходится Sn ограничена.
Теорема. Если знакопостоянный ряд ak сходится, а посл-ть d k
k 1
ограничена, то ряд ak d k также сходится.
k 1
7

5.

Признаки сравнения
Первый признак сравнения. Пусть k 0 ak bk . Тогда
k 1
k 1
1) ряд bk сходится ряд ak сходится;
k 1
k 1
2) ряд ak расходится ряд bk расходится.
Следствие. Теорема остается справедливой, если неравенство 0 ak bk заменить неравенством
0 ak cbk , c
k 1
k 1
, так как ряды cbk и bk сходятся и расходятся одновременно.
ak
c , 0 c . Тогда если:
k b
k
Второй признак сравнения. Пусть k ak 0, bk 0 и lim
1) 0 c , то из сходимости ряда bk следует сходимость ряда ak ;
k 1
k 1
2) 0 c , то из расходимости ряда bk следует расходимость ряда ak ;
k 1
k 1
k 1
k 1
3) 0 c , то ряды ak и bk сходятся и расходятся одновременно.
Следствие. Если ak
k 1
k 1
bk при k , то ряды ak и bk сходятся и расходятся одновременно.
Третий признак сравнения. Пусть k ak 0, bk 0 и
k 1
k 1
1) ряд bk сходится ряд ak сходится;
ak 1 bk 1
. Тогда
ak
bk
k 1
k 1
2) ряд ak расходится ряд bk расходится.
9

6.

Интегральный признак Коши – Маклорена.
Теорема. Пусть f x 0 и не возрастает всюду на полупрямой x m . Тогда
«Числовой ряд f k сходится»
k m
«Несобственный интеграл f x dx сходится»
m
Следствие. Если f x удовлетворяет условиям теоремы и ряд f k сходится,
k m
то остаток ряда можно оценить по формуле
f x dx r f x dx .
n0 1
n0
n0
Обобщенный гармонический ряд
1
сходится при 1 и расходится при 1.
k 1 k
13

7.

1
2
10
с
точностью
до
.
4
k 1 k
П р и м е р . Найдем сумму ряда
Задача корректна, так как данный ряд сходится, поэтому, согласно
следствию из теоремы об интегральном признаке Коши, получим
dx
1
.
4
3
x
3n
n
Так как rn 10 2 при n 4 , для вычисления ряда с заданной погрешностью
rn S Sn
достаточно взять S4 1
1
1
1
.
4
4
4
2
3
4
3 k 2
П р и м е р . Исследуем сходимость ряда exp 2
1 .
k 1
k 3
k 2
3 k 2
Так как 2
0 при k , то exp 2
1
k 3
k 3
3
k 2
k2 3
3
1
k
5/3
при k .
В силу второго признака сравнения с учетом сходимости обобщенного
гармонического ряда при 5 3 получаем сходимость исходного ряда.
17

8.

Элементарные функции – показательная e x и логарифмическая ln x – при
x не являются бесконечно большими степенного порядка, а именно для
любого 0 справедливы соотношения x o e x и ln x o x , x . Иногда
возможно получить оценку общего члена такого ряда через степенную функцию и,
пользуясь теоремой сравнения, сделать вывод о поведении этого ряда.
П р и м е р 1.10. Исследуем сходимость ряда k 2 e k .
k 1
Функция e k убывает быстрее, чем любая отрицательная степень показателя
k , т.е. e
k
o k
/ 2
при k ( 0 ). Если 6 , то ряд k
0
2 0 / 2
сходится,
k 1
а значит, в силу теоремы сравнения сходится и исходный ряд.
З а м е ч а н и е . Оценка e k o k / 2 верна и для 0 0 6 , но такая оценка не
информативна в вопросе о сходимости ряда k 2 e k .
k 1
18

9.

ln k
, q 0.
q
k 1 k
П р и м е р 1.11. Исследуем сходимость ряда
ln k
1
, k 3, q 0 , в силу теоремы сравнения следует, что
kq
kq
данный ряд расходится при 0 q 1 .
Из неравенства
Пусть q 1 . Учитывая, что 0 ln k o k при k , получим
0 K k K
Ряд
k 1
1
k
q
ln k
1
.
kq
k q
(0.1)
сходится при q 1 , поэтому, выбирая для каждого фиксированного
q 1
, получим, что k K
2
справедливо неравенство (0.1). Отсюда в силу теоремы сравнения делаем вывод, что
ln k
ряд q сходится.
k 1 k
значения q 1 зависящее от него значение
ln k
сходится при q 1 и расходится при 0 q 1 .
q
k 1 k
Итак, ряд
19

10.

Признак Даламбера
Признак Даламбера.
ak 1
ak 1
Если k ak 0 и
q 1 (или
1), то ряд ak сходится (расходится).
ak
ak
k 1
Замечание.
Неравенство
ak 1
q 1 нельзя заменить неравенством
ak
ak 1
1.
ak
a
k
1
расходится, хотя k 1
1.
ak
k 1
k 1 k
Например, ряд
ak 1
q
k a
k
Признак Даламбера в предельной форме. Пусть k ak 0 и lim
.Тогда
ряд ak сходится при q 1 и расходится при q 1 . При q 1 ряд может как сходиться,
k 1
так и расходиться.
Обобщенный признак Даламбера. Пусть k ak 0 . Тогда, если:
ak 1
1) lim
L 1 , то ряд ak сходится;
k a
k 1
k
ak 1
2) lim
L 1, то ряд ak расходится.
k ak
k 1
20

11.

Радикальный признак Коши
Радикальный признак Коши. Если k ak 0 и
k a q 1
( k ak 1 ),
(1.10)
k
то ряд ak сходится (расходится).
k 1
З а м е ч а н и е . Неравенство k ak q 1 нельзя заменить неравенством k ak 1 .
Радикальный признак Коши в предельной форме. Если k ak 0 и
lim k ak q ,
k
то ряд ak сходится при q 1 и расходится при q 1 . При q 1 ряд может как
k 1
сходиться, так и расходиться.
Обобщенный радикальный признак Коши. Если k ak 0 и
lim k ak q ,
k
то ряд ak сходится при q 1 и расходится при q 1 .
k 1
23

12.

Замечания:
1. Признаки Коши и Даламбера применимы только для рядов с неотрицательными членами.
2. Признаки Коши и Даламбера являются достаточными и не являются необходимыми.
3. Так как для частичных пределов последовательности с положительными членами
справедливо неравенство
a
a
lim k 1 lim k ak lim k ak lim k 1 ,
k
k a
k ak
k
k
признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера, т.е. всякий раз, когда действует
признак Даламбера, действует и признак Коши. При этом существуют ряды, для которых
действует признак Коши и не действует признак Даламбера.
k
1 3
Например, для ряда
имеем
k
2
k 1
a 2 n 1 1
ak 1
a2 n 1
1 3 22 n 1
ak 1
1 3 22 n 1
lim
lim
lim 2 n 1
,
lim
lim
lim 2 n
1,
n a
n 2
k a
n a
n 2
k
a
1
3
4
1
3
k
2n
k
2 n 1
следовательно, признак Даламбера не дает информации ни о сходимости, ни о расходимости
1
данного ряда, тогда как признак Коши доказывает сходимость ряда lim k ak lim 2 n a2 n .
k
n
2
4. Признаки сходимости Коши и Даламбера основаны на сравнении рассматриваемого ряда с
рядом, составленным из элементов геометрической прогрессии, а именно со сходящимся рядом
q , q 1 или расходящимся рядом 1.
k
k 1
k 1
26

13.

Построение новых признаков сходимости
1
и посл-ть ak
k 1 ck
Признак Куммера. Пусть даны расходящийся ряд
такие, что k ak 0 , ck 0 . Обозначим через K k величину
a
K k ck k ck 1 .
ak 1
Тогда,
1) если k Kk 0 , то ряд ak сходится;
k 1
2) если k Kk 0 , то ряд ak расходится.
*
k 1
Следствие (признак Куммера в предельной форме)
Если lim K k K , то
k
– при K 0 ряд ak сходится,
k 1
– при K 0 ряд ak расходится.
k 1
27

14.

Признак Куммера можно рассматривать как общую схему для получения конкретных
1
признаков. Выбирая различным образом расходящийся ряд , мы будем получать
k 1 ck
различные признаки сходимости.
Признак Раабе. Пусть ck k , тогда
ak
ak
R
k
1
,
Kk k
k 1 Rk 1 k
.
ak 1
ak 1
Если lim Rk R , то lim K k R 1 . При R 1 имеем K 0 , и по признаку Куммера
k
k
ряд расходится; если же R 1, то K 0 , и ряд сходится.
Признак Бертрана. Пусть ck k ln k (расходимость ряда
1
k 1 ck
вытекает из
интегрального признака Коши – Маклорена). Тогда:
k 1
k 1
ak
ak
1
1
1 1 ln 1 Bk ln 1 ,
K k k ln k
k 1 ln k 1 ln k k
a
ak 1
k
k
k 1
ak
Bk ln k k
1 1 ln k Rk 1 .
a
k 1
Если lim Bk B , то lim K k B 1 . При B 1 имеем K 0 , и по признаку Куммера
k
k
ряд расходится; если же B 1, то K 0 , и ряд сходится.
29

15.

Отсутствие универсального ряда сравнения
1. Признак Коши сильнее признака Даламбера.
2. Признак Раабе сильнее признака Даламбера, причем все случаи, когда
признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении данного ряда, охватываются всего двумя значениями R .
3. Признак Бертрана сильнее признака Раабе.
Возникает вопрос: существует ли предельно медленно сходящийся (или
расходящийся) ряд, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о
сходимости (или расходимости) любого наперед взятого ряда с положительными членами.
30

16.

r
S
Ряд ak сходится (расходится) медленнее, чем ряд ak , если lim n 0 lim n 0 .
n r
k 1
k 1
n
n Sn
Теорема. Для каждого сходящегося (расходящегося) ряда существует ряд,
сходящийся (расходящегося) медленнее этого ряда.
1. Пусть ak – сходящийся ряд.
k 1
k 1
k 1
Ряд ak , где ak rk 1 rk , r0 ak , сходится медленнее, чем ряд ak , т.к.
k 1
rn ak
k n 1
r r r r ... r ,
n 1
n
n 1
n 2
n
r
r
а значит, lim n lim n lim rn 0 .
n r
n
rn n
n
2. Пусть ak – расходящийся ряд.
k 1
Ряд ak , где ak Sk Sk 1 , a1 S1 a1 , расходится медленнее, чем ряд ak , т.к.
k 1
k 1
n
Sn ak S1
k 1
S S S S ... S S S ,
2
1
S
Sn
1
lim n lim
0 .
n S
n S
n
Sn
n
n
а значит, lim
3
2
n
n 1
n
31

17.

Ряды общего вида
Группировка членов ряда
k 1
k 1
Сгруппировать члены ряда ak – это значит, вместо ряда ak
рассмотреть ряд
A ,
k 1
Теорема.
k
В
N k 1
Ak an , 1 N0 N1 ... Nk ... .
n N k 1
сходящемся
ряде
допустима
произвольная
расстановка скобок. Полученный ряд будет сходиться к сумме
исходного ряда.
32

18.

Теорема. В сходящемся ряде допустима произвольная расстановка скобок.
Полученный ряд будет сходиться к сумме исходного ряда.
Пусть Sn
n
a ,
k 1
k
n
N k 1
k 1
n N k 1
Sn Ak , Ak an , 1 N 0 N1 ... N k ...
Для конечных сумм раскрытие скобок законно, поэтому
n
N1 1
N 2 1
N n 1
k 1
k 1
k N1
k N n 1
Sn Ak ak ak ... ak a1 a2 ... a N n 1 S N n 1 ,
т.е. Sn – подпосл-ть посл-ти S n .
1. Если посл-ть S n сходится, то любая ее подпосл-ть (в том числе и Sn S N n 1 ) сходится
к тому же пределу. Значит, сходимость ряда
a влечет сходимость ряда A , причем
k 1
k
k
k 1
суммы обоих рядов равны.
2. Сходимость подпосл-ти Sn S N n 1 , вообще говоря, не влечет сходимости посл-ти S n ,
поэтому из сходимости ряда
A в общем случае не следует сходимость ряда a .
k 1
k
k 1
k
33

19.

Ряды лейбницевского типа
1
k 1
k 1
ak
1) lim ak 0 ;
k
2) k ak ak 1 0 (или k ak ak 1 0 ).
Признак Лейбница. Ряд лейбницевского типа сходится, причем
его сумма S не превышает a1 , т.е. 0 S a1 (или a1 S 0 ).
Следствие. Для остатка ряда лейбницевского типа справедливы
неравенства
rn an 1 и rn an 1 0 ,
т.е. остаток ряда не превосходит по абсолютной величине значения
первого отбрасываемого слагаемого и совпадает с ним по знаку.
34

20.

Абсолютная и условная сходимость
Ряд ak называется:
k 1
– абсолютно сходящимся, если сходится ряд ak ;
k 1
– условно сходящимся, если он сходится, а ряд ak расходится.
k 1
З а м е ч а н и е 1 . Если знакопостоянный ряд сходится, то он сходится
абсолютно, поэтому понятия «абсолютно сходящийся ряд» и «условно
сходящийся ряд» имеют смысл только для знакочередующихся рядов.
З а м е ч а н и е 2 . Если знакопеременный ряд сходится, то он сходится либо
абсолютно, либо условно.
З а м е ч а н и е 3 . Для исследования абсолютной сходимости ряда могут
быть применены все признаки сходимости рядов с неотрицательными
членами.
Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Утверждение теоремы следует из критерия Коши и неравенства
an 1 an 2 ... an p an 1 an 2 ... an p . 37

21.

Ряд ak называется безусловно сходящимся, если для любой перестановки
k 1
k натурального ряда ( есть биекция
на
) ряд a k сходится.
k 1
Теорема 1.22. Если ряд ak сходится абсолютно, то он сходится безусловk 1
но, причем его сумма при перестановке членов не меняется.
Следствие (теорема Коши об абсолютно сходящемся ряде). Если ряд
сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного ряда посредством
некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же
сумму, что и данный ряд.
Теорема Римана об условно сходящемся ряде. Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число L (конечное или бесконечное),
можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился
к числу L .
38

22.

Понятия «абсолютной» и «безусловной» сходимости эквивалентны.
1. Теорема Коши:
Ряд сходится
абсолютно он сходится
безусловно
2. Ряд сходится не абсолютно он сходится
условно.
3. Теорема Римана:
Ряд сходится
условно
он сходится «не безусловно» ( L ).
З а м е ч а н и е . Теоремы Римана и Коши подчеркивают тот факт, что неабсолютная
(условная) сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и потому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания
этих членов и от порядка их не зависит.
__________________________________________________________
Теорема Коши. Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного
ряда посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту
же сумму, что и данный ряд.
Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое
число L (конечное или бесконечное), можно так переставить члены этого ряда, чтобы
39
преобразованный ряд сходился к числу L .

23.

Теорема 1.22. Если ряд
a
k 1
k
сходится абсолютно, то он сходится
безусловно, причем его сумма при перестановке членов не меняется.
________________________________________________________
Следствие (теорема Коши об абсолютно сходящемся ряде). Если ряд
сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного ряда посредством
некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же
сумму, что и данный ряд.
Пусть ряд
a
k 1
k
сходится абсолютно, тогда для доказательства
абсолютной сходимости ряда a k , достаточно применить теорему 1.22
k 1
k 1
k 1
к рядам ak и a k .
41

24.

Теорема Римана об условно сходящемся ряде. Если ряд сходится условно,
то, каково бы ни было наперед взятое число L (конечное или бесконечное), можно
так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу L .
Пусть ряд ak сходится условно, тогда он содержит бесконечное число как
k 1
положительных, так и отрицательных членов.
Пусть p1 , p2 , p3 ,... – положительные, а q1 , q2 , q3 ,... – отрицательные члены ряда
a , выписанные в таком порядке, в каком они стоят в этом ряду.
k 1
k
Пусть Pn и Qn – соответствующие суммы всех положительных и отрицательных
членов ряда ak , составляющие его частичную сумму Sn , т.е. Sn Pn Qn .
k 1
Ряд ak сходится условно
lim Pn Qn S
n
Pn Qn
lim
n
k 1
k 1
k 1
lim Pn
n
Qn
lim
n
ряды pk и qk расходятся
N m1
N m2
k N 1
k N 1
E 0 N m1 pk E и m2 qk E .
42

25.

1. Переставим члены ряда ak так, чтобы lim Sn L , L .
k 1
n
n1
n1 1
k 1
k 1
Выберем из ряда столько положительных членов p1 ,..., pn1 , чтобы pk L , pk L .
n1
n2
n2 1
n1
Добавим столько отрицательных членов q1 ,..., qn2 , чтобы pk qk L , pk qk L .
k 1
k 1
k 1
k 1
n3
n2
n3 1
n2
k 1
k 1
k 1
k 1
Cнова добавим положительные члены pn1 1 ,..., pn3 так, чтобы pk qk L , pk qk L .
Продолжая далее, получим ряд, в состав которого войдут все члены исходного ряда ak .
k 1
Полученный ряд сходится к L , так как величина Sn L ak , где ak – последний член последней
полностью завершенной группы членов полученного ряда одного знака. Ряд ak сходится
lim ak 0
k
lim
Sn L 0 .
n
k 1
2. Если L , то, выбрав некоторую ББП Ln , перегруппируем члены ряда так, что после
каждой группы положительных чисел следует ровно одно отрицательное число, причем
k -я
группа положительных чисел заканчивается, когда частичная сумма ряда превысит Lk . При этом
получится ряд, сумма которого равна . Аналогично можно получить и ряд с суммой .
43

26.

Признаки сходимости
знакопеременных числовых рядов
Признак Дирихле. Ряд bk ak сходится, если:
k 1
n
1) посл-ть частичных сумм Bn bk ограничена;
2) посл-ть ak монотонна;
k 1
3) посл-ть ak сходится к 0.
Признак Абеля. Ряд bk ak сходится, если:
k 1
1) ряд bk сходится;
k 1
2) посл-ть ak монотонна;
3) посл-ть ak ограничена.
44

27.

Преобразование Абеля для конечных сумм
n 1
n
a b a a B a B
k 1
k k
Пусть S a1b1 a2b2 ... anbn ,
k 1
k
k 1
k
n
n
B1 b1 , B2 b1 b2 , …, Bn b1 b2 ... bn , тогда
b1 B1 , b2 B2 B1 , …, bn Bn Bn 1 ,
S a1B1 a2 B2 B1 ... an Bn Bn 1 =
a1 a2 B1 a2 a3 B2 ... an 1 an Bn 1 an Bn .
Неравенство Абеля
Если ak ak 1 0 ak ak 1 0 , k 1, n 1 и b1 ... bk B, k 1, n , то
n
a b B a .
k 1
n 1
ak bk ak ak 1 Bk an Bn B ak ak 1 an
k 1
k 1
k 1
n 1
B
a
a
a
k 1
n , если ak ak 1 0 ,
k
k 1
B a1 .
n 1
B a a a , если a a 0
k 1
n
k
k 1
k
k 1
n
k k
1
n 1
45

28.

Признак Дирихле. Если посл-ть ak монотонно сходится к 0,
n
k 1
k 1
а посл-ть частичных сумм Bn bk ограничена, то ряд ak bk сходится.
Bn ограничена B
n 1 p
b B
k n
n bk B
k 1
n p
k
n
n p
Bn 1 Bn p Bn 1 2B .
Докажем сходимость ряда по критерию Коши. Пусть задано 0 .
lim ak 0 n n n an
k
.
2B
Применив неравенство Абеля, получим
n n p
n p
a b 2B a .
k n
k k
n
46

29.

Признак Абеля. Если посл-ть
k 1
k 1
an
монотонна и ограничена,
а ряд bk сходится, то сходится и ряд ak bk .
an ограничена
A
n an A .
Докажем сходимость ряда по критерию Коши. Пусть задано 0 .
Ряд bk сходится n n n p
k 1
n n n p
n p
ak bk
k n
bk .
A
k n
n p
неравенство
Абеля
an .
A
47