Дифференциальные уравнения и ряды

1. Дифференциальные уравнения и ряды

Лекция 9

2.

Тема 3. Ряды
§1. Числовые ряды: основные понятия
Рассмотрим числовую последовательность
а1, а2,…, аn,…={an}, где an − действительные или
комплексные числа.
Выражение вида
называется числовым рядом,
а1, а2, а3, … − члены ряда,
аn − общий член ряда.
2

3.

Сумма первых n членов ряда называется n-й
частичной суммой ряда и обозначается Sn, т.е.
Sn= а1+а2+…+аn.
Если последовательность частичных сумм ряда
имеет конечный предел S при n→∞, то ряд называется
сходящимся, число
называют суммой ряда.
Если
не существует или
то говорят,
что ряд расходится. Такой ряд суммы не имеет.
3

4.

Пример 1. Рассмотрим ряд
Исследуем ряд на сходимость по определению.
Если q 1, то члены ряда образуют геометрическую
прогрессию, поэтому сумма первых n членов
находится по формуле:
1. Если |q|<1, то qn→0 при n→∞,
следовательно, ряд сходится и его сумма S=a/(1−q).
2. Если |q|>1, то qn→∞ при n→∞, поэтому
и ряд расходится.
4

5.

3. Если q = 1, то ряд примет вид: а + а + а +…
В этом случае Sn= nа,
ряд расходится.
4. Если q = −1, то ряд примет вид: а − а + а −…
В этом случае Sn = 0 при четном n и Sn = а при
нечетном n, поэтому
не существует и ряд
расходится.
Таким образом, ряд
сходится при |q| < 1 и
расходится при |q| ≥ 1.
5

6.

Пример 2. Рассмотрим ряд
Исследуем ряд на сходимость по определению.
Сначала преобразуем общий член ряда
1
A(n 1) B(n 1)
A
B
an 2
2
n 1 n 1 n 1
n 1
A(n 1) B(n 1) 1.
A 1 2;
0
n : A B 1
B 1 2.
n1 : A B 0
1 1
1
Таким образом, an
.
2 n 1 n 1
6

7.

Составим n-ую частичную сумму ряда:
n 1
1
1 n 1 1
1
Sn 2
2 k 2 k 1 k 1
k 2 k 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 3 2 4 3 5 4 6
k 3
k 4
k 5
k 2
1 1
1 1
1 1
1
1
n 3 n 1 n 2 n n 1 n 1 n n 2
k n 2
k n 1
k n
k n 1
1 1
1
1 3 1 1
1
1
.
2 2 n 1 n 2 4 2 n 1 n 2
7

8.

Таким образом, Sn 3 1 1 1 .
4 2 n 1 n 2
Теперь вычисляем предел частичной суммы ряда
3 1 1
1 3
lim S n lim
.
n
n 4
2 n 1 n 2 4
0
0
Предел равен конечному числу, следовательно, данный
ряд сходится по определению и его сумма S = 3/4.
8

9.

Свойства числовых рядов
1. Если ряд
сходится и его сумма равна S, то ряд
также сходится и
его сумма равна с·S.
2. Если ряды
сходятся и их суммы
соответственно равны Sа и Sb, то сходятся ряды
и их суммы соответственно равны Sа ± Sb.
9

10.

3. Если к ряду
прибавить (или отбросить)
конечное число членов, то исходный ряд и
полученный ряд сходятся или расходятся
одновременно.
Ряд
называется n-м
остатком ряда. Он получается из ряда
отбрасывания n первых его членов.
путем
Из 3 свойства следует, что если исходный ряд
сходится, то при n→∞ его остаток стремится к нулю.
10

11.

§2. Признаки сходимости числовых рядов
Установить сходимость или расходимость ряда по
определению (путем вычисления
) во многих
случаях является непростой задачей. Поэтому для
выяснения сходимости ряда используют специальные
признаки сходимости.
11

12.

Теорема 1 (необходимый признак сходимости).
Если ряд сходится, то предел его общего члена при
n → ∞ равен нулю.
Доказательство.
Пусть ряд
сходится.
Тогда, учитывая, что an = Sn−Sn −1, получим
Следствие (достаточное условие расходимости ряда).
Если предел n-го члена ряда отличен от нуля или
не существует, то ряд расходится.
12

13.

Замечание. Теорема 1 дает необходимое условие
сходимости ряда, но не достаточное, т.е. если
то из этого не следует, что ряд сходится.
В качестве примера (1) рассмотрим ряд
называемый гармоническим.
Здесь
Однако этот ряд является расходящимся (докажем это).
Запишем сумму первых 2n и n членов ряда:
13

14.

Найдем разность
в которой
каждое слагаемое заменим наименьшим, равным 1/(2n).
Получим
Теперь предположим, что ряд сходится, тогда
Переходя к пределу в неравенстве, получим, что
S − S > 1/2, или 0 > 1/2.
Пришли к противоречию, следовательно
предположение о сходимости ряда неверно, т.е.
гармонический ряд расходится.
14

15.

Пример 2. Записать общий член ряда
1
2
3
1 1 1
1 1 1 ..., указать краткую запись
1 2 3
для ряда и исследовать его на сходимость.
Решение.
На основании первых трех элементов определяем
n
1
закономерность и видим, что an 1 .
n
n
1
Поэтому в краткой записи ряд имеет вид: 1 .
n
n 1
Вычислим предел общего члена ряда:
n
1
lim an lim 1 e 0.
n
n
n
15

16.

Общий член ряда не стремится к 0, следовательно, по
достаточному условию расходимости, данный ряд
расходится.
Замечания
1. Предел вычислен на основании второго
замечательного предела.
2. Достаточное условие расходимости еще называют
критерием расходимости. Поэтому при решении задач
ответ можно формулировать в виде: ряд расходится по
критерию расходимости.
16

17.

Достаточные признаки сходимости
Рассмотрим некоторые достаточные признаки
сходимости для знакоположительных рядов, т.е.
рядов с неотрицательными членами
(ряд с отрицательными членами превращается в
знакоположительный путем умножения на (−1), что,
согласно свойствам рядов, не влияет на сходимость
ряда).
17

18.

Теорема 2 (признак сравнения).
Пусть даны два ряда
.
Если для всех n выполняется неравенство an ≤ bn,
то из сходимости ряда
из расходимости ряда
следует сходимость ряда
следует
расходимость ряда
(Суть признака: из сходимости большего ряда следует
сходимость меньшего ряда, а из расходимости
меньшего ряда следует расходимость большего ряда.)
18

19.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда
Решение.
Очевидно, что lim an 0. Поэтому ряд может как
n
сходиться, так и расходиться.
Рассмотрим гармонический ряд 1 , который
n 1 n
расходится (см. пример 1).
1
1
Обозначим an
, bn и сравним an и bn:
n
n
n 3
1
1
n
n : 3 1
an bn .
n
n
n 3
В этом случае теорема 2 не применима, т.к. из
расходимости большего ряда не следует расходимость
меньшего ряда. И нужно искать другой ряд для сравнения.
19

20.

1
Рассмотрим степенной ряд n , который сходится
n 1 3
(см. §1, пример 1).
Обозначим bn 1n и сравним an и bn:
3
1
1
n 1:
n an bn .
n
n 3
3
1
Следовательно, по признаку сравнения ряд n
n 1 n 3
тоже сходится.
20

21.

Теорема 3 (предельный признак сравнения).
Если
– ряды с положительными
членами и существует конечный, отличный от нуля
предел
то ряды одновременно сходятся или
расходятся.
Замечание. Здесь важно, что k 0 и k .
Если при вычислении предела возникает одно из этих
значений, значит, нужно либо подбирать другой ряд
для сравнения, либо использовать другой признак
сходимости.
21

22.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда
Решение.
lim
a
0
Очевидно, что
и an sin
при n .
n
n
2n
2n
Поэтому
для сравнения возьмем гармонический ряд
1
и используем предельный признак сравнения:
n 1
n
an
1
lim
lim sin
lim n k .
n b
n
2n n n 2n 2
n
Значение k конечное и не нулевое, поэтому, по
предельному признаку сравнения, оба ряда ведут себя
одинаково.
Т.к. гармонический ряд расходится, то и данный ряд
22
расходится.

23.

Теорема 4 (признак Даламбера).
Пусть для ряда
с положительными членами
существует предел
Тогда ряд сходится при k < 1 и расходится при k > 1.
Замечание
При k = 1 признак Даламбера ответа о сходимости не
дает. Нужно применить другой признак.
23

24.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение.
Здесь сложно оценить предел общего члена ряда, поэтому
используем достаточный признак сходимости.
nn
(n 1) n 1
, тогда an 1
.
По условию an
(n 1)!
(n 2)!
Воспользуемся признаком Даламбера:
(n 1) n 1
(n 1) n (n 1) (n 1)!
an 1
nn
lim
lim
lim
n
n a
n
(n 2)! n
n
(n 2)! (n 1)! n
(n 2)! 1 2 3 ... ( n 1) ( n 2) ( n 1)! ( n 2)
n
n
(n 1) (n 1) (n 1)!
1 (n 1)
lim
1
lim
e 1.
n
n
n
(n 1)! (n 2)
n
n (n 2)
е
1
Следовательно, по признаку Даламбера, ряд расходится.
24

25.

Теорема 5 (радикальный признак Коши).
Пусть для ряда
с положительными членами
существует предел
Тогда ряд сходится при k < 1 и расходится при k > 1.
Замечание
Как и в случае признака Даламбера, данный признак
при k = 1 ответа о сходимости не дает.
25

26.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда
Решение.
Исследуем по радикальному признаку Коши:
n
2
2
n
lim
0 1.
lim an lim n
n
n n 1
n
n ( n 1)
По радикальному признаку Коши, данный ряд сходится.
26

27.

Теорема 6 (интегральный признак Коши).
Пусть члены знакоположительного ряда
являются значениями некоторой непрерывной
монотонно убывающей на промежутке [1; +∞)
функции f(x) так, что a1 = f(1), a2 = f(2),…, an = f(n),...
Тогда
1) если
сходится, то сходится и ряд
2) если
расходится, то и ряд
расходится.
27

28.

Пример 7. Доказать, что ряд
сходится при
> 1 и расходится при ≤ 1.
Доказательство.
Воспользуемся интегральным признаком Коши.
Составим
соответствующий несобственный интеграл I
1
рода dx и вычислим его.
1
x
Если 1, то
1
b
1 b
1
x
dx
lim
x
dx
lim
b
b 1
x
1
1
1
lim (b 1 1)
1 b
Таким образом, интеграл сходится при > 1 и
расходится при < 1.
28

29.

Рассмотрим случай когда = 1:
1
b
b
1
1
dx lim dx lim ln x lim ln b
1
b x
b
b
x
1
интеграл расходится.
Согласно интегральному признаку Коши, из сходимости
интеграла следует сходимость ряда, а из расходимости –
расходимость ряда.
Поэтому ряд сходится при > 1 и расходится при ≤ 1.
Замечание.
Ряд вида
называют обобщенным гармоническим
рядом и часто используют в признаках сравнения.
29

30.

Задание для самоконтроля
Исследовать сходимость ряда
,
используя интегральный признак Коши.
30