Обобщающие характеристики статистической совокупности

1. Обобщающие Характеристики Статистической Совокупности.

2. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Средняя
–
это
обобщающая
характеристика
выборочной
совокупности, исчисляемая для
однородных
статистических
совокупностей,
которая
имеет
двойственный характер.

3.

Для данной совокупности средняя
величина
является
конкретной
величиной,
но
в
отношении
индивидуальных значений признаков
средняя
является
величиной
абстрактной.
Средние бывают двух видов:
1. Средние объема
2. Структурные средние.

4. Формула степенной средней,

Служит базой для исчисления всех
средних объемов.
x
x f
f
z
1
z
i
i
Формула конкретной средней
зависит от показателя степени Z.

5. Формулы исчисления некоторых средних объема:

Вид средней
Z
гармоническая
-1
геометрическая
0
арифметическая 1
Формулы средней
простых
взвешенных
_
x
_
x
n
_
x
n
1
x
x1 x2 xn
x
n
M
x
M
x
_
_
x
_
x
f
(M x f )
f 1 f 2 fn
xn
x1 x2
x f
f

6. Средняя гармоническая

применяется в тех случаях, когда
в
ряду
распределения
представлены
не
отдельно
варианты, а их произведения.

7. Средняя геометрическая

применяется в рядах динамики
для
расчетов
среднего
коэффициента
роста
и
прироста.

8. Средняя арифметическая простая

применяется в двух случаях:
- если известен ряд не сгруппированных
данных, в которых число наблюдений
равно числу элементов.
- если имеется вариационный ряд, в
котором частоты равны между собой.

9. Средняя арифметическая взвешенная

применяется
если
в
представленном вариационном
ряду частоты не равны между
собой.

10. ПРИМЕР 1

Определите средний стаж работников предприятия,если
известно
Стаж (х)
Число работников (f)
2
3
4
5
6
3
2
4
1
3
13

11.

_ xf 2 3 3 2 4 4 6 3 5 1
3,9л
x
13
f

12. ПРИМЕР 2

Определите среднюю процентную ставку по каждому виду
кредита по следующим данным:
№
бан
ка
1
2
Краткосрочный кредит
Долгосрочный кредит
Средняя
процентная
ставка(х)
Сумма
кредита (f)
Средняя
процентная
ставка(x)
Доход банка
(M)
40
50
400
600
18
15
27
45
Доход=процент*сумму кредита. Процент=доход/сумму кредита.
Если неизвестен числитель в формуле соотношений исходной
средней, то расчет средней производится по арифметической
взвешенной. Если неизвестен знаменатель,то средняя
рассчитывается по средней гармонической взвешенной.

13.

_
xf
x кр.кредит f
_
x дол.кредит
40 400 50 600
46%
400 600
27 45
M
16%
M
27 45
X
18 15

14. ПРИМЕР 3

Определите среднюю внешнеторговую цену товара А, по
данным
Страна Внешнеторговая
Стоимость
импортер цена,тыс.долл. экспорта,тыс.долл. (М)
(х)
Китай
10,2
7000
США
15,4
1900
Турция
7,8
970

15.

7000 1900 970
M
x M 7000 1900 970 10,56
x
10,2 15,4 7,8

16. Расчет средних величин в интервальных рядах распределения.

Рассчитать по имеющимся данным средний объем полученного
кредита
предприятиями
отрасли,моду
медиану,
дециль,коэффициент дифференциации, все показатели вариаций.
Стоимость
импортных
автомобилей,
тыс.$.
Число
автомобилей
f
X’
интервалы
X’
1-3
2
2
3-5
3
5-7
_
x x
_
x x f
2
_
x x
2
_
x x f
4
5,16
10,32
26,62
53,24
4
12
3,16
9,48
9,98
29,94
21
6
126
1,16
24,36
1,34
28,14
7-9
12
8
96
0,84
10,08
0,70
8,4
9 и свыше
12
10
120
2,84
34,08
,8,06
96,72
x
50
358
88,32
216,44

17.

Стоимость
импортных
автомобилей,
тыс.$.
Число
автомобилей
f
x
1-3
2
3-5
3
5-7
21
7-9
12
9 и свыше
12
50

18. Продолжение таблицы

Стоимость
импортных
автомобилей,
тыс.$.
x
Число
автомобилей
f
X’
интервалы
1-3
2
3-5
x A x A 2 x A 2
f
f
i
i
i
x A
x A
i
2
-4
-2
-4
4
8
3
4
-2
-1
-3
1
3
5-7
21
6
0
0
0
0
0
7-9
12
8
2
1
12
1
12
9 и свыше
12
10
4
2
24
4
48
50
29
71

19. Расчет средних величин в интервальных рядах распределения.

Для
познания
статистической
совокупности
применяются
следующие структурные средние:
- мода;
- медиана;
- квартель;
- квантель;
- дециль;
- продциль.

20. Мода

это значение признака, которое
чаще всего встречается в
ряду распределения.
Используется в торговле. В
интервальном
ряду
распределения
мода
рассчитывается
по
следующей формуле:

21.

M
O
xMo i Mo
f
2
f
Mo
Mo
f
f
Mo 1
Mo 1
f
,
Mo 1
где X mo – нижняя граница модального
интервала;
i Mo – величина модального интервала;
f Mo - модальная максимальная частота;
f Mo-1 – частота, предшествующая
модальной;
f Mo+1 – частота, следующая за модальной.
Мо=5+(7-5)*(21-3)/(2*21+3-12)=6,36 тыс.$
Вывод:чаще всего встречаются автомобили со
стоимостью 6,36 тыс.$

22. Медиана

средняя
обобщающая
характеристика, которая делит
всю совокупность на две равные
части, причем первая часть
должна иметь значения больше,
чем средний вариант, а другая
меньше.
В
интервальном
ряду
распределения
медиана
рассчитывается по специальной
формуле:

23.

M
е
x
Me
i
Me
f
2
f
S
Me 1
,
Me
где X Me – нижняя граница медиального
интервала;
i Me – величина медиального интервала;
f Me – медиальная частота, которая находится
там, где есть половина всех частот;
S Me-1 = сумма накопленных частот до
медиальной частоты.
Ме=5+2(50/2-92+3))/21=6,9 тыс.$
Вывод:половина автомобилей имеет стоимость 6,9
тыс.$
,а другая половина больше.

24. Дециль

средняя обобщающая характеристика,
которая делит всю совокупность на
10 разных частей.
Нижний дециль показывает средний
признак для 10 % минимальных
значений. Частота нижнего дециля
будет находиться там, где будет
находиться 10% частот. Частота
верхнего дециля будет находиться
там, где будет находиться 9/10 всей
суммы частот.

25. Производится расчет нижнего и верхнего дециля.

Нижний дециль = d1 и рассчитывается по
формуле:
f
d
1
x
10
i
d1
d1
f
S d1
.
d2
Верхний дециль = d9 и рассчитывается по
формуле:
9 f
d9
xd 9 i d 9
10
f
S d9
d9
.

26.

Децильный коэффициент
дифференциации
K
K
d
d
d0
d1
10,16
2,03 раза
5

27. Показатели вариации

Для изучения строения статистической
совокупности, для оценки ее однородности
и расчетов насколько точной является
представленная
средняя
величина,
рассчитывают показатели вариации.
Показатели
вариации
характеризуются
абсолютными, относительными и средними
величинами.

28. Расчет показателей вариации

Наименование
показателя
Для
несгруппированных
данных
R=max-min
Размах вариаций
Среднее линейное
отклонение
Дисперсия
Среднее
квадратическое
отклонение
Коэффициент
вариации
Для
сгруппированных
данных
x x
d
d
n
x x
2
2
2
2
x
x
x x f
f
2
x
x
f
2
n
n
x x f
f
x
100%
f

29. Размах вариаций

Это разница между максимальным и
минимальным показателями.
R=max-min
R=10-2=8 тыс. долларов

30. Среднее линейное отклонение

Применяется в экономических расчетах для
характеристики территориальных и региональных
различий и показывает насколько каждый признак
отклоняется от средней величины.
x x f
d
d 88,32/50 1,76
f
– на эту сумму в среднем отличается каждый
признак.

31. Дисперсия

Более объективно отражает меру вариаций
в статистике на практике.
x x
f
2
2
f
216,44/50 4,33 ттыс$
2

32. Среднее квадратическое отклонение

Является мерилом надежности средней.
Чем меньше среднее квадратическое
отклонение, тем точнее среднее
представляет собой всю статистическую
совокупность.
2
2,08 ттыс$

33. Коэффициент вариации

Относительный показатель, который
характеризует вариацию.
Если 10% , то колеблемость показателя
слабая, от 10% до 30% - умеренная, >30% высокая.
x
100%
2,08/7,16 *100% 29,1%

34.

При расчете дисперсии по интервальному ряду
распределения с равными интервалами вычисления
можно производить по способу расчета от условного
0 или способу моментов по следующим формулам:
X A 2
(
) f
i
2
i 2 ( X A),
f
i – величина интервала
А – любое число в ряду распределения, которое как
правило находится или в середине ряда или имеет
наибольшую частоту.

35.

Расчет дисперсии по способу моментов
проводится по следующей формуле:
i (m2 m1 ),
2
2
2
X A
( i ) f
m1
f
где
X A 2
( i ) f
m2
f
m1 29/50 0,58
m2 71/50 1,42
2
2
1
,
42
2
(7,16 6) 4,33
2 (1,42 0,58 ) 4,33
2
2
2

36. Общая дисперсия

Показывает изменчивость признака,
вызванную за счет группировочного
признака и дисперсии, возникающие в
каждой отдельной группе

37. Межгрупповая дисперсия

Обуславливает вариацию результативного
признака за счет группировочного и
рассчитывают по следующей формуле:
2
2
2
x
x
i 0
n
2
x
x
i 0 f
f
где
,
- среднее, исчисленное в каждой группе
X 0 - среднее, исчисленной для всей
статистической совокупности
Xi

38. Среднее из групповых дисперсий

Характеризует случайную вариацию в
каждой отдельной группе и
рассчитывается по следующей формуле:
2
2
i fi
где
i - частная или групповая дисперсия,
которая рассчитывается:
i
2
fi
,
2
(
X
X
)
i i
n

39. Правило сложения дисперсий

По правилу сложения дисперсий общая
дисперсия представляет собой сумму из
межгрупповой и средней из групповых
дисперсий:
0
2
2
2

40. Эмпирическое корреляционное отношение

Для характеристики тесноты связи между
группировочными и результативными признаками
применяется эмпирическое корреляционное
отношение, которое рассчитывается:
2
2
0
Если показатель тесноты связи находится в пределах
от 0,1 до 0,3, то связь слабая; 0,3-0,5 – умеренная;
от 0,5 до 0,7 – заметная; 0,7–0,9 – тесная; 0,9–0,99 –
весьма тесная.

41. Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации – показывает
долю межгрупповой дисперсии в общей
дисперсии результативного признака и
характеризует силу влияния
группировочного признака на образование
общей вариации. Это эмпирическое
корреляционное отношение в квадрате:
2
0
2
2

42. Пример 4: Определите тесноту связи между формой собственности банка и размером его капитала, рассчитав эмпирическое

корреляционное
отношение и коэффициент детерминации по следующим данным:
Акционерные банки
банк
Собственный
капитал
1
2
3
4
5
100
150
80
190
230
x x( x x )
50
0
70
40
80
2500
0
4900
1600
6400
Частные банки
2 банк Собственный
капитал
1
2
3
4
5
80
95
150
60
40
x x ( x x )2
5
10
65
25
45
25
100
4225
625
2025

43. Определите тесноту связи между территориальным расположением и количеством таможенных постов, рассчитав эмпирическое

корреляционное отношение и коэффициент детерминации по
следующим данным:
Находкинская таможня
банк
Собстве
нный
капитал
1
2
3
4
5
100
150
80
190
230
50
0
70
40
80
2500
0
4900
1600
6400
Владивостокская
таможня
банк
Собстве
нный
капитал
1
2
3
4
5
80
95
150
60
40
5
10
65
25
45
25
100
4225
625
2025

44. Расчеты:

2
2
0
2
2
x
x
i 0 f
f
425
100 150 80 190 230
xаб
150 xчб
5
5
2
2
(150 117,5) 5 (85 117,5) 5
2
1056,25
10
2
fi
( X i X i )2
i
2
2
i
85 x0
150 85
117,5
2
f
а
2
i
n
3080 1400
7000
2
2
15400
2240
1400
3080 ч
2
5
5
0 2 2 2 1056,25 2240 3296,25
1056,25
0,32
3296,25
Коэффициент детерминации – это эмпирическое корреляционное отношение в квадрате:
Показывает, что на 12% вариация капитала обусловлена различиями в форме собственности и
на 88% зависит от влияния прочих факторов.
2 0,322 0,12

45.

При расчете дисперсии качественных признаков если имеются 2
взаимоисключающих варианта, применяется дисперсия
альтернативного признака.
Если присутствующий альтернативный признак обозначить 1, а
его отсутствие 0 и принять, что p – это доля единиц, у которых
данный признак присутствует в статистической совокупности, а
q – это доля единиц, у которых данный признак отсутствует, то
тогда расчет средней и дисперсий альтернативных признаков
будет производится следующим образом:
x
1
0
f
P
q
x
x f 1 p 0 q p
p q
f
( x x ) f (1 p)
f
2
2
2
p (0 p ) 2 q
pq
p q