Similar presentations:
Средние величины и показатели вариации
1. ТЕМА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
5.1. Средняя величина: понятие и виды5.2.Средняя арифметическая: способы
расчета и ее свойства
5.3. Способы расчета средней гармонической
5.4. Структурные средние: мода и медиана
5.5. Показатели вариации
2. Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу
совокупности вопределенных условиях места и
времени.
3. Виды средних величин:
Степенные средние (к нимотносятся средняя арифметическая,
средняя гармоническая, средняя
квадратическая, средняя
геометрическая);
Структурные средние (мода и
медиана).
4. Степенные средние рассчитываются по формуле
хСтепенные средние рассчитываются
по формуле
х R
x
n
R
где x − индивидуальное значение усредняемого
признака;
R − показатель степени средней;
n − число признаков (единичной совокупности);
∑ − сумма.
5. Виды простых средних:
ЗначениеR
-1
0
Формула
х
n
1
x
х n x1 x2 x3 xn n Пх
Наименование простой
средней
простая гармоническая
простая геометрическая
где П - произведение
1
х
х
n
простая арифметическая
2
x 2
х
n
простая квадратическая
6. Средняя арифметическая – это частное от деления суммы индивидуальных значений признака всех единиц совокупности на число единиц
совокупности.7. Виды средней гармонической:
2. Средняя гармоническая взвешеннаярассчитывается по формуле:
w1 w2 w3 ... wn
w
х
wn
w
w1 w2 w3
...
x
x1 x 2 x3
xn
где w(xf) – весь объем явления.
8. Средняя арифметическая простая применяется в двух случаях:
когда каждая варианта встречаетсятолько один раз в ряду
распределения;
когда все частоты равны между
собой.
9. Средняя арифметическая взвешенная используется, когда частоты не равны между собой:
х1 f1 х2 f 2 х3 f 3 ... хn f n xfх
f1 f 2 f 3 ... f n
f
где f1, f2, f3, …fn − частоты или веса (числа,
показывающие, сколько раз встречаются
индивидуальные значения признака).
10. Свойства средней арифметической:
1. Средняя величина от постоянной величиныравна ей самой:
Ā = A.
11. Свойства средней арифметической:
2. Произведение средней величины на суммучастот
равно
сумме
произведения
вариантов на их частоты:
х f x f
12. Свойства средней арифметической:
3. Если каждую варианту увеличить илиуменьшить на одну и ту же величину, то
средняя
величина
увеличится
или
уменьшится на эту же величину:
( x A) f
x A
f
13. Свойства средней арифметической:
4. Если каждую варианту увеличить илиуменьшить в одно и то же число раз, то
средняя
величина
увеличится
или
уменьшится в то же число раз:
( x A) f
x A
f
14. Свойства средней арифметической:
5. Есливсе
частоты
увеличить
или
уменьшить в одинаковое число раз, средняя
величина не изменится:
x ( A f ) А х f x f
x
А f
A f
f
15. Свойства средней арифметической:
6. Средняя величина суммы равна суммесредних величин:
х у x у
16. Свойства средней арифметической:
7. Сумма отклонений всех значений признакаот средней величины рана нулю.
17. Виды средней гармонической:
1. Средняя гармоническая простаярассчитывается по формуле:
n
х
1
x
18. Для интервального ряда с равными интервалами мода рассчитывается по формуле:
f M f M 1Мо х0 iM
( f M f M 1 ) ( f M f M 1 )
где x0 − начальная (нижняя) граница модального
интервала;
iM, iM-1, iM+1 − величина соответственно модального,
до- и послемодального интервалов
fM, fM-1, fM+1 − частота модального, до- и
послемодального интервалов соответственно.
19. Мода (Mo) − наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности.
20. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:
х1 х2 х3 ... хn xх
n
n
где x1, x2, x3, …xn − индивидуальные значения
признака (варианты);
n − число единиц совокупности (вариант).
21. Модальный интервал – это интервал, который имеет наибольшую частоту.
22. Медиана (Me) – это значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные части по
числу единиц: одначасть имеет значения признака
меньше медианы, а другая
больше медианы.
23. Ранжированный ряд – это расположение значений признака в порядке возрастания или убывания.
24. В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается один раз, а число вариант нечетное номер медианы определяется
по формуле:N Mе
n 1
2
где n – число членов ряда.
25. В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается несколько раз, номер медианы определяется по формуле:
N Mеf
2
26. Для интервального ряда медиана рассчитывается по формуле:
fS Mе 1
2
Ме х0 i Me
f Mе
где x0 − нижняя граница медианного интервала;
iMe − величина медианного интервала;
∑f −общее число единиц совокупности;
S Me-1 − накопленная частота до медианного
интервала;
fMe − частота медианного интервала.
27. Медианный интервал – это такой интервал, в котором его накопленная частота равна или превышает полусумму всех частот ряда.
28. Вариация признака – это различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.
29. Показатели вариации подразделяются на:
1) Абсолютные:размах вариации;
среднее линейное отклонение;
среднее квадратическое отклонение;
дисперсия.
2) Относительные:
коэффициент осцилляции;
коэффициент вариации;
относительное линейное отклонение.
30. Размах вариации (R) показывает, на какую величину изменяется значение признака:
R xmax xminгде xmin – максимальное значение признака;
xmax – минимальное значение признака.
31. Среднее линейное отклонение определяется:
dd
x x
n
– простое
x x f
f
– взвешенное
32. Дисперсия (σ2) определяется:
( х х )n
2
2
( х х ) f
f
2
2
– простая
– взвешенная
33. Среднее квадратическое отклонение (σ) определяется:
( х х )n
2
( х х ) f
f
2
– простое
– взвешенное
34.
35.
36.
37.
38. При достаточно большой численности совокупности (200 наблюдений) и нормальном распределении единиц совокупности число групп с
равнымиинтервалами можно определить по
формуле Стерджесса:
n 1 3,322 lg N
где N – число единиц совокупности.