Средние величины

1. Средние величины

2. План лекции:

5.1. Сущность и значение средней величины
5.2. Виды средних величин
5.3. Средняя арифметическая
5.4. Средняя гармоническая
5.5. Средняя геометрическая
5.6. Средняя квадратическая
5.7. Степенные средние
5.8. Структурные средние (мода и медиана)

3. Средняя величина

представляет собой обобщенную
количественную характеристику
признака в статистической
совокупности в конкретных условиях
места и времени.

4. Категорию средней можно раскрыть через понятие ее определяющего свойства.

Эту величину можно представить в виде
функции:
f ( X1, X2, ....., Xn )
Если в приведенной выше функции все
величины Х1, Х2.......Хп заменить их
средней величиной Х, то значение этой
функции должно остаться прежним:
f ( X1, X2, ...... Хn ) =f ( X, X, ......, X)

5. исходное соотношение средней (ИСС)

На практике определить среднюю во многих
случаях можно через исходное
соотношение средней (ИСС) или ее
логическую формулу:
ИСС= Суммарное значение или объем усредняемого признака
Число единиц или объем совокупности.

6. формы средней величины:

средняя арифметическая,
средняя гармоническая,
средняя геометрическая,
средняя квадратическая, кубическая и.т.д.
Перечисленные средние объединяются в
общей формуле средней степенной (при
различной величине k):
__
X
K
K
x
fi
f
i

7. Средняя арифметическая простая (невзвешенная).

Эта форма средней используется в
тех случаях, когда расчет
осуществляется по
несгруппированым данным.

8.

Торговый центр
Товарооборот (млн.сум)
А
Б
В
Г
Д
130
142
125
164
127
Для того, чтобы определить средней месячный товарооборот в
расчете на один центр, необходимо воспользоваться следующим
исходным соотношением:
ИСС=
Общий объем товарооборота ( млн. сум.)
Число торговых центров

9. Запишем формулу данной средней

X 1 X 2 ... Xn X i
X
n
n
С учетом имеющихся данных получим:
130 142 125 164 127
X
137,6 млн. сум
5
__

10. Рассмотрим следующий пример:Продажа акций АО “Дока-хлеб” на торгах фондовой биржы ( данные условные)

Сделка
1
2
3
Количество
проданных
акции, шт
500
300
1100
Курс продажи
1080
1050
1145

11.

ИСС= Общая сумма сделок ( сум )
Количество проданных акций ( шт)
___
X
xf
f
i i
i
1080 500 1050 300 1145 1100 2114500
X
1112.9
500 300 1100
1900
___

12. Расчет средней в интервальном ряду

Возраст (лет)
Число менеджеров (чел).
до 25
25-30
30-40
40-50
50-60
60-и более
7
13
38
42
16
5
Итого
121

13.

___
X
xf
f
i i
i
___
X
22.5 7 27.5 13 35 38 45 42 55 16 65 5
41
7 13 38 42 16 5

14. Свойства средней арифметической

1. Произведение средней на сумму
частот равно сумме произведений
отдельных вариантов на
соответствующим им частоты:
___
X fi X i fi

15.

2. Сумма отклонений
индивидуальных значений
признака от средней
арифметической равна нулю:
( X
___
i
X ) f i 0

16.

Сумма квадратов отклонений
индивидуальных значений признака от
средней арифметической меньше, чем
сумма квадратов их отклонений от любой
другой произвольной величины С:
2
___
___
___
2
2
(
X
C
)
f
(
X
X
C
)
f
(
X
X
)
(
X
C
)
i
i
i
i
fi
___
___
___
___
___
( X i X ) 2 2( X i X )( X C ) ( X C ) 2 f i ( X i X ) 2 f i
___
___
___
2
(
X
C
)
(
X
X
)
f
(
X
C
)
fi
i
+2
i

17.

Следовательно сумма квадратов отклонений
индивидуальных значений признака от
произвольной величины С больше суммы
квадратов их отклонений от своей средней на
величину
___
___
( X C)
2
fi или( X C )
2
f
i

18.

Если все усредняемые варианты уменьшить
или увеличить на постоянное число, А, то
средняя арифметическая соответственно
уменьшится или увеличится на ту же
величину:
( X A) f
f
i
i
i
X f Af
f f
i i
i
i
i
___
X A

19.

Если все варианты значений признака
уменьшит или увеличить в А раз, то средняя
также соответственно увеличится или
уменьшится А раз:
Xi
1
A fi A X i fi 1 ___
X
A
fi
fi

20.

все веса уменьшить или
увеличить в А раз, то средняя
арифметическая от этого не
изменится:
Если
fi
1
X i A A X i fi ___
X
fi
1
fi
A
A

21. Средняя гармоническая взвешенная.

Данная форма используется, когда
известен числитель исходного
соотношения средней, но неизвестен
его, знаменатель.
___
X
X
i
i
i

22. Средняя гармоническая невзвешенная

Эта форма средней, используемая
значительно реже, имеет следующий
вид:
___
X
n
1
Xi

23. Средняя геометрическая.

Еще одной формулой, по которой
может осуществляться расчет
среднего показателя, является
средняя геометрическая:
___
X
X 1 X 2 X 3 .... X K
K
X X 1m1 X 2m 2 X
m
___
m3
3
K
X
... X Kmi m X imi
i

24. Средняя квадратическая.

В основе вычислений ряда сводных
статистических показателей лежит
средняя квадратическая.
__
X
___
X
2
X
i
n
2
X
i fi
f
i

25. Структурные средние

Мода представляет собой значение
изучаемого признака, повторяющееся
и наибольшей частотой.
Медианой называется значение
признака, приходящееся на середину
ранжированной (упорядоченной)
совокупности.

26. Главное свойство медианы

заключается в том, что сумма
абсолютных отклонений значений
признака от медианы меньше, чем от
любой другой величины:
X
i
Me min

27. Определение моды и медианы по интервальным рядам

Мода
Mo Xo I
( f Mo f Mo 1 )
( f Mo f Mo 1 ) ( f Mo f Mo 1 )
где Хо — нижняя граница модального интервала (модальным
наывается интервал, имеющий наибольшую частоту)
iвеличина модального интервала:
fMo частота модального интервала,
fMo1 частота интервала, предществующего модальному:
fMo+1частота интервала, следующего за модальным.

28.

Медиана.
1
f i S Me 1
Ме X o I 2
f Me
где Хо нижняя граница медианного интервала (медианным
называется первый интервал, накопленная частота которого превышает
половину общей суммы частот);
Iвеличина медианного интервала:
Sme-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
fme - частота медианного интервала.