Теорема о движении центра масс

1. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
ДИНАМИКА

2. Цель лекции

Ознакомиться с теоремой о движении центра масс и
примерами ее практического применения.
План лекции
Центр масс
Теорема о движении центра масс
Значение теоремы о движении центра масс
Следствия из теоремы
Закон сохранения движения центра масс
2
Цель лекции

3. ЦЕНТР МАСС

Центром масс механической системы
называется геометрическая точка С,
координаты которой определяются
формулами:
1
xC
M
m x
k
1
yC
M
k
m y
k
или
z
rC
x
3
Центр масс
zC
k
С
1
M
m z
1
rC
M
k k
mk rk
M - масса системы
y
M mk

4. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Произведение массы системы на
ускорение ее центра масс равно
геометрической сумме всех действующих
на систему внешних сил
4
Теорема о движении
центра масс

5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

• Запишем
дифф.уравнения движения системы, состоящей из n
материальных точек
1
m1
mn
m2
• Сложим
e i
m1a1 F1 F1
e i
m2 a2 F2 F2
e i
mn an Fn Fn
почленно их левые и правые части
e
i
mk ak Fk Fk
• Преобразуем
левую часть равенства, используя формулу для
радиус-вектора центра масс системы
5
Теорема о движении
центра масс
1
rC
M
mk rk
mk rk MrC

6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

• Возьмем
вторую производную по времени от обеих частей
этого равенства
2
2
d rk
d rC
mk ak MaC
mk dt 2 M dt 2 или
aC - ускорение масс системы
i
• Учитывая, что сумма внутренних сил системы
Fk 0
Получим уравнение, выражающее
теорему о движении масс системы
e
MaC Fk
• Проектируя
обе части равенства на координатные
оси, получим дифференциальные уравнения
движения центра масс в проекциях на оси декартовой
системы координат
M x C Fkxe
6
Теорема о движении
центра масс
M y C Fkye
M z C Fkze
• Теорема
доказана

7. ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Центр масс системы движется как
материальная точка, масса которой равна массе
всей системы и к которой приложены все
внешние силы, действующие на систему
Система = материальная точка
поступательное
движение тела
7
Значение теоремы о движении
центра масс
маленький
размер тела

8. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ

Одними внутренними силами нельзя
изменить характер движения центра масс
системы
Пара сил, приложенная к твердому телу, не
может изменить движение его центра масс
(она может вызвать только вращение тела)
8
Следствия из теоремы

9. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС

1. Если сумма всех внешних сил,
действующих на систему, равна нулю, то
центр масс этой системы движется с
постоянной по модулю и направлению
скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно
e
Fk 0
9
Закон сохранения движения
центра масс
aC 0 или C const

10. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС

2. Если сумма проекций всех действующих
внешних сил на какую-нибудь ось равна
нулю, то проекция скорости центра масс
системы на эту ось есть величина
постоянная
F
10
e
kx
Закон сохранения движения
центра масс
0
x C 0 или x C Cx const

11. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

m1
m2
m
Пренебрегая сопротивлением
воды, определить, куда и
насколько переместится
лодка, если люди поменяются
местами.
m - масса лодки
m1 - масса первого человека
m2 - масса второго человека
l - расстояние между ними
l
- расстояние от человека
2
11
Теорема о движении
центра масс
до центра лодки
x ?

12. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

F
y
до
m1
O
x
m
x
после
m1
xCдо
m2
O
C
x
l
12
Теорема о движении
центра масс
xCпосле
kx
0 Cx 0
xC const xC1 xC2
m2
C
e
x
1
xC
M
m x
k
k
l
l
m 0 m1 m2
2
2
m m1 m2
l
l
m x m1 x m2 x
2
2
m m1 m2
l m1 m2
x
m m1 m2