Понятие определённого интеграла

1. Понятие определённого интеграла

2. Определенным интегралом

от непрерывной функции f(x) на
конечном отрезке [a, b] (где
)
называется приращение какой-нибудь
её первообразной на этом отрезке.

3. Числа 

a и b называются
соответственно нижним и верхним пределами
интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком
интегрирования.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь
первообразная функция для f(x), то, согласно
определению,
(38)
Равенство (38) называется формулой НьютонаЛейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают
так:
Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем
записывать и так:
(39)

4. Таким образом,

для вычисления определённого интеграла
необходимо найти любую первообразную
подынтегральной функции, т.е. сначала следует
найти неопределённый интеграл. Постоянная С из
последующих вычислений исключается. Затем
применяется формула Ньютона-Лейбница: в
первообразную функцию подставляется значение
верхнего предела b, далее - значение нижнего
предела a и вычисляется разность
F(b)- F(a). Полученное число и будет определённым
интегралом.
При a = b по определению принимается

5. Сэр Исаа́к Нью́тон

английский физик, математик, механик и аст
роном, один из создателей классической
физики. Автор фундаментального труда
«Математические начала натуральной
философии», в котором он изложил закон
всемирного тяготения и три закона механики,
ставшие основой классической механики.
Разработал дифференциальное и
интегральное исчисления, теорию цвета,
заложил основы современной физической
оптики, создал многие другие
математические и физические теории.
Первые математические открытия Ньютон
сделал ещё в студенческие годы:
классификация алгебраических
кривых 3-го порядка
и биномиальное разложение
произвольной (не обязательно целой)
степени.

6. Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц

саксонский философ, логик, математик, механик, физик, юрист,
историк, дипломат, изобретатель и языковед . Основатель и
первый президент Берлинской Академии наук, иностранный
член Французской Академии наук.
Важнейшие научные достижения:
Лейбниц, независимо от Ньютона, создал математический
анализ — дифференциальное и интегральное исчисления,
основанные на бесконечно малых.
Лейбниц создал комбинаторику как науку.
Он заложил основы математической логики.
Описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1.
В механике ввёл понятие «живой силы» (прообраз современного
понятия кинетической энергии) и сформулировал закон
сохранения энергии.
В психологии выдвинул понятие бессознательно «малых
перцепций» и развил учение о бессознательной психической
жизни.

7. Теорема существования определённого интеграла.

Если функция f(x) непрерывна на
отрезке [a,b], то она интегрируема
по этому отрезку.
Для того чтобы определенный
интеграл вообще существовал,
достаточно чтобы
подынтегральная функция
была непрерывной на отрезке
интегрирования.

8. Свойства определенных интегралов:

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами
интегрирования равен нулю,
Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от
обозначения переменной интегрирования,
Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак
определённого интеграла,
Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы
конечного числа функций равен алгебраической сумме
определённых интегралов от этих функций,
Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то
определённый интеграл по всему отрезку равен сумме
определённых интегралов по его частям, т.е. если,
то
Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования
абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а
изменяется лишь его знак,
Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен
произведению длины отрезка интегрирования на значение
подынтегральной функции в некоторой точке внутри его,

9. Теорема 8

Если верхний предел интегрирования больше нижнего и
подынтегральная функция неотрицательна
(положительна), то и определённый интеграл
неотрицателен (положителен), т.е. если
Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше
нижнего и функции и непрерывны, то неравенство
можно почленно интегрировать,

10. Метод подстановки

. Для упрощения вычисления интеграла часто удобно
выполнить замену переменной. Переход от переменной
интегрирования к новой переменной заменой
(подстановкой) называется методом подстановки
(заменой переменной) в неопределенном интеграле.
Замена переменной в неопределенном интеграле
производится с помощью подстановок двух видов: а)
где
– монотонная, дифференцируемая функция;
б)
– новая переменная.
В первом случае формула замены переменной имеет вид:
Во втором случае: