Случайные процессы общего вида

1. Случайные процессы общего вида

1)
2)
Случайные процессы общего вида
: T E R
T [0; )
X t с п.р. f x; t
или ф.р .
3)
F x; t Р X t x
F x1 , x2 ; t1 , t2 Р X t1 x1 , X t2 x2
F x1 , x2 ,..., xk ; t1 , t 2 , ... , t k
Р X t1 x1 , X t 2 x2 , ..., X t k xk
F x; t
f x; t
x
F x1 , x2 ; t1 , t2
f x1 , x2 ; t1.t2
x1 x2
F x1 , x2 ,..., xk ; t1 , t2 , ... , tk
f x1 , x2 ,..., xk ; t1 , t2 , ... , tk
x1 x2 ... xk

2. Основные характеристики СП

mx t M t
х f x; t dx
(1)
K x t1, t 2 M t1 m t1 t 2 m t 2
(2)
x1 mx t1 x2 mx t2 f x1, x2 ; t1.t2 dx1dx2
t D t M t m
2
x
x
m
t
f
x
;
t
dx
x
2
2
(2)
2
x t К x t , t

3. Свойства характеристик СП

С1
С2
Y t X t a t
m y t mx t a t
K y t1, t2 K x t1, t2
Y t b t X t
m y t b t mx t
K y t1,t2 b t1 b t2 K x t1,t2
С3
С4
K x t1, t 2 K x t 2 , t1
К x t1, t 2 x t1 x t 2

4. Свойства характеристик СП

t t m t
M t 0
К t1, t 2 К x t1, t 2
x
t
t
x t
*
*
M t 0
К * t1 , t 2 R x t1, t 2
x

5. Стационарность и эргодичность

Определение. Стационарность в узком смысле
f x1, x2 ,..., xk ; t1, t 2 , ..., t k
f x1, x2 ,..., xk ; t 1 , t 2 ,..., t k
f x; t f x; t f x; t f x
m x t m x
f x1, x2 ; t1, t 2 f x1, x2 ; t 2 t1 f x1 , x2 ;
K x t1,t2 K
Определение. Стационарность в широком смысле
m x t m x const
K x t1,t2 K t2 t1 K

6. Свойства к.ф. стационарного СП

Сс1
Сс2
Сс3
K 0 const Dx
K K
K K 0
K
R
Dx
2
x t K x t , t
K x t1, t 2 K x t 2 , t1
К x t1, t 2
x t1 x t 2
Нормированная
корреляционная функция
(н.к.ф.)
Значение н.к.ф. R
равно коэффициенту
корреляции между двумя сечениями СП,
разделенными временным промежутком

7. Свойства н.к.ф. стационарного СП

1
2
3
R 0 1
R R
R 1
Интервал корреляции
K
R
Dx
[ 0; 0 ]
0 R
0.27
0 1.76

8. Стационарность и эргодичность

Стационарность + Эргодичность
k
mx
T
1
k
k
х
t
dt
х f x; t dx lim
T
T
0
Среднее по
ансамблю
=
Среднее по
времени

9. Стационарность и эргодичность

Теорема. (Достаточные условия эргодичности).
Пусть
1) t CCП
2) K
Тогда
1 2
0
3) X t ~ N at , t t
mx
1 2 3
K
1T
lim х t dt
T T
0
1T
x t x t dt
lim
T T 0