Вводное занятие. Математика для физиков

1. ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ

МАТЕМАТИКА для ФИЗИКОВ
ЕГЭ. ФИЗИКА
РЕПЕТИЦИЯ ПО ФИЗИКЕ
Владимир Петрович Сафронов 2015
г. Ростов-на-Дону
звоните т. 8 928 111 7884
пишите [email protected]

2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Решение любой физической задачи сводится к решению уравнений, которое
состоит в том, что с одной стороны от знака равенства остается неизвестная
величина, а с другой — известные величины .
L
Например, дано уравнение:
a b k,
n
L, b, n, k — известные величины, имеющие числовые значения.
Надо найти неизвестную величину a.
L
Решение имеет вид:
a ( k ) / b.
n
Для наглядности преобразований, приводящих к такому результату, введем
понятие
блока.
Блок — любое выражение, которое можно заключить в скобки:
L
n a b k ,
L
n a b k
L
k
a b
L
n
k
/b a
1
1
n
В.П. Сафронов 2015. [email protected] т. 8 928 111 7884
L
k a b
n
L
a k / b.
n

3. ПРАВИЛА ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ:

1 правило переноса блоков: если между блоками только знаки «плюс» или
«минус», то при переносе из одной части уравнения в другую блок меняется знак
A B C A C B
B C A
или
A C B
2 правило переноса блоков: если между блоками стоят только знаки
«умножить» или «разделить», то блоки переносятся крест на крест.
A
C
B
D
Например,
A
C
B
D
A CB
1
D
A
C
D CB
.
B
D
1
A
или
Признаком второго правила является наличие "ПЛАЦДАРМА"
который надо создавать, если он не присутствует в явном виде, например
A B C D
В.П. Сафронов 2015. [email protected] т. 8 928 111 7884
A B C D
;
1
1
C A
D
C AD
.
B
1
B

4. АЛГОРИТМ ВЫДЕЛЕНИЯ НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (БУКВЫ).

1.Определить БЛОК С НЕИЗВЕСТНОЙ буквой так, чтобы между ОСТАЛЬНЫМИ
полученными блоками стоял только один тип знаков,
либо «плюсы» и «минусы»:
блок блок , блок блок ,
либо «умножить» и «разделить»:
блок
блок блок , блок .
2. а) Если блоки соответствуют ПЕРВОМУ ПРАВИЛУ, то переносами ДОБИТЬСЯ,
чтобы блок с неизвестной стоял
СО ЗНАКОМ (+) и в ОДИНОЧЕСТВЕ.
б) Если блоки стоят по ВТОРОМУ ПРАВИЛУ, то переносами ДОБИТЬСЯ, чтобы
неизвестный блок стоял
ВВЕРХУ и в ОДИНОЧЕСТВЕ.
ВЫДЕЛЯТЬ блок с неизвестной СЛЕДУЕТ там, ГДЕ УДОБНО, как с левой стороны
равенства, так и С ПРАВОЙ.
3. При переносе ПЕРВЫМИ ЗАПИСЫВАТЬ блоки, которые НЕ МЕНЯЮТ СВОЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ.
4. После выделения блока с неизвестной буквой, процедуру (пункты 1—4) повторять
до тех пор, пока неизвестная величина не останется в одиночестве относительно
знака равенства.
В.П. Сафронов 2015. [email protected] т. 8 928 111 7884

5. 2. ВЕКТОРЫ

ВЕКТОР — НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК.
Модуль вектора — это его длина.
A
A A 4 единицы.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
производят по правилу параллелограмма, треугольника
или с помощью проекций (см. ниже):
V1
V1
V2
V2
V
V
V V1 V2 V1 V2
V1
V V1 V2 V1 V2
V
V2
V V V12 V22
V
V1
C
V2
V V12 V22 2V1V2 cos C
В задачах по кинематике, на второй закон Ньютона (и в других случаях) мы
сталкиваемся с необходимостью решать векторные уравнения. Например, для
движения тела по наклонной плоскости второй закон Ньютона записывается так:
T mg FТР N ma .
Векторное уравнение в числах мы решить не можем. Для решения векторного
уравнения необходимо найти проекции векторов этого уравнения на оси X и Y, тогда
мы получим скалярные (числовые) уравнения, которые уже умеем решать.
В.П. Сафронов 2015. [email protected] т. 8 928 111 7884

6. ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСИ КООРДИНАТ

Y
V
VY
VY
VX — проекция вектора V
на ось ОХ.
VY — проекция вектора V
на ось ОY.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
VX
sin
cos
b – прилежащий
катет
а – противолеж.
катет
X
VX
V 2 VX2 VY2 V VX2 VY2
По определению синуса:
sin
поэтому VY V sin .
По определению косинуса:
cos
По определению тангенса:
В.П. Сафронов 2015. [email protected] т. 8 928 111 7884
a против. катет
a c sin
c
гипотенуза
b прилеж . катет
b c cos
c
гипотенуза
поэтому VX V cos .
tg
V
a sin
, поэтому Y tg .
b cos
VX

7. АЛГОРИТМ ПРОЕКЦИЙ

ЗНАК ПРОЕКЦИИ
•Если вектор "смотрит" по оси —
A
проекция положительная.
A
A
•Если вектор "смотрит" против оси —
проекция отрицательная.
AX 0
AX 0 AX 0
AX A
AX A
A1
Y
y
A3
X
X
X
A2
3. КАТЕТ? Возможные ответы: 4.
В.П. Сафронов 2015. [email protected] т. 8 928 111 7884
Если вектор лежит на оси — проекция
равна модулю вектора с найденным знаком.
АЛГОРИТМ ПРОЕКЦИЙ
1. Достроить вектор до прямоугольного треугольника
и подписать катеты x,y.
ЗАДАВАТЬ ВОПРОСЫ И ОТВЕЧАТЬ
2. ЗНАК? Возможные ответы:
x
Противолежащий
Прилежащий
•Если вектор перпендикулярен оси —
проекция равна НУЛЮ.
•Если вектор "смотрит" по оси — (+)
•Если вектор "смотрит" против оси — (–)
•Если вектор перпендикулярен оси — НоЛь.
Если вектор лежит на оси — проекция равна модулю
вектора с найденным знаком.
SIN
ФУНКЦИЯ? Возможные ответы: COS
5. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА
A1 X A1 cos , A1Y A1 sin ;
A2 X A2 , A2Y 0;
A3 X 0, A3Y A3 ;

8. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ С ПОМОЩЬЮ ПРОЕКЦИЙ

A A1 A2
Y
A1Y
A2
i
A1 X
A2 c проекциями
A2 X и A2Y
Решение.
Определим проекции вектора A :
A2
A1
j
A1 X и A1Y
Определить: Вектор A A1 A2 и его модуль A A1 A2
A1
A2Y
Дано: A1 c проекциями
AX A1 X A2 X
AY A1Y A2Y
Тогда, A iAX jAY , A AX2 AY2 .
A2 X X
i, j — направляющие единичные вектора (орты) осей X иY.
Необходимо знать
30 / 6 рад
0 0 рад
sin 0 0;
cos0 1
90 / 2 рад
sin 90 1;
cos90 0
180 рад
sin180 0;
cos180 1
1
3
sin 30 ; cos30
2
2
60 / 3 рад
3
1
; cos60
2
2
45 / 4 рад
sin 60
sin 45
В.П. Сафронов 2015. [email protected] т. 8 928 111 7884
2
2
; cos 45
2
2
tan 45 1

9. КОНЕЦ ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ

В.П. Сафронов 2015. [email protected] т. 8 928 111 7884