Линейная алгебра. Векторы

1. Линейная алгебра

Лекция 5
Векторы

2. План лекции

Понятие n-мерного вектора
Действия над векторами и их свойства
Скалярное произведение векторов
Длина вектора.
Угол между векторами.
Линейная комбинация векторов.
Линейная независимость.
2

3. Пространство n-мерных векторов.

Множество столбцов вещественных чисел высоты n:
1
2
V X ... , 1 , 2 ,.., n R
...
n
3

4. Действия над n-мерными векторами

Суммой двух векторов X и Y называется
вектор, координаты которого равны сумме
соответствующих координат исходных
векторов, то есть:
1 1 1 1
2 2 2 2
X Y ... ... ...
... ... ...
n
n n n

5. Действия над n-мерными векторами

Произведением числа и вектора X
называется вектор, координаты которого
равны соответствующим координатам
вектора, умноженным на , то есть:
1 1
2 2
X ... ...
... ...
n n

6. n-мерное координатное пространство

Множество V n-мерных векторов вместе с
введенными выше операциями сложения
векторов и умножения вектора на число
называется n-мерным координатным
пространством. Обозначение: Rn

7. Свойства операций над векторами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
X+Y=Y+X
(X+Y)+Z=X+(Y+Z)
X+0=X
X+(-X)=0
( + )X= X+ X
(X+Y)= X+ Y
( )X= ( X)
1 ∙X=X

8. Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов
называется число
1
1
2
2
X ... , Y ...
...
...
n
n
( X , Y ) 1 1 2 2 ... n n

9. Свойства скалярного произведения

1.
2.
3.
4.
(X,Y)=(Y,X)
( X,Y)= (X,Y)
(X+Y,Z)=(X,Z)+(Y,Z)
(X,X)≥0, причем (X,X)=0 тогда и только
тогда, когда X=0.

10. Длина вектора

Длиной (нормой) вектора
1
2
X ...
...
n
называется число
|| X || 1 2 ... n
2
2
2

11. Угол между векторами

Угол между векторами
1
1
2
2
X ... , Y ...
...
...
n
n
1 1 ... n n
( X ,Y )
cos( X Y )
2
2
2
2
|| X || || Y ||
1 ... n 1 ... n
Для ортогональных векторов (X,Y)=0.

12. Линейная комбинация векторов. Определение

Линейной комбинацией векторов e1 , e2, ...ek R называют
n
вектор
x 1e1 2 e2 ... k ek
при некоторых коэффициентах
, , ..., k R
1
2
12

13. Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Определение
n
e
,
e
,...
e
R
k
Совокупность векторов 1 2
называется линейно
зависимой (ЛЗС), если найдутся числа 1 , 2 , ..., k
, не равные
нулю одновременно, такие, что выполняется равенство:
R
1e1 2 e2 ... k ek O R n
В противном случае совокупность
e1 , e2 , ...ek R n
называется линейно независимой (ЛНС).
13

14. Линейная зависимость. Пример

Показать, что система столбцов
линейно зависима.
1 0 0 1
3
0 , 1 , 0 , 1 R
0 0 1 0
Действительно,
1
0
0
1 0
1 0 2 1 3 0 4 1 0
0
0
1
0 0
1 4 0
2 4 0
0
3
Очевидно, что полученная СЛУ имеет нетривиальные решения.
14

15. Критерии линейной зависимости

1. Система векторов X1,…,Xm линейно зависима тогда
и только тогда, когда хотя бы один вектор системы
линейно выражается через остальные.
2. Cистема n-мерных векторов X1,…,Xn линейно
зависима тогда и только тогда, когда
определитель, строками (столбцами) которого
являются компоненты векторов системы равен
нулю.
Следствие:
Если система содержит нулевой элемент или линейно
зависимую подсистему, то она линейно зависима.