Вычислительная механика. Аппроксимация дифференциальных операторов

1. Лекция Вычислительная механика Аппроксимация дифференциальных операторов

К.т.н., доцент каф. ВМиМ
Каменских Анна Александровна
239-15-64

2.

Обыкновенные
дифференциальные уравнения
- задачи химической кинетики,
- электрических цепей,
-движение систем взаимодействующих
материальных точек
- и другие задачи физики, химии, техники
Дифференциальные уравнения в частных
производных
- задачи математической физики,
- гидродинамики,
-акустики
-и других областей знаний.
Решение дифференциальных уравнений
аналитические
- точные – методы позволяют выразить
решение дифференциальных уравнений
через
элементарные
функции
(в
аналитическом виде);
- приближенные – методы, в которых
решение получается как предел некоторой
последовательности,
члены
которой
выражаются через элементарные функции.
численные
-численные методы не позволяют найти
точное решение дифференциальных
уравнений в аналитической форме. С
их помощью получается таблица
приближенных
(иногда
точных)
значений
искомого
решения
в
некоторых точках рассматриваемой
области решения, именуемых сеткой. В
силу этого численные методы называют
иначе разностными методами или
методами сеток.

3.

Понятие разностной схемы
Суть метода сеток заключается в покрытии
расчетной области (x,t) сеткой из I N точек
(см. рис), что определит шаги по времени и
пространству.
Сеткой определяются узлы, в которых
будет осуществляться поиск решения.
Далее
необходимо
заменить
дифференциальные уравнения в частных
производных (уравнение диффузии, уравнение
теплопроводности и др.) аппроксимирующими
их уравнениями в конечных разностях,
выписав
соответствующие
разностные
уравнения для каждого (i,n)-гo узла сетки.
Совокупность разностных уравнений, построенных на
Lu x f x , x V , сетке и аппроксимирующих основное дифференциальное
уравнение на V и краевые условия на Г, называется
lu x x , x . разностной схемой.
Lh uh f h ,
lh uh h .
Lh ~ L
lh ~ l u h ~ u f h
h
конечные разности на сетке
Таким образом, вместо поиска непрерывных зависимостей u(x) реализация разностной
схемы позволяет отыскать значения функции в узлах сетки. Ее поведение в промежутках
между узлами может быть получено при помощи построения какой-либо интерполяции.

4.

Построение разностной схемы
xi ih, i 1, N , h l N
Конечно-разностная схема называется устойчивой, если малым
изменениям входных данных соответствует малое изменение
решения.
Если р.с. устойчива и аппроксимирует исходную краевую
задачу с порядком n, то она сходиться, причем скорость
сходимости равна порядку аппроксимации.
u uh 0
2
E
d ux
dx
2
g x 0
u x x 0 0,
du x
0.
E
dx
x l
1
1
0
A 0
0
0
0
u0
u1
u2
u
u 3
u
uN 2
N 1
uN
0 0 0 0
2 1
0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
2
h
g1
E
2
h
g2
E
2
h
F E g3
2
0 0 0 h g
0 0 0 E N 2
0 0 0 h2
g N 1
0 0 0
E0
2 1 0
1 2 1
0 1 1
h 0
2
1
1
u
u
u
gi ,
i 1, N 1,
h 2 i 1 h 2 i h 2 i 1
E
u1 0,
конечно-разностная схема
u
u 0.
N 1 N
A u F
u0 0
h2
u0 2u1 u2
g1
E
h2
u1 2u2 u3
g2
E
2
h
u2 2u3 u4
g3
E
h2
g N 2
u N 3 2u N 2 u N 1
E
h2
u
2u N 1 u N
g N 1
N 2
E
u N 1 u N 0

5.

Явная разностная схема
u0N
u0N 1
u0n
u02
u10
u00 u10 u20
ui0
uI0 1 u I0

6.

u0N
u0N 1
u IN
u0n
u02
u10
u1I
u00 u10 u20
ui0
uI0 1 u I0
Неявная разностная схема

7.

МКР для многомерных задач
m+1
2u 2u 1
u
a 2 2 2 q x, y, t
t
y c
x
m
t 0; T
y 0; l y
u x; y;0 u0 x; y ,
u 0; y; t 1 y, t ; u l x ; y; t 2 y, t ; u x;0; t 3 x, t ;
ij
m-1
x
xi i 1 hx , i 1, N x ,
y j j 1 hy , j 1, N y ,
tm m 1 , m 1, N t ,
utm,ij a 2 uijm 1 1 a 2 uijm
hx l x
N x 1 ,
N y 1 ,
T N m 1 .
m 1
u xx
,ij
1
um
yy ,ij
hy l y
1 m
qij
c
uijm 1 uijm
uijm 1
uim 1 1j 2uijm 1 uim 1 1j
hx2
+ граничные и начальные условия
uij1 u0,ij ;
m
u 1mj ;
1j
Условие устойчивости
u x; l y ; t 4 x, t .
Вводим сетку
y
utm,ij
x 0; lx
1
2 4 1 hx2 1 hy2
0 0,5
u Nmx j m
2 j;
uim1 3,mi ;
m
uiN
m
4,i .
y
Сходимость
O 2 hx2 hy2
O hx2 hy2
0, 5
иначе
uijm 11 2uijm 1 uijm 11
hy2

8.

Метод переменных направлений
m+1
2
m+0,5
uim, j 0,5 uim, j
u m 0,5 u m fi ,mj
x x, i, j
y y, i , j
0,5
m 1
m 0,5
u
u
i, j
i, j
m 0,5
m 1
m
u
u
f
i, j
x x, i, j
y y, i , j
0,5
i, j+1
i+1, j
i,j
i–1, j
i, j–1
m
m 0,5
m 0,5
m
m
m
uim, j 0,5 uim, j uim 1, 0,5
2
u
u
u
2
u
u
j
i, j
i 1, j
i , j 1
i, j
i , j 1
m
f
i, j
h12
h22
0,5
m 1
m 0,5
m 0,5
m 0,5
m 0,5
m 1
m 1
m 1
u
u
u
2
u
u
u
2
u
u
i, j
i, j
i 1, j
i, j
i 1, j
i , j 1
i, j
i , j 1
m
f
i, j
2
2
0,5
h
h
1
2
*
**