Применение интеграла по фигуре от скалярной функции в механике

1. Применение интеграла по фигуре от скалярной функции в механике

2. Вычисление массы материальной фигуры.

• - стержень, совпадающий с отрезком
интегрирования, тогда
b
M x dx
• -дуга линии (L), тогда
a
M P dl;
• - плоская область (D), тогда
M P ds;
D
L
(*)

3.

• - поверхность (Q), тогда
M P dq;
Q
• - пространственная область (тело)
(V), тогда
M P dv
V

4. Пример

Найти массу пластинки, имеющей форму
прямоугольного треугольника с
катетами ОА=а, ОВ=b, если плотность в
любой точке Р равна расстоянию от
точки Р до катета ОВ.

5.

6.

Решаем задачу с применением формулы
(*), при этом P x, y x.
Уравнение прямой АВ в отрезках:
x y
b
1 y a x
a
Тогда
b
a
a
M x, y dxdy dx
D
0
a
b
a x
a
a
0
0
xdy x y
a
b
a x
a
0
b
b x
x
a2b
x a x dx a
;
a0
a 2
3 0
6
2
3
dx

7. Вычисление статических моментов.

Определение 1 Статическим моментом
материальной точки относительно
прямой (точки, плоскости)
называется произведение ее массы на
расстояние от точки до прямой
(точки, плоскости).

8.

• Определение 2 Статическими
моментами плоской системы n
материальных точек относительно
осей декартовой прямоугольной
системы координат называются
выражения:
n
n
i 1
i 1
M x yi mi , M y xi mi ,
где m i - сосредоточенные в точках
массы; x i , y i , i 1, n - абсциссы и
ординаты соответствующих точек.

9. Определение 3

Статическими моментами M x и M y
плоской фигуры относительно осей
декартовой прямоугольной системы
координат называются
выражения:
n
M x lim y i Pi i
0
i 1
n
M y lim x i Pi i
0
i 1
y P d ,
x P d .
при условии, что указанные пределы
существуют и не зависят от способа
построения интегральной суммы

10. Пример

Найти статический момент относительно
оси Ох однородной фигуры,
ограниченной синусоидой y sin x , и
прямой ОА, проходящей
через начало
координат и точку A 2 ;1 синусоиды .
Для определения воспользуемся
формулой M y x, y dxdy,
x
D
уравнение прямой ОА имеет вид y
2x

11.

2
sin x
0
2x
M x y x , y dxdy dx
D
1 2 2
4 2
ydy sin x 2 x dx
2 0
1 2 1 cos 2 x 4 2
1
2
2 x dx
2 0
2
8
3 24

12. Координаты центра масс материальной фигуры

• Для плоской фигуры
My
Mx c M y , My c M x
x P d
Mx
xc
, yc
M
M
P d
y P d
P d
• для пространственной фигуры
Mx c M yz , My c M xz , Mzc M yx
M yz
x P d
M xz
xc
, yc
M
M
P d
y P d
P d
, zc
M xy
M
z P d
P d

13. Пример

Найти центр масс однородного
цилиндрического тела, ограниченного
поверхностями
z x y 1, z 0, x y 1
2
2
2
2

14.

15.

Вследствие симметрии x c y c 0,
zdv
zc
V
dv
V
Вычислим тройные интегралы в
цилиндрической системе координат.
z x 2 y 2 1 z r 2 1, x 2 y 2 1 r 1
Для области (V) имеем
2
1
r 2 1
2
0 2 ,0 r 1,0 z r 2 1
1
2
1
7
2
zdv d rdr zdz d r r 1 dr ;
20
6
V
0
0
0
0
2
1
r 2 1
3
dv d rdr dz ;
2
V
0
0
0
7
zc ,
9
7
C 0,0,
9

16. Моменты инерции

Определение Моментом инерции I 0
материальной точки массой m
относительно начала координат
(относительно оси Ох - I x
,
относительно плоскости Оху - I xy )
называется произведение массы
точки на квадрат расстояния до начала
координат( соответственно оси Ох,
плоскости Оху)
I 0 md 2 , I x m y 2 z 2 , I xy mz 2

17.

момент инерции плоской пластины (D)
относительно координатных осей
прямоугольной декартовой системы
координат вычисляются по формулам
Ix
2
2
2
y
P
d
y
x
,
y
dxdy
,
I
x
y
x, y dxdy
D
D

18.

Моменты инерции тела относительно
координатных плоскостей
I xy
z
2
P d z x , y , z dxdydz
2
V

19. Пример

Найти момент инерции кругового
цилиндра ,
высота которого h и радиуса a
относительно оси,
служащей диаметром основания
цилиндра .

20.

z
y
x

21.

Вычисления проведем в цилиндрических
координатах, при этом уравнение
цилиндра примет вид r = a
Пределы интегрирования
0 2 , 0 r a, 0 z h.
Имеем:
2
a
h
0
0
0
I x y 2 z 2 dv d rdr r 2 sin 2 z 2 dz
V
2
2
3
4
3
2
2
h
a
h
a
2
2
d rdr r h sin h sin
d
3 0 4
3 2
0
0
ha
4
a
4 2
2
2
1
h 3a 2
a
h
2
0 2 1 cos 2 d 3 ha 4 3 .