Тела вращения

1. Презентация по геометрии на тему: тела вращения

2. Содержание презентации:

Цилиндр
Конус и усечённый конус
Шар и сфера

3. Цилиндр

Определение.
Тело, которое образуется при
вращении прямоугольника вокруг
прямой, содержащей его сторону,
называется цилиндром.

4. Круговой прямой цилиндр

5. Наклонный цилиндр

– цилиндр,
образующие
которого не
перпендикулярны
плоскостям его
оснований.

6.

Основные формулы
Пусть R – радиус
основания;
H – высота цилиндра,
тогда
Sбок=2πRH
Sполн=Sбок+2Sосн=2πRH +
+2πR2 =2πR(R+H)
V=πR2H

7. Конус

Определение.
Тело, которое образуется при вращении
прямоугольного треугольника вокруг прямой,
содержащий его катет, называется прямым
круговым конусом.

8. Прямой круговой конус

9.

Основные формулы
Если R – радиус
основания,
Hвысота, L– образующая конуса, то
V=1/3πR²H
Sбок=πRL
Sполн=Sбок+Sосн=πRL+
+πR²=πR(L+R)

10. Усеченный конус

Часть конуса,
ограниченная его
основанием и
сечением,
параллельным
плоскости
основания,
называется
усеченным
конусом.

11. Усеченный прямой конус

Формулы:
1
V h( R 2 RR1 R12 )
3
S бок.пов. ( R R1 )l
S полн.пов. ( R R1 )l R 2 r 2
Здесь h – высота
усеченного конуса; R и R1
– радиусы его верхнего и
нижнего оснований; l –
его образующая

12. Шар и сфера

Определение.
Фигура, полученная в результате вращения
полукруга вокруг диаметра, называется шаром.
Поверхность, образуемая при этом
полуокружностью, называется сферой.

13. Шар – тело вращения

OS, ON, OC, OD –
радиусы;
NS, CD – диаметры шара;
C и D, N и S –
диаметрально
противоположные точки

14. Объем шара

Архимед считал, что
объем шара в 1,5 раза
меньше объема
описанного около него
цилиндра:
Vш=4/3πR³.

15. Как Архимед находил объем шара

Площади сечений:
Sц, Sш, Sк.
x Sц 2 R ( S ш S к )
Sц=4πR²;
Sш=π[CE]², где
[CE]²=[EO]²-[OC]²=R²-(x-R)²=2Rx-x²;
Sк=π[CD]²= πx²

16.

R Vц 2 R (Vш Vк )
Vш
Vц
2
Vк

17. Основные формулы

R – радиус шара
Vшара=4/3πR³
Sсферы=4πR²

18. Уравнение сферы

Пусть A – центр(a; b; c)
MA – радиус, тогда
MA²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²;
(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

19. Тор – фигура вращения

Тор образуется при
вращении окружности
вокруг не пересекающей её
прямой, лежащей в
плоскости окружности.
Если «заполнить» тор, то
получится тело вращения,
называемое полноторием.

20. Объем и площадь поверхности тора

Если r – радиус
окружности, R –
расстояние от её
центра до оси, то
V=2πR πr²=2π²Rr²;
Sповерх=4π²Rr.

21. Определение объема произвольного тела вращения

Интегральное
исчисление,
созданное
Ньютоном и
Лейбницем:
b
V S ( z )dz
a