Модуль №5 "Розв’язання прикладних математичних задач у середовищі MathCAD“ Лекція №5.1. Основи роботи з MathCAD.

751.50K

Category: $mathematics$ mathematics

Основи роботи з MathCAD

1. 2. Модуль №5 "Розв’язання прикладних математичних задач у середовищі MathCAD“ Лекція №5.1. Основи роботи з MathCAD.

Модуль №5 "Розв’язання прикладних
математичних задач у середовищі MathCAD“
Лекція №5.1. Основи роботи з MathCAD.
Однією з основних областей застосування ПК є математичні і
науково-технічні розрахунки. Складні обчислювальні задачі, що
виникають при моделюванні технічних пристроїв і процесів, можна
розбити на ряд елементарних: обчислення інтегралів,
розв’язання рівнянь, розв’язання диференціальних рівнянь і т.д.
Для таких задач вже розроблені методи розв’язку, створені
математичні системи,
доступні для вивчення студентам
молодших курсів втузів.
Слід навчитися користуватися найпростішими методами
обчислень з використанням сучасних інформаційних технологій.
Найбільш придатною для цієї мети є одна із самих потужних і
ефективних математичних систем - MathCAD, що займає
особливе місце серед безлічі таких систем (Matlab, Maple,
Mathematica і ін.).

3.

MathCAD – це могутнє й у той же час просте універсальне
середовище для розв’язання задач у різних галузях науки і
техніки, фінансів і економіки, фізики й астрономії, математики і
статистики. MathCAD залишається єдиною системою, у якій опис
розв’язання математичних задач задається за допомогою
звичайних математичних формул і знаків. MathCAD дозволяє
виконувати як чисельні, так і аналітичні (символьні) обчислення,
має надзвичайно зручний математико-орієнтований інтерфейс і
прекрасні засоби наукової графіки.
Система MathCAD існує в декількох основних варіантах:
MathCAD Standard – ідеальна система для повсякденних
технічних обчислень. Призначена для масової аудиторії і
широкого використання в навчальному процесі;
MathCAD
Professional
–
промисловий
стандарт
прикладного використання математики в технічних додатках.
Орієнтована на математиків і науковців, що проводять складні і
трудомісткі розрахунки.
MathCAD Professional Academic – пакет програм для
професійного
використання
математичного
апарата
з
електронними підручниками і ресурсами.
Ми будемо використовуати пакет MathCAD Professional.

4.

Система обчислень MathCAD
Основи роботи з MathCAD
MathCAD працює з документами. З погляду користувача,
документ - це чистий аркуш паперу, на якому можна розміщати
блоки трьох основних типів: математичні вирази, текстові
фрагменти і графічні області.
Розташування нетекстових блоків у документі має принципове
значення – зліва направо і зверху вниз.
Математичні вирази
До основних елементів математичних виразів MathCAD
відносяться типи даних, оператори, функції і керуючі
структури.
Оператори - елементи MathCAD, за допомогою яких можна
створювати математичні вирази.
До них, наприклад, відносяться символи арифметичних
операцій, знаки обчислення сум, добутків, похідної, інтегралу і т.д.

5.

Оператор визначає:
• дію, що повинна виконуватися при наявності тих чи інших
значень операндів;
• скільки, де і які операнди повинні бути введені в оператор.
Операнд – число чи вираз, на яке діє оператор.
Наприклад, у виразі 5! + 3 число 3 і вираз 5! – операнди
оператора + (плюс), а число 5 операнд оператора факторіал (!).
Після вказування операндів оператори стають блоками, що
виконуються у документі.
Типи даних
До типів даних відносяться числові константи, звичайні і
системні змінні, масиви (вектори і матриці) і дані файлового
типу.
Константами називають пойменовані об'єкти, що зберігають
деякі значення, що не можуть бути змінені.

6.

Змінні є пойменованими об'єктами, що мають деяке значення,
що може змінюватися по ходу виконання програми.
Тип змінної визначається її значенням; змінні можуть бути
числовими, рядковими, символьними і т.д.
Імена констант, змінних і інших об'єктів називають
ідентифікаторами.
Ідентифікатори в MathCAD являють собою набір латинських чи
грецьких букв і цифр.
У MathCAD міститься невелика група особливих об'єктів, які не
можна віднести ні до класу констант, ні до класу змінних,
значення яких визначені одразу після запуску програми. Їх вірніше
вважати системними змінними, що мають визначені системою
початкові значення. Зміну значень системних змінних роблять у
вкладці Вбудовані змінні
діалогового вікна Math Options
команди Математика Опції.
Звичайні змінні відрізняються від системних тим, що вони
повинні бути попередньо визначені користувачем, тобто їм
необхідно хоча б один раз присвоїти значення.

7.

У якості оператора присвоєння використовується знак
:=
, тоді як знак
=
відведений для виводу значення чи константи змінної.
Якщо змінній присвоюється початкове значення за допомогою
оператора :=, викликається натисканням клавіші : (двокрапка) на
клавіатурі, таке присвоєння називається локальним.
До цього присвоєння змінна не визначена і її не можна
використовувати. Однак за допомогою знака
(клавіша ~ на клавіатурі)
можна забезпечити глобальне присвоєння.

8.

MathCAD прочитує весь документ двічі зліва направо і зверху
вниз. При першому проході виконуються всі дії, запропоновані
глобальним оператором присвоєння ( ), а при другому –
виконуються
дії,
запропоновані
локальним
оператором
присвоєння (:=), і відображаються всі необхідні результати
обчислень (=).
Існують також жирний знак рівності
= (комбінація клавіш Ctrl + =),
що використовується, наприклад, як оператор наближеної
рівності при розв’язку систем рівнянь,
і символьний знак рівності
(комбінація клавіш Ctrl + .).

9.

Дискретні аргументи - особливий клас змінних, який у пакеті
MathCAD найчастіше заміняє керуючі структури, називані
циклами (однак повноцінною така змінна не є).
Ці змінні мають ряд фіксованих значень, або цілочисельних (1
спосіб), або у вигляді чисел з визначеним кроком, що міняються
від початкового значення до кінцевого (2 спосіб).
1.
Name := Nbegin .. Nend,
де Name – ім'я змінної, Nbegin – її початкове значення, Nend –
кінцеве значення, .. – символ, що вказує на зміну змінної в
заданих межах (вводиться клавішею ;). Якщо Nbegin < Nend, то крок
змінної буде дорівнює +1, інакше –1.
2.
Name := Nbegin, (Nbegin + Step) .. Nend
Тут Step – заданий крок зміни змінної (він повинний бути
додатнім, якщо Nbegin < Nend, чи від’ємним в іншому випадку).
Дискретні аргументи значно розширюють можливості MathCAD,
дозволяючи виконувати багаторазові обчислення чи цикли з
повторними обчисленнями, формувати вектори і матриці.

10.

Масив - сукупність, що має унікальне ім'я, кінцеву кількість
числових чи символьних елементів, що впорядковані деяким
чином і що мають визначені адреси.
У пакеті MathCAD використовуються масиви двох найбільш
розповсюджених типів:
одновимірні (вектори);
двовимірні (матриці).
Порядковий номер елемента, що є його адресою, називається
індексом. Індекси можуть мати тільки цілочисельні значення.
Вони можуть починатися з нуля чи одиниці, у відповідності зі
значенням системної змінної ORIGIN.
Вектори і матриці можна задавати різними способами:
за допомогою команди Вставка Матриця, чи
комбінації клавіш Ctrl + M, чи кліком на кнопці
панелі
Матриця, заповнивши масив порожніх полів для не занадто
великих масивів;
з використанням дискретного аргументу, коли має місце
деяка явна залежність для обчислення елементів через їхні
індекси.

11.

Функції
Функція – вираз, відповідно до якого проводяться деякі
обчислення з аргументами і визначається його числове значення.
Слід особливо зазначити різницю між аргументами і
параметрами функції.
Змінні, зазначені в дужках після імені функції, є її
аргументами і замінюються при обчисленні функції значеннями
з дужок.
Змінні в правій частині визначення функції, не зазначені дужках
у лівій частині, є параметрами і повинні задаватися до
визначення функції.
Головною ознакою функції є повернення значення, тобто
функція у відповідь на звернення до неї по імені з вказанням її
аргументів повинна повернути своє значення.
Функції в пакеті MathCAD можуть бути вбудовані, тобто
завчасно введені розроблювачами, і визначені користувачем.
Способи вставки вбудованої функції:
• 1. Вибрати пункт меню Вставка Функція.
• 2. Натиснути комбінацію клавіш Ctrl + E.
• 3. Клацнути на кнопці
.

12.

Текстові фрагменти
Текстові фрагменти являють собою куски тексту, що
користувач хотів би бачити у своєму документі. Існують два види
текстових фрагментів:
• текстова область призначена для невеликих шматків тексту
- підписів, коментарів і т.п. Вставляється за допомогою команди
Вставка Текстова або комбінації клавіш Shift + " (подвійні
лапки);
• текстовий абзац застосовується в тому випадку, якщо
необхідно працювати з абзацами чи сторінками. Вставляється
за допомогою комбінації клавіш Shift + Enter.
Графічні області
Графічні області поділяються на три основних типи двовимірні графіки, тривимірні графіки й імпортовані
графічні образи. Двовимірні і тривимірні графіки будуються
самим MathCAD на підставі оброблених даних.

13.

Для створення декартового графіка:
Встановити візир у порожньому місці робочого документа.
Вибрати команду Вставка Графік Х-У графік, чи
натиснути комбінацію клавіш Shift + @, чи клацнути кнопку
панелі Графіки. З'явиться шаблон декартового графіка.
Ввести у середній мітці під віссю Х першу незалежну змінну,
через кому – другу і так до 10, наприклад х1, х2, …
Ввести у середній мітці ліворуч від вертикальної осі Y першу
незалежну змінну, через кому – другу і т.д., наприклад у1(х1),
у2(х2), …, чи відповідні вирази.
Клацнути за межами області графіка, щоб почати його
побудову.
Тривимірні, чи 3D-графіки, відображають функції двох
змінних виду Z(X, Y). При побудові тривимірних графіків у ранніх
версіях MathCAD
поверхню потрібно було визначити
математично. Тепер застосовують функцію MathCAD CreateMesh.
CreateMesh(F (чи G, чи f1, f2, f3), x0, x1, y0, y1, xgrid, ygrid, fmap)
Створює сітку на поверхні, визначеною функцією F.

14.

x0, x1, y0, y1 – діапазон зміни змінних,
xgrid, ygrid – розміри сітки змінних,
fmap – функція відображення.
Усі параметри, за винятком F, - факультативні. Функція
CreateMesh за замовчуванням створює сітку на поверхні з
діапазоном зміни змінних від –5 до 5 і з сіткою 20 20 точок.
Нерідко поверхні і просторові криві представляють у вигляді
крапок, чи кружечків або інших фігур. Такий графік створюється
операцією Вставка Графік 3D Точковий, причому
поверхня задається параметрично – за допомогою трьох матриць
(X, Y, Z). Для визначення вихідних даних для такого виду графіків
використовується функція CreateSpace.
CreateSpace (F , t0, t1, tgrid, fmap)
Повертає вкладений масив трьох векторів, що представляють х, у-, і z-координати просторової кривої, визначеної функцією F. t0 і
t1 – діапазон зміни змінної, tgrid – розмір сітки змінної, fmap –
функція відображення.
Усі параметри, за винятком F, - факультативні.

15.

Побудова фігур, що перетинаються
Особливий інтерес являє собою можливість побудови на
одному графіку ряду різних фігур чи поверхонь з автоматичним
обліком їхнього взаємного перетинання. Для цього треба
роздільно задати матриці відповідних поверхонь і після виводу
шаблона 3D-графіки перелічити ці матриці під ним з
використанням як роздільник коми.
Створення анімаційного кліпу
MathCAD
має вбудовану змінну
призначення - керування анімаціями:
FRAME,
чиє
єдине
• Створіть об'єкт, чий вид залежить від FRAME.
• Переконайтеся, що встановлено режим автоматичного
розрахунку (Математика Автоматичне Обчислення).
• Виберіть Вид Анімація для виклику однойменного
діалогового вікна.
• Вкладіть в пунктирний прямокутник, що виділяє, частину
робочого документа, яку потрібно анімувати.

16.

17.

Рішення рівнянь засобами Mathcad
Як відомо, багато рівнянь і системи рівнянь не мають
аналітичних рішень. У першу чергу це відноситься до більшості
трансцендентних рівнянь. Доведено також, що не можна
побудувати формулу, за якою можна було б вирішити довільне
алгебраїчне рівняння ступеня вище четвертого . Однак такі
рівняння можуть вирішуватися чисельними методами із заданою
точністю (не більше значення заданого системною змінною TOL).
Чисельне рішення нелінійного рівняння
Для найпростіших рівнянь виду f(x) = 0 рішення в Mathcad
знаходиться за допомогою функції root.

18.

root( f(х1, x2, …), х1, a, b )
Повертає значення х1, що належить відрізку [a, b], при якому
вираз або функція f(х) обертається в 0. Обидва аргументи цієї
функції повинні бути скалярами. Функція повертає скаляр.
Аргументи:
f(х1, x2, …) - функція, що визначена де-небудь у робочому
документі, або вираз. Вираз повинен повертати скалярні
значення.
х1 - ім'я змінної, котра використовується у виразі. Цій змінній
перед використанням функції root необхідно привласнити числове
значення. Mathcad використовує його як початкове наближення
під час пошуку кореня.
a, b – необов'язкові, якщо використовуються, то повинні бути
дійсними числами, причому a < b.
Наближені значення кореня (початкові наближення) можуть
бути:
1. Відомі з фізичного змісту задачі.
2. Відомі з рішення аналогічної задачі при інших вихідних даних.
3. Знайдені графічним способом.

19.

Найпоширеніший графічний спосіб визначення початкових
наближень. Беручи до уваги, що дійсні корені рівняння f(x) = 0 це точки перетинання графіка функції f(x) з віссю абсцис, досить
побудувати графік функції f(x) і відзначити точки перетинання f(x)
з віссю Ох, або відзначити на осі Ох відрізки, що містять по
одному кореню. Побудову графіків часто вдається сильно
спростити, замінивши рівняння f(x) = 0 рівносильним йому
рівнянням:
f1(x)=f2(x),
де функції f1(x) і f2(x) - більш прості, ніж функція f(x). Тоді,
побудувавши графіки функцій у = f1(x) і у = f2(x), шукані корені
одержимо як абсциси точок перетинання цих графіків.
Відсутність збіжності функції root
Якщо після багатьох ітерацій Mathcad не знаходить
наближення, що підходить, то з'явиться повідомлення
(відсутня збіжність). Ця помилка може бути викликана наступними
причинами:

20.

• Рівняння не має коренів.
• Корені рівняння розташовані далеко від початкового
наближення.
• Вираження має локальні max і min між початковим
наближенням і коренями.
• Вираження має розриви між початковими наближеннями й
коренями.
• Вираження має комплексний корінь, але початкове наближення
було дійсним.
Щоб установити причину помилки, досліджуйте графік f(x). Він
допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x) = 0 і, якщо
вони є, то визначити приблизно їхнє значення. Чим точніше
обране початкове наближення кореня, тим швидше буде
сходитися root.

21.

Рекомендації з використання функції root
Для зміни точності, з якої функція root шукає корінь,
потрібно змінити значення системної змінної TOL. Якщо значення
TOL збільшується, функція root буде сходитися швидше, але
відповідь буде менш точною. Якщо значення TOL зменшується, то
функція root буде сходитися повільніше, але відповідь буде більш
точною. Щоб змінити значення TOL у певній точці робочого
документа, використовуйте визначення виду . Щоб змінити
значення TOL для всього робочого документа, виберіть команду
Математика Параметри… Змінні Допуск збіжності (TOL).
Якщо два корені розташовані близько друг від друга, варто
зменшити TOL, щоб розрізнити їх.
Якщо функція f(x) має малий нахил біля шуканого кореня,
функція root(f(x), x) може сходитися до значення r, що відстоїть від
кореня досить далеко. У таких випадках для знаходження більше
точного значення кореня необхідно зменшити значення TOL.
Інший варіант полягає в заміні рівняння f(x) = 0 на g(x) = 0:
.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

• Встановіть нижні і верхні границі FRAME ( Від: і До:).
• У поле Швидкість введіть значення швидкості відтворення
(кадрів/сек).
• Виберіть Анімація. Зараз анімація тільки створюється.
• Збережіть анімацію як АVI файл (Зберегти як).
• Відтворіть збережену анімацію Вид Відтворення.
Рішення рівнянь засобами Mathcad
Як відомо, багато рівнянь і системи рівнянь не мають
аналітичних рішень. У першу чергу це відноситься до більшості
трансцендентних рівнянь. Доведено також, що не можна
побудувати формулу, за якою можна було б вирішити довільне
алгебраїчне рівняння ступеня вище четвертого . Однак такі
рівняння можуть вирішуватися чисельними методами із заданою
точністю (не більше значення заданого системною змінною TOL).
Чисельне рішення нелінійного рівняння
Для найпростіших рівнянь виду f(x) = 0 рішення в Mathcad
знаходиться за допомогою функції root.

45. Дякую за увагу!!!

English Русский Rules