Функції,властивості,графіки

1. Функції

2.

Що таке функція?
Функцією називають
таку
залежність
змінної у від змінної
х,
при
якій
кожному значенню
х відповідає єдинне
значення у
х - аргумент, незалежна
змінна
у - функція, залежна
змінна
y f(x)

3. Як можна задати функцію?

• З допомогою формули.
• З допомогою таблиці
• З допомогою графіка
У = - 4х + 5
х
-2 -1 0
1
2
у
2
1
2
1
0

4. Завдання №1 Серед даних ліній вкажіть ті, що є графіками функцій

5.

Завдання №2
Серед даних таблиць вкажіть ті, що
відповідають функції
х
1
1
2
Х
3
6
3
у
3
4
5
у
2
4
9
Х
1
2
3
у
4
4
5

6.

Властивості
функцій

7.

Область визначення – це всі значення змінної х при яких функція
має зміст.
Позначення D(f)
Вид функції
у = f(х), де f(х) многочлен
f ( x)
у
g ( x)
y
f (x)
у
f ( x)
g ( x)
Область
визначення
R або (-∞; ∞)
g(x)≠0
f(x)≥0
g(x)˃0
Область значень – це всі значення змінної у.
Позначення Е (f)

8. Завдання №3 Визначте область визначення і область значень функції

y
1
0 1
D(f)=[-3;1) U (1;7]
x
Е(f)= [-3;1) U (1;4]

9. Завдання №4 Знайдіть область визначення функції

f ( x) x 6 x 9
2
5
f ( x)
( x 2)(5 x)
x 4
f ( x) 2
x 2
7
f ( x) 2
x 6x 9
f ( x) x 2
f ( x) x 5 x 2
x 2
f ( x)
x 2

10. Парність і непарність функції

1. Область визначення симетрична відносно початку
координат
2. Виконується формула
f x f x
парна функція
g x g x
непарна функція
Якщо не виконується перша умова або друга, то
функція ні парна, ні непарна(індиферентна)

11.

Приклад №1
1) D(f)=R –
f(х)=х2+5
область визначення
симетрична відносно
початку координат
2) f(-х) = (-х)2+5=х2+5
f x f x
Отже,
Висновок: функція парна

12.

Приклад №2
5
f ( x)
x
1) D(f)=(-∞;0)U(0;∞) – область визначення
симетрична відносно початку координат
2)
f(-х) =
5
5 .
x
х
f x f x
Отже,
Висновок: функція не парна

13. Приклад №3

f ( x) x 5
D(f)=[-5;∞) –
область визначення не
симетрична відносно початку координат
Приклад №4
8
f ( x)
x 5
1) D(f)=(-∞;5)U(5;∞) –
область визначення не симетрична
відносно початку координат
Висновок: функція ні парна, ні непарна

14. Завдання №5 Визначте парність і не парність функції

а ) g ( x) 3 x x
4
х
б) у 2
3х
5
1
в ) f ( x) х 3
х
7
2

15.

1) Графік парної
функції
симетричний
відносно осі Оу
y
1
0
x
y
2) Графік не парної функції
симетричний
відносно
початку координат
3) Якщо не виконується
умова 1) або 2) то це графік
функції що є ні парною, ні
непарною
1
1
0
1
x
y
1
0 1
x

16. Завдання №6 Визначте по графіку парність та не парність функції

17.

Монотонність
(зростання та
спадання) функції

18.

Зростаючою називається функція
у =f(х) на деякому проміжку D, якщо для
будь - яких х1є D, х2є D, таких, що
х2>х1, виконується нерівність f (х 2) >f (х1)
(більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції)
у=3х-2
х1=2; х2= 5; х2 >х1; f(2)=4; f(5)=13; f(х2) > f(х1)

19.

Спадною називається функція у =f(х) на деякому
проміжку D, якщо для будь – яких х1 є D, х2 є D, таких,
що х2 >х1, виконується нерівність f (х 2) < f(х1)
(більшому значенню аргументу відповідає менше значення
функції)
У =- 3х-2
х1 =2; х2 =5; х2 >х1; f(2)=- 8; f(5)=-17; f(х2) <f(х1)
y
1
0 1
x

20. Завдання №7 Визначте проміжки зростання і спадання функції

21. Нулі функції

Значення х при яких функція дорівнює нулю.
Щоб знайти нулі функції потрібно функцію прирівняти
до нуля і розв'язати рівняння.
у=4х-8; 4х-8=0; 4х=8; х=2-нуль функції
По графіку нулі функції – це точки перетину графіка з
віссю Ох

22.

Завдання №8
За графіком функції визначте нулі функції

23. Проміжки знакосталості

Проміжки області
визначення на яких
функція приймає
тільки додатні
значення (f(х)˃0) або
тільки від'ємні
значення (f(х)<0)
називають проміжки
знакосталості

24. Завдання №9 Визначте проміжки знакосталості функції

25. Дослідити функцію - це виявити її властивості

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Область визначення
Область значень
Парність(не парність)
Нулі функції
Проміжки знакосталості
Проміжки монотонності
Перетин з віссю Оу

26. Функція обернена пропорційність

k˃0
k
у
х
гіпербола
k<0

27. Лінійна функція y= kx+b

k<0
k=0,y=b
k˃0
k1 =k2 =k3

28. Пряма пропорційність y=kx

y=x

29. Функція у=х2

х
-3 -2 -1 0 1 2 3
у
9 4 1 0 1 4 9
парабола

30. Функція у=х3

х
у
-2 -1 0
-8 -1 0
1
1
2
8
Кубічна парабола

31. Функція

у х
х
0
1
4
9
у
0
1
2
3

32. Функція у =│Х│

33.

Завдання №10
Побудуйте графік функції та дослідіть
його властивості
1
х
9) у
1) у
3
5) у х
3х
3
3 6) у х 3 10) у 5 х
2) у
х
3
11
)
у
7
)
у
2
х
3
3) у х 3
х
4) у 3 х
8) у 2 х 3
х
12) у
3

34. Факти із історіі

• Термін «функція»(з лат.) - здійснення,
виконання
Поняття функції як термін склалося в 17
столітті
• В 18 столітті основним об'єктом вивчення
математики стали залежності між змінними
величинами
• Вперше термін функція ввів І.Бернулі в 1718
році
• В загальному вигляді визначення функції
було дано Н.І. Лобачевським в 1934 році