Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

1.

Теоремы об углах, образованных двумя
параллельными прямыми и секущей
Геометрия, Глава III, 7 класс
К учебнику Л.С.Атанасяна

2.

Теорема, обратная данной
Теорема:
В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны.
Теорема:
Если треугольник – равнобедренный, то в нём углы при основании равны.
Условие теоремы (Дано): треугольник - равнобедренный
Заключение теоремы (Доказать): углы при основании равны
Условие теоремы: углы при основании равны
Заключение теоремы: треугольник - равнобедренный
НОВОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ
Обратная
теорема
Если в треугольнике два угла
равны, то он - равнобедренный.

3.

Теорема,
обратная
данной
Всегда
ли обратное
утверждение
верно?
Теорема
Сумма смежных углов
равна 1800.
Вертикальные углы равны
В равнобедренном треугольнике,
биссектриса,
проведенная
к
основанию, является медианой и
высотой
Если треугольник - равнобедренный,
то биссектриса, проведенная к
основанию, является и медианой и
высотой
Обратная теорема
Если сумма двух углов равна
1800, то углы - смежные
Если углы равны,
то они - вертикальные
Если в треугольнике биссектриса,
проведенная к одной из его сторон,
является и медианой, проведенной к
этой
стороне,
то
этот
треугольник -равнобедренный
Если в треугольнике биссектриса,
проведенная к одной из его сторон,
является и высотой, проведенной к
этой
стороне,
то
этот
треугольник -равнобедренный

4.

Углы,
образованные
двумя
Всегда
ли обратное
утверждение
верно?
параллельными прямыми и секущей
Теорема
Обратная теорема
Если при пересечении двух
Если две параллельные прямые
прямых
секущей
накрест
пересечены
секущей,
то
лежащие
углы
равны
то
накрест лежащие углы равны
прямые параллельны.
Дано : a b, с секущая , 1 и 2 накрест лежащие
c
Доказать : 1 2
P
M
а
1
Предположим 1 2
Отложим от луча MN
Поэтому 1 2
PMN 2 так, чтобы
PMN и 2 были накрест лежащими углами при
b
N
2
пересечении прямых РМ и b секущей с
PMN 2 РМ b
Через точку М проходят две прямые, параллельные b : РМ b, а b
Но это противоречит аксиоме параллельных, значит наше допущение неверно

5.

c
Дано : a b, с секущая ,
1и 2 накрест лежащие
P
M
а
Доказать : 1 2
1
b
N
2
1
Выдвигаем предположение,
противоположное тому, что
надо доказать
2
Путем рассуждений
приходим к противоречию с
известной аксиомой или
теоремой
3
Делаем вывод о неверности
нашего предположения и
верности утверждения
теоремы
МЕТОД ОТ
ПРОТИВНОГО
Предположим 1 2
Отложим ...
Через точку М проходят две прямые,
параллельные b : РМ b, а b
Но это противоречит аксиоме параллельных
Следовательно, наше допущение неверно
Поэтому 1 2

6.

СЛЕДСТВИЕ ИЗ
ТЕОРЕМЫ
Если две параллельные
прямые
пересечены
секущей, то накрест
лежащие углы равны
Если
прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой
c
а
b
Дано : a b, с а
Доказать : с b
1
с а 1 900
2
а b 1 2
2 900 с b

7.

Углы, образованные
двумя параллельными прямыми и секущей
Теорема
Обратная теорема
Если при пересечении двух прямых
секущей соответственные углы
равны, то прямые параллельны.
с
1
а
b
3
2
Если две параллельные прямые
пересечены
секущей,
то
соответственные углы равны
Дано : a b, с секущая ,
1 и 2 соответственные
Доказать : 1 2
a b 2 3
1 3
1 2
2 3

8.

Углы, образованные
двумя параллельными прямыми и секущей
Теорема
Обратная теорема
Если при пересечении двух прямых
секущей сумма односторонних
углов равна 1800, то прямые
параллельны.
с
Если две параллельные прямые
пересечены секущей, то сумма
односторонних углов равна 1800
Дано : a b, с секущая ,
1 и 2 односторонние
а
b
3
2
1
Доказать : 1 2 1800
a b 2 3
1 3 1800
1 2 1800
2 3

9.

Прямые а и b параллельны.
Найдите угол 2.
c
c
c
а
а
а
1
2
2
b
1
1 530 , 2 ?
b
2
1 65 , 2 ?
0
b
1
1 720 , 2 ?

10.

Прямые а и b параллельны.
Найдите неизвестные углы
а
а
1
2
4
b
3
6
5
3
6
8 7
8 7
1 45
2
4
b
5
1
0
6 1400

11.

Прямые а и b параллельны.
Найдите неизвестные углы
а
1
4
b
3
2
1 1120 , 2 630

12.

Найдите неизвестные углы
а
1
4
b
2
3
1 1120 , 2 680 , 3 460

13.

Найдите неизвестные углы
а
4
2
b
3
1
1 1250 , 2 650 , 3 500

14.

Найдите неизвестные углы
m
а
n
1
8 7
b
2
6
5
с
3
4
1 450 , 2 450 , 3 1350 , 4 700

15.

Прямые а и b параллельны.
Найдите неизвестные углы,
если сумма двух накрест
лежащих углов равна 1000.
а
1
2
4
b
5
3
6
8 7
Прямые а и b параллельны.
Найдите неизвестные углы,
если сумма двух соответственных углов равна 2600.
Прямые а и b параллельны.
Найдите неизвестные углы,
если разность двух односторонних углов равна 500.