Глобальная и локальная интерполяция

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18. Метод наименьших квадратов

19. Количественный анализ

Проведение количественного анализа, как
правило, включает в себя построение графика по
данным, найденным в ходе эксперимента
Экспериментальные данные
30
y
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
x

20. Количественный анализ

Теоретически результаты эксперимента должны
укладываться в некоторую зависимость, которую
можно выразить формулой.
Теоретический расчёт
30
25
20
y
15
yтеор=kx+b
10
5
0
0
10
20
x
30
40

21. Количественный анализ

Экспериментальные данные
30
y
25
20
15
10
5
0
0
10
15
20
25
30
35
40
x
Но на практике это
не так
Теоретический расчёт
30
25
20
y
5
15
yтеор=kx+b
10
5
0
0
10
20
x
30
40

22. Ошибка!

Причины:
Погрешность измерений
Недостигаемость условий (идеальный газ,
стандартное давление и т.д.)
Ошибка в расчете

23. Метод наименьших квадратов

Это один из методов регрессионного анализа
для оценки неизвестных величин по
результатам измерений, содержащих
случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяется
также для приближенного представления
заданной функции другими (более простыми)
функциями и часто оказывается полезным при
обработке наблюдений.

24. Основной принцип метода наименьших квадратов

При замене точного (неизвестного) параметра
модели приблизительным значением
необходимо минимизировать разницу между
экспериментальными данными и
теоретическими (вычисленными при помощи
предложенной модели).

25. Приближение

Экспериментальные данные
30
y
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
x
МНК
Приблизительный расчёт
30
25
20
y
0
15
yтеор=kx+b
10
5
0
0
10
20
x
30
40

26. Отклонение точки от прямой

i (a, b) f ( xi ) yi axi b yi
y
.
A
O
.
B
x

27. Как учесть отклонение всех точек?

В рамках метода наименьших квадратов
минимизируется величина:
n
S (a, b) (axi b y i ) 2
i 1
Суммарное отклонение всех точек

28. Метод наименьших квадратов

Пусть нам известно оптимальное значение a. Тогда
S зависит только от b. Для того, чтобы найти минимум,
надо приравнять производную к нулю.
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
S 2 i ( ) 2 (axi b y i ) 1 2 (a xi bn y i ) 0
,
b
i 1
,
i b
n
b
y
i 1
n
n
i
a
x
i 1
n
i
y ax

29. Итоги

Вычисление коэффициентов прямой по
формулам:
n
a
[( y
i 1
i
y )( xi x )]
n
2
(
x
x
)
i
i 1
b y ax

30. Метод наименьших квадратов в Microsoft Excel 2003

По формулам.
Функция ЛИНЕЙН
xi
yi
5
5,05
10
8,62
15
11,59
20
15,45
25
18,41
30
22,04
35
25,00
ЛИНЕЙН
a = 0,664357
+
Ctrl+Shift+Enter
b = 1,878571

31. Проверка адекватности уравнения регрессии

32. Проверка адекватности уравнения регрессии

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии
к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в
расчете на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера.
Фактическое значение F -критерия Фишера сравнивается с табличным
значением Fтабл. (α, k1, k2) при заданном уровне значимости α и степенях
свободы k1= m и k2=n-m-1. При этом, если фактическое значение Fкритерия больше табличного Fфакт > Fтеор,
то признается статистическая значимость уравнения в целом. Для парной
линейной регрессии m=1 , поэтому:

33. Выводы:

Метод наименьших квадратов, а также его
различные модификации широко используется
при анализе экспериментальных данных.
В рамках метода наименьших квадратов
минимизируется величина сумма квадратов
отклонений действительных
(экспериментальных) значений от
теоретических.