Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

1. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
ДИНАМИКА

2. ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ

Ознакомиться с теоремой об изменении кинетической энергии
системы.
Научится считать кинетическую энергии и работу для ряда
специальных случаев.
ПЛАН ЛЕКЦИИ
• Кинетическая энергия материальной системы и способы
её вычисления
• Кинетическая энергия твердого тела
• Закон сохранения полной механической энергии
материальной системы
• Пример решения задачи
2
Цель лекции

3.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ
ТЕОРЕМА КЕНИГА
z1
z2
Введем подвижную систему координат O2x2y2z2
перемещающуюся поступательно относительно
неподвижной системы координат O1x1y1z1
Пусть Mk одна из точек материальной системы
массы mk
rk rO k
vk vO vkr
O1
rk O
r x2
Mk
k
y2
O
y1
x1
n
1 n
2
1
2
T mk vk mk vk
2 k 1
2 k 1
n
n
2 1 n
1 n
1
T mk vO vkr mk vO2 mk vO vkr mk vkr2
2 k 1
2 k 1
2 k 1
k 1
3
n
1 2 n
1 n
vO mk vO mk vkr mk vkr2
2 k 1
2 k 1
k 1

4.

ТЕОРЕМА КЕНИГА
n
1 2 n
1 n
2
T vO mk vO mk vkr mk vkr
2 k 1
2 k 1
k 1
1 n
2
Tr mk vkr
2 k 1
- кинетическая энергия относительного
движения
n
M mk
- масса системы
k 1
1
vCr
M
4
4
mk vkr - скорость центра масс С относительно
n
k 1
подвижной системы отсчета Ox2y2z2
1
2
T MvO MvO vCr Tr
2

5.

ТЕОРЕМА КЕНИГА
1
2
T MvO MvO vCr Tr
2
Если начало подвижных осей О совпадает с центром масс С
системы, то vO vC , vCr 0
1
2
T MvC TCr
2
Кинетическая энергия механической системы
равна сумме кинетических энергий
поступательного движения системы вместе с
центром масс
и движения системы относительно центра масс
5

6. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

mk vk2
T
2
k 1
n
1 2
T v dm
2
Кинетическая энергия поступательно движущегося тела
Скорости всех точек тела одинаковы и равны v
1 2
1
2
T v dm Mv
2
2
6
Поступательное движение
M – масса тела

7.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ
ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Z
hZ
O
v hZ
1 2
1 2 2
1
T v dm hZ dm I z 2
2
2
2
v
Iz
– момент инерции тела
относительно оси вращения z
7
Вращение относительно
неподвижной оси
7

8.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ДВИЖУЩЕГОСЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНО
z1
O1
x1
Введем поступательно движущуюся
систему координат Сx2y2z2 с началом в
центре масс C тела. По теореме Кёнига
z2
C
x2
y2
y1
1
T MvC2 TCr
2
Движение тела относительно подвижной
системы координат – вращение с угловой
скоростью ω и поэтому
1
TCr I C 2
2
I C -момент инерции тела относительно
оси
8
Плоскопараллельное движение
1
1
2
T MvC I C 2
2
2

9.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
2
2
2
2
m1v1н
m1v1к
mn vnк mn vnн
e
i
e
i
A1 A1 ,...,
An An
2
2
2
2
Ane - работа внешних сил системы, действующих на n-ю точку
Ani - работа внутренних сил системы, действующих на n-ю точку
n
mk vk2к
k 1
2
n
Учтём, что
9
n
mk vk2н
k 1
2
2
k k
mv
T
2
k 1
Теорема об изменении кинетической
n
n
k 1
k 1
Ake Aki
-кинетическая энергия системы

10.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
T T0 A A
e
i
Изменение кинетической энергии системы
точек на некотором перемещении равно
сумме работ внешних и внутренних сил
системы на этом же перемещении
10
Теорема об изменении кинетической

11.

РАБОТА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
z
h
C
mg
n
n
n
k 1
k 1
k 1
e
A
k mk ghk g mk hk gMhC
hC – изменение высоты центра масс системы
Работа сил тяжести равна произведению модуля силы
тяжести, действующей на систему, на вертикальное
перемещение ее центра тяжести, взятому со знаком плюс
или минус
11
Работа силы

12.

РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ ТВЁРДОГО ТЕЛА
B
i
F1
i D
F2
i i
F1 и F2 – внутренние силы взаимодействия
точек B и D твердого тела
i
i
F1 F2
Теорема о проекциях:
vB cos vD cos
vB x vD x
i
i
i
i
i
dA
F
d
s
F
d
s
F
ds
cos
F
1
B
2
D
1
B
2 ds D cos
i
A
0
Сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела
на любом его перемещении равна нулю
12
Работа силы

13.

РАБОТА ДЛЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА,
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ ОСИ
e
A( Fb ) 0
A( F e ) A( F e )
e
b
A
(
F
)
0
n
e
F
e
b
A F ds
e
F
e
Fne
d
F e
ds Rd
Ae F e ds F e Rd
e
M z ( F ) F R
e
Работа силы на малом перемещении:
e
A M z ( F )d
e
13
Работа силы

14.

РАБОТА ДЛЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА,
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ ОСИ
Работа силы на конечном перемещении:
A F ds
S2
2
A M z ( F )d
1
S1
2
A M z ( F ) d
1
Если
14
Работа силы
M const ,
e
z
то
A M 0
e
e
z

15.

Пример
1
Fтр
C
P1
N
B
R
2
P2
3
P3
Материальная система состоит из трех тел.
Груз 3 под действием силы тяжести
опускается вниз из состояния покоя.
Определить скорость груза 3 при
опускании его на высоту h.
Массы тел m1, m2, m3. Тела 1 и 2 считать
однородными дисками с радиусами r1 и r2.
Решение
Расставим внешние силы, действующие на систему. Внутренние
силы учитывать не нужно, так как сумма их работ равна нулю.
Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы
T T0 Ae Ai
T0 = 0 так как движение начинается из состояния покоя
15
T T1 T2 T3
Пример

16.

Пример
R
2
1
Fтр
C
P1
N
B
Решение
Тело 1 совершает плоское движение
1
1
2
T1 m1v1 I C1 12 ,
2
2
P2
3
P3
1
I C1 m1r12
2
Тело 2 вращается относительно
неподвижной оси
1
1
T2 I 2 22 , I 2 m2 r22
2
2
1
Тело 3 движется поступательно T3 m3v32
2
Выразим все скорости через v3 и запишем суммарную кинетическую
энергию
1 v3 2r1 ,
v1 vC 1r1 v3 2 ,
2 v3 r2
1 3
1
3
1
2 1
2
T m1 m2 m3 v3 M пр v3 , M пр m1 m2 m3
2 8
2
2
8
2

17.

Пример
R
2
1
Fтр
P2
3
C
P1
N
B
P3
Решение
Вычислим работы всех сил
Работа сил P2 , R равна нулю, так как
точка их приложения неподвижна
Работа силы P1 равна нулю, так как эта
сила перпендикулярна к перемещению
точки ее приложения C
Работа сил Fтр , N равна нулю, так как эти силы приложены в
мгновенном центре скоростей B катка 1
Тогда A A A( P3 ) P3h m3 gh,
e
i
v3 2m3 gh M пр
17
Пример
1
M пр v32 m3 gh
2
2m3 gh
3
1
m1 m2 m3
8
2