Вынужденные гармонические колебания стержней с распределенной массой при изгибе

1. Лекция 19-20 Вынужденные гармонические колебания стержней с распределенной массой при изгибе

2. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

4
EI
y
m
2
y
x 4
t 2
y y o y част
PSin t ,
y ( x, t ) y ( x) Sin t
y m y P
,
4
2
EI t
EI
x
y y o yчаст
4
2
2
sk 4
m
u l
kl,
EI
2
4
m k2
EI
m
k
,
EI
2
4

3. Если на балке рассматриваются 2 участка (АС, СВ), то решение уравнения (1) необходимо составлять на каждом участке и

использовать
условия
сопряжения на границе участков.
Например, на 1 участке нет внешней
нагрузки, поэтому уравнение (1) можно
рассматривать как однородное и
использовать решение однородного
уравнения.

4. Решение дифференциального уравнения на 2-х участках

y1/ (0)
M 1 (0)
Q1 (0)
y1 ( x) y1 (0) A(kx)
B(kx) 2 C (kx) 3 D(kx)
k
k EI
k EI
ch(kx) Cos(kx)
A(kx)
,
2
ch(kx) Cos(kx)
C (kx)
,
2
sh(kx) Sin (kx)
B(kx)
,
2
sh(kx) Sin (kx)
D(kx)
2
M 1
Q1
y 2 ( x ) y1 ( x ) 2
C ( kx1 ) 3
D ( kx1 ),
k EI
k EI
M 1 M 1 ,
Q1 Q1 ,
x1 x a

5. Формула для амплитудной функции прогибов на любом участке балки для случая действия системы гармонических сосредоточенных сил,

моментов
и
равномерно распределенных нагрузок
y / ( 0)
M ( 0)
Q ( 0)
y ( x) y (0) A(kx)
B(kx) 2 C (kx) 3 D(kx)
k
k EI
k EI
Pi
Mi
q i
3 D k ( x ai ) 2 C k ( x ai ) 4 A k ( x ai ) 1
1 k EI
1 k EI
1 k EI

6. Формулы для амплитудных функций прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил

M ( 0)
Q ( 0)
C ( kx)
2
kEI
k EI
P
Mi
q
2 i C k ( x a i )
B k ( x a i ) 3 i D k ( x a i )
1 k EI
1 k EI
1 k EI
y ( x ) y (0) kD( kx) y (0) A( kx)
/
/
B ( kx)
M ( x ) EIy (0) k 2 C( kx ) EIy / (0)kD (kx ) M (0)A (kx )
Q(0)
B(kx )
k
P
q i
C k ( x a i ) ,
i B k ( x a i ) M i A k ( x a i )
2
1 k
1
1 k
Q( x ) EIy (0)k 3 B( kx ) EIy / (0)k 2 C(kx ) M (0) kD (kx ) Q(0)A(kx )
Pi A k ( x a i ) M i kD k ( x a i )
1
1
1
q i
k
B k ( x a i )

7. Граничные условия для балки шарнирно опертой двумя концами, находящейся под действием сосредоточенной силы Р

∆М1 =0, ∆Q1=P, ∆qi =0
x 0
y1 (0) 0, M 1 (0) 0,
x l
y 2 (l ) 0, M 2 (l ) 0

8. Случай вынужденных колебаний стержня – кинематическое возбуждение колебаний стержня, вызванное периодическим смещением опор

(угловое). Например, пусть
поворот левой заделки на угол, равный 1.
(t ) 1 Sin t

9. Решение и граничные условия

MA
QA
1
y1 ( x) B(kx) 2 C (kx) 3 D(kx)
k
k EI
k EI
y(0) 0,
y (0) 1,
/
2
m
u l4
EI
Mo M A,
Qo Q A

10. Формулы для реактивных моментов и сил

4 EI
6 EI
MA
2 (u ), R A 2 5 (u ),
l
l
2 EI
6 EI
MB
3 (u ), RB 2 6 (u ),
l
l
u chuSinu shuCosu
2 (u )
4
1 chuCosu

11. Таблицы амплитудных значений реакций

12.

13.

14.

15. Круговые функции

16.

17. Значения специальных функций

18.

19.

20. Динамический расчет рам по методу сил

x1 11 x2 12 x3 13 x4 14 1 p 0
x1 21 x2 22 x3 23 x4 24 2 p 0
x1 31 x2 32 x3 33 x4 34 3 p 0
x1 41 x2 42 x3 43 x4 44 4 p 0

21. Динамический расчет рам по методу перемещений

Z1r11 Z 2 r12 Z 3 r13 R1P 0
Z1r21 Z 2 r22 Z 3 r23 R2 P 0
Z1r31 Z 2 r32 Z 3 r33 R3 p 0

22. Обозначения в канонических уравнениях метода перемещений