Лекция № 11 Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Свойства дискретного преобразования Фурье
Свойства дискретного преобразования Фурье
Свойства дискретного преобразования Фурье
Свойства дискретного преобразования Фурье
Свойства дискретного преобразования Фурье
Свойства дискретного преобразования Фурье
Свойства дискретного преобразования Фурье
135.50K
Category: physicsphysics

Дискретное преобразование Фурье. (Лекция 11)

1. Лекция № 11 Дискретное преобразование Фурье

• Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к
классу основных преобразований при цифровой
обработке сигналов. Дискретное преобразование
Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми
методами, лежит в основе различных технологий
спектрального анализа.
• Моделью последовательности из N дискретных
отсчетов x(k ) является сигнал из смещенных по
времени дельта-функций:
x(t )
x(k ) (t kT )
k

2. Дискретное преобразование Фурье

• Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом T1 NT
Дискретный периодический сигнал можно представить
рядом Фурье:
xдп (t )
c( n)e jn 1t
n
• Коэффициенты c ( n) этого ряда находят согласно формуле:
1
c ( n)
NT
1
NT
NT
0
1
jn 1t
x(t )e
dt
NT
N 1
NT
k 0
0
NT n 1
jn 1t
x
(
k
)
(
t
kT
)
e
dt
0 k 0
jn 1t
x
(
k
)
(
t
kT
)
e
dt.

3. Дискретное преобразование Фурье

• Переходя к новой переменной t t T, получим:
1
c ( n)
N
• Так как
N 1
N
k 0
0
x(k ) (t k )e
2
2
1
T1
NT
1
c(n)
N
N 1
jn 1Tt
1
dt
N
n 0,1, 2,..., ( N 1).
jn 1kT
x
(
k
)
e
k 0
, окончательно имеем:
x ( k )e
k 0
N 1
j
2 nk
N
.
(11.1)

4. Дискретное преобразование Фурье

• Соотношение, позволяющее вычислить комплексные
амплитуды гармоник дискретного сигнала,
представляет собой линейную комбинацию отсчетов
этого сигнала. Его называют прямым дискретным
преобразованием Фурье (ДПФ).
• Наряду с прямым ДПФ существует обратное
дискретное преобразование Фурье:
N 1
x(k ) c(n)e
n 0
j
2
kn
N
, k 0,1,..., ( N 1).
• Замечание. В размещении множителя 1 N в выражении ДПФ
нет полного единства. В некоторых источниках этот
множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из
формулы для прямого ДПФ.

5. Свойства дискретного преобразования Фурье


Линейность.
Дискретное преобразование Фурье – линейное
преобразование, то есть если последовательностям x(k ) и
y (k ) с одним и тем же периодом N соответствуют
наборы гармоник c1 (n) и c2 (n) , то
последовательности ax(k ) by(k ) будет
соответствовать спектр ac1 (n) bc2 (n) .
Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором
выполняется ДПФ, представляет собой систему
дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ),
заданную на дискретной временной оси N отсчетами:
2
eN (k , n) exp( j
kn); k , n 0,1,..., N 1.
N

6. Свойства дискретного преобразования Фурье


Симметрия.
Свойство симметрии, которым обладает спектр
непрерывного сигнала, сохраняется и для спектра
дискретного периодического сигнала. Если отсчеты x(k ) –
вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера
которых расположены симметрично относительно N 2 ,
образуют сопряженные пары:
2
2
N 1
j
k ( N n )
j
kn
1 N 1
1
N
N
c( N n) x(k )e
x(k )e
c (n)
N k 0
N k 0
Из формулы следует, что спектр является сопряжено
симметричным относительно N 2 , то есть содержит ровно
такое же количество информации, что и сам сигнал.

7. Свойства дискретного преобразования Фурье

• Гармоника с нулевым номером (постоянная
составляющая) представляет собой среднее значение всех
отсчетов сигнала на одном периоде:
1 N 1
с (0)
x(k ) c( N )
N k 0
• Если
N четное число, то
N 1
1
k
N
c(
) x(k )( 1)
2
N k 0
и амплитуда гармоники с номером N 2 определяется
суммой отсчетов с чередующимися знаками:
1
N
c( ) x(0) x(1) ... x( N 2) x( N 1)
2 N

8. Свойства дискретного преобразования Фурье


ДПФ круговой свертки.
Возьмем две последовательности x1 (k ) и x2 (k ) одинаковой
длины N , ДПФ которых соответственно равны c1 (n) и
c2 (n.) Вычислим их круговую свертку по одному периоду:
N 1
y (n) x1 ( m) x2 (n m)
m 0
Найдем N точечное ДПФ этой свертки:
1
s(k )
N
N 1
y ( n)e
n 0
j
2 nk
N
1
N
N 1
j
x1 (m) x2 (n m) e
n 0 m 0
N 1
2 nk
N
2 k ( n m )
2 km
j
j
N 1
N
x1 (m) x2 (n m)e
e N c1 (k )c2 (k ),
m 0
n 0
k 0, 1,..., N 1.
1
N
N 1
(11.2)

9. Свойства дискретного преобразования Фурье

Таким образом, круговой свертке дискретизированных и
заданных на одном временном промежутке сигналов
соответствует перемножение их спектров.
Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью
ДПФ осуществляется по следующему алгоритму:
• вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле
(11.1);
• перемножение коэффициентов полученных ДПФ
согласно (11.2);
• вычисление сигнала y (n) с помощью обратного ДПФ
полученной последовательности s(k ) .

10. Свойства дискретного преобразования Фурье


Равенство Парсеваля для дискретных сигналов.
Определим значение
ДПФ:
N 1
2
c ( n ) , используя формулу
n 0
1 N 1
1 N 1
c(n) x(k )eN (k , n) x(m)eN (m, n)
N m 0
n 0
n 0 N k 0
1 N 1 N 1
1 N 1
1 N 1
2
x(k )x(m) eN (k , n)eN (m, n) x(k ) .
N k 0 m 0
N n 0
N k 0
N 1
2
N 1
Таким образом, мощность сигнала на N отсчетах равна
сумме мощностей его частотных компонентов.

11. Свойства дискретного преобразования Фурье


Связь ДПФ с Z-преобразованием.
Сравнивая формулу прямого ДПФ дискретной
последовательности с формулой Z-преобразования, видим, что
коэффициенты ДПФ равны значениям Z-преобразования этого
сигнала в N точках, равномерно распределенных по единичной
окружности Z-плоскости.
Получим Z-преобразование последовательности через
коэффициенты ДПФ этой последовательности:
N 1
X ( z ) x ( n) z n
n 0
2 nk
j
N 1
n
N
c ( k )e
z
n 0 k 0
N 1
n
N 1
j 2N k 1
1 z N
c ( k ) e
z c(k )
2 k
j
k 0
n 0
k
0
1 e N z 1
N 1
N 1
English     Русский Rules