Уравнение переноса излучения с учетом поглощения в линиях. (Тема 13)

1.

Уравнение переноса излучения
с учетом поглощения в линиях

2.

Уравнение переноса излучения с
учетом поглощения в линиях
• Теперь общий коэффициент поглощения равен сумме
коэффициентов поглощения в континууме c и в
линиях l
• Соответственно и оптическая глубина будет
определяться как:
c
l
dt ( )dx
Функция источника также будет иметь следующий
l
вид:
Sc Sl
l
l
S l
,
S
,
c
l
l
c
c
S c c , S
c
l
1 c
• Уравнение переноса будет формально иметь обычный
вид:
dI
Cos
I S
dt
dt ( c l )dx
I (0) S e t sec sec dt
0

3. Функция источника для линий при ЛТР

• Чтобы решить уравнение переноса, надо знать функции
источника для континуума и линии.
• Проблема с S l : она зависит от населенностей уровней,
которые сами зависят от поля излучения в континууме и
от функции S c
Эта взаимосвязь сильно усложняет решение уравнения
переноса с учетом линий.
Простейший случай - ЛТР:
S c B (T ),
S l B (T )
• Что это означает физически?
- населенности уровней зависят только от
температуры и не зависят от поля излучения,
- это приближение хорошо работает только в том
случае, когда населенности уровней определяются
только столкновениями, а не полем излучения.

4.

Линии при ЛТР
dI
I B , d c dx
d
Для непрерывного спектра
dI
cos
I B , dt ( c l )dx
dt
Для непрерывного
спектра и линии
cos
Решение:
I (0, ) 0 B (T ) e
sec
I (0, ) 0 B (T ) e
t sec
c
l
sec d
sec dt
(а)
Профиль линии (остаточная интенсивность)
I l (0, ) (только
r ( ) c
I (0, ) для Солнца)
H l (0)
r c
H ( 0)
(для звезд)

5.

Для интегрирования (а) положим, что
B (T ) B (T0 )(1 ...)
d dx
B (T ) B (T0 )(1 c ...)
B (T ) B (T0 )(1 c
t )
l
d c dx
dt ( c l )dx
Тогда:
r ( )
1
cos
1 c cos
c
l
,
2
1 c
3 l
r
2
1 c
3

6.

Сравнение с наблюдениями (для Солнца)
Теория:
при θ
900 (на краю лимба) линия исчезает: rν
Наблюдения:
1

7.

Линии поглощения при рассеянии
h '
h
Два главных предположения:
-чистое рассеяние- энергия, излученная в линии, равна
энергии, поглощенной в этой линии,
-когерентное рассеяние- несмотря на размытость
уровней, считаем, что нет перераспределения энерги
по частотам внутри линии.

8.

Условие монохроматического
лучистого равновесия
4 l l I d ,
4
l
1
- функция источника полностью
I
d
J
S
l 4 4
определяется полем излучения
1
S I Sin d
20

9.

Модель Шварцшильда-Шустера
«обращающий» слой
(атмосфера)
l 0, l 0, c 0, c 0
l 0, l 0, c 0, c 0
фотосфера
УП:
dI
cos
I S l
dt
dt l dx
1
S J I sin d
20
Решим эту систему методом Шварцшильда-Шустера
l
Напоминание: метод Шварцшильда-Шустера основан на
усреднении
интенсивностей по нижней и верхней полу –
:
сферам и на выносе из под интеграла среднего значения
cos 1 / 2
/2
1 /2
0 I sin cos d 0 I sin d
2
t 0

10.

Обозначим:
/2
I I sin d , I I sin d ,
'
''
/2
0
cos 1 / 2
Получим систему:
cos 1 / 2
1 dI '
I ' S
2 d
1 '
S I I ''
2
1 dI ''
I '' S
2 d
Сумма уравнений
I I const F '
Разность уравнений
I I 2F ' c
'
'
''
''

11.

Граничные условия:
I ( t 0) 0, если / 2
'
I ( t t ) I ( t t ) I ( t 0), если / 2
''
0
c
0
c
c F ' ,
I c
I c 1 0
F '
, S
t
0
0
1 t
1 t 2
Вычисляем потоки:
/2
0
0
F c 2 I Cos Sin d I Sin d
I d
с
I c
2
2
/2
I с Sin d F c I c
0

12.

t 0
I ( 0, ) S (t )e
t
0
I 1 0
t e
0
1 t 2
0
dt
t
I 1 0
t
1
e
0
1 t 2
I ( 0, )
r ( 0, ) c
I ( 0, )
0
0
t 0
0
t
dt
I
1 0
t
1
e
const (1 )(1 t 0 ) 2
0
Для непрерывного спектра взят обычный (линейный)
закон потемнения.
t 0

13.

I
1 0
r ( 0, )
t
1
e
0
const (1 )(1 t ) 2
0
Частные случаи:
0
0
I
t
1
0
t 1, r ( 0, )
const (1 ) 2
0
I
t 0 1, r ( 0, )
const (1 )
t 0

14.

Вычисляем остаточную интенсивность:
t 0
F F '
l
I
c
1 t
0
l
F
1
r F c
0
F 1 t
,
Z
t dz a Ndz a Ndz a N abs
0
l
l
l
l
0
1
r
1 a l N abs
N abs -«число поглощающих атомов»число атомов, производящих
линию и находящихся в столбце
сечением в 1 см2 и протяженностью, равной протяженности
«обращающего слоя».

15.

Модель Милна-Эддингтона
В этой модели нет разделения на слои: в каждой точке атмосферы имеется поглощение и излучение как в континууме, так
и в линии.
dI
Cos
( c l ) I c l
dz
c c B (T ), l l J
Полагаем, что
l
c , d - c dz
dI
Cos
(1 ) I B (T ) J
d
Из условия
монохроматического
лучистого
равновесия
Для континуума
считаем, что
выполняется ЛТР
(это оправдано)
Для получения аналитического решения необходимо сделать
основное предположение: величина является постоянной, т.е.
не зависит от глубины.

16.

Решение методом Милна=Эддингтона
dI
Cos
(1 ) I B (T ) J ,
d
обозначим H
I Cos d F
d
1) Умножаем на 4
4
4
и интегрируем по всем направлениям:
dH
(1 ) J J B (T ) J B (T )
d
2) Умножаем на Cos
d
и интегрируем по направлениям:
4
1 dJ
1 H
3 d
3) В итоге:
(1)
dH
1 d 2 J
1
1 J B
2
3 d
d

17.

4) Перепишем
1 d 2 ( J B )
1 J B
2
3
d
5) Это возможно, если функция Планка является линейной
по оптической глубине
B (T ) B (T0 ) 1
B (T0 ) 1 c B (T0 ) 1 *
6) Решение:
J ( ) C exp[ 3(1 ) ] D exp[ 3(1 ) ] B ( )
(2)

18.

7) Граничные условия:
при имеем J B
D 0
при 0 имеем J ( 0) 2 H ( 0), т к.
J ( 0)
I ( 0)d I ( 0)d
4
H ( 0)
8) Из (2) имеем:
(3)
4
2
I ( 0)Cos d
4
4
J ( 0) C B (T0 )
(4)
4
I ( 0)d
12
2
4

19.

9) Из (1) имеем:
1
H ( )
C 3(1 ) exp( 3(1 ) ) B (T0 ) *
3(1 )
1
H ( 0)
C 3(1 ) B (T0 ) *
3(1 )
10) Из (3-5) имеем:
С B (T0 )
2
C 3(1 ) B (T0 ) *
3(1 )
С
3(1 ) 2 *
3(1 )
B (T0 )
3(1 ) 2
(5)

20.

11) Теперь (5) будет иметь вид:
4 B (T0 ) 3(1 ) 2 *
*
F ( 0) 4 H
3(1 ) 3(1 ) 2
1
4 B (T0 )
*
3(1 )
3(1 ) 2
12) Чтобы получить поток в непрерывном спектре, надо
положить 0
*
1
F c ( 0) 4 B (T0 )
3
3 2

21.

13) Окончательно для профиля линии (остаточной
интенсивности) имеем:
*
1
r
3(1 )
3 2
3(1 ) 2
*
1
3
14) Оценим глубину профиля линии (остаточной
интенсивности) для центральной частоты линии. В этом
случае
l
c
1
0
Тогда из (6) имеем
0
0
3 2 1
1
r 0
*
3
0
0
~1

22.

15) Сравнение с наблюдениями
Теория
Типичное значение 106-108 . Это означает,
что теория дает значение
Наблюдения дают значения
r 0 ~ 10 3 .
r 0 ~ 10 2 10 1
1,2
1
R
0,8
0,6
0,4
Gh
наблюдения
теория
0,2
Natural + Thermal
Natural + Thermal + Collisional
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Doppler Widths
2
3
4
5
Вывод: наша теория не
учитывает появление
дополнительных квантов
в линии. Следует найти
такой механизм