Механизмы уширения линий. Теория излучения. (Тема 12)

1.

2.

Механизмы уширения линий
• Естественное затухание излучения
• Тепловое уширение линий из-за
хаотического кинетического
движения атомов
• Уширение давлением – возмущения
со стороны окружающих
атомов/ионов/электронов
• Сверхтонкая структура
• Эффект Зеемана (в магнитном поле)

3.

Два подхода в теории излучения
В теории излучения используются два
подхода – классической физики и
квантовой механики.
Классическая физика: электромагнитное
поле это непрерывная функция и в
пространстве и времени с хорошо
известными значениями электрического
и магнитного полей.
Квантовая механика: поле излучения это
ансамбль дискретных квантов энергии
hn.

4.

Естественное уширение:
классическая теория
• Фотоны являются синусиодальными вариациями электромагнитного поля
• Когда фотон проходит около электрона в атоме, то изменение поля
заставляет электрон атома
осциллировать. Т.о. электрон
рассматривается как классический
гармонический осциллятор:
dW
8 n e
W
3
dt
3mc
2
2
W(t)
2
W W0 e
t
8 2n 2 e 2 0.2223
1
сек
-классическая постоянная
3
2
3mc
затухания
( в А)

5.

Коэффициент поглощения
е
4
аn
mc (n n ) ( 4 )
2
2
2
0
n-n0 есть расстояние от центра линии
классическая постоянная затухания
Часто записанное выше выражение
называется профилем Лоренца, так как
выражение
4
L (v)
,
2
2
(n n 0 ) ( 4 )
1
L
(n )dn 1
0
называется функцией Лоренца. Иногда
такой профиль называют дисперсионным

6.

Полуширина линии
е2
4
4 е 2
аn
, аn 0
2
2
mc (n n 0 ) ( 4 )
mc
an
an 0
Полуширина линии будет
на расстоянии
n 1/ 2
4
В шкале длин волн
n
n
1
2
c
n
2
n 1
2
c
2
n 4
2 е 2
0.000118 A
2
3mc
Вид коэффициента поглощения с
естественным уширением
Полуширина очень мала
для всех линий!

7.

Естественное затухание
(квантовая теория излучения)
j A jk
E j E j
k j
tj
1
Ajk
k j
i Aik
Ei Ei
k i
Принцип неопределенностей
Гейзенберга
E t
аn
e2
32 n
3
gj
2
0
A ji ij
g i (n n 0 ) ( ij / 4 )
2
2
1
tt
Aik
~ h / 2
k i
, ij i j
•Замена на !
•Уширение зависит от времени жизни атома на уровне
•Постоянная уширения для резонансных линий по значению
близка к классической постоянной.
•Постоянная затухания для других линий может превышать
классическое значение в 5-50 раз

8.

Сила осциллятора (1)
Получим интегральный коэффициент поглощения, используя
классическую теорию:
e
/ 4
e
an dn
2 dn
2
0
mc 0 (n n 0 ) / 4
mc
aкласс
2
2
Аналогичную операцию произведем для коэффицента поглощения из квантовой теории излучения:
аквант
gj
Aji ij
e
an dn
dn
3 2
2
2
0
32 n 0 gi 0 (n n 0 ) ( ij / 4 )
2
a
a
В результате можно убедиться, что класс
. Чтобы
квант
согласовать классическую теорию с квантовомеханической
теорией вводят «силу осциллятора» f:
a квант a класс f
e 2
mc
f

9.

Сила осциллятора (2)
Сила осциллятора есть число классических осцилляторов,
эффективность излучения или поглощения которых равна
эффективности излучения или поглощения реального
атома.
Сила осциллятора может быть дробным числом.
Для сильных линий f имеет значение около 1, для слабых
линий f <1, для запрещенных линий f <<1.
Пример: линии водорода

10.

Сила осциллятора (3)
a квант a класс f ij
a квант
e 2
f ij
mc
hn ij
an dn
Bij
0
c
gj
mc
f ij
Aji
2 2 3
8 e n ij gi
3
Силы осцилляторов определяются одним из методов:
- теоретические расчеты,
- лабораторные измерения,
- по измерениям интенсивностей линий в
солнечном спектре

11.

Yширение линий
эффектом
Допплера (1)

12.

Yширение эффектом Допплера (2)
Поглощающие атомы находятся в движении. Проекция скорости
движения на луч зрения Vr вызывает смещение частоты: квант в
системе координат, связанной с атомом, поглощает (излучает) в
частоте n, но наблюдатель фиксирует частоту n’.
| n n '|
n
n
Vr
n
c
n
наблюдатель
n’
1) Допплер эффект уширяет линию за счет
следующих механизмов:
–Тепловое уширение( из-за движения частиц)
–Уширение турбулентностью (мико/макро)
2) Уширение пропорционально числу частиц
с определенными скоростями, т.е.
2
m
an dN (Vr ) N Total
e
2 kT
3
mV r 2
2 kT
dVr

13.

A~N(V)
Число частиц N с определенными
скоростями (распределение
Максвелла) при разных Tc
Скорость (cм/сек)
n n0
3)
2
MV0
kT ,
2
n0
c
Vr ,
n n 0
Vr
c
n0
V0 2kT / M ,
V0
n D n 0
c

14.

2
4)
MVr 2
3
2 kT
M
an dn dN (Vr ) NTotal
e
2 kT
an dn const e
MVr 2
2 kT
dVr const e
dVr
n n 2 M
0
c
n
2 kT
0
при n n 0 an an 0 const an 0
an dn an 0 e
n n 2 M
0
c
n
2 kT
0
dn
правило
нормировки
hn 0
0 an dn c Bij
dn

15.

n n 2 M
0
c
n 0 2 kT
5) a dn a e
n
n0
0
n n 2 M
0
c
n
2 kT
0
dn 2an 0 e
dn
n0
0
n 0 2kT x 2
n 0 2kT hn 0
2an 0
e dx
2an 0
Bij
c M 0
2
c M
c
an 0 hBij
M
c3 g j
M
3 / 2 3 A ji
2 kT 8 n 0 g i
2kT
введем
д
ровскую
полуширину
n 0 2kT
n D
an an 0 e
c M
Профиль Гаусса
n n 0
n
D
2

16.

Оценка роли Доплер-эффекта
1. Полуширина – расстояние от центра линии 1/2, при которой коэффициент поглощения падает в два раза по отношению
к его максимальному значению:
1
a a e
2
0
0
1 / 2
D
2
1 / 2
0
c
2kT
ln 2
M
2. Полуширина - расстояние от центра линии D, при которой коэффициент поглощения падает в e раз по отношению
к его максимальному значению.
D
0 2kT
c
M
24
5000
A
,
M
1
.
67
*
10
г , T 10000
Пример: 0
D 0.08 A
D 0.1 A

17.

Сравнение профилей линий,
уширенных естественным затуханием
и эффектом Доплера
Естественное уширение
меняется по закону 1/ 2,
а доплеровское уширение
меняется быстрее по закону
exp(- / D)2 . По этим
причинам крылья линий будут ушириваться естественным уширением и будут
более глубокими, а ядра
линий за счет эффекта
Доплера-более широкими.

18. Механизм уширения давлением (1)

• В атмосферах сверхгигантов плотность вещества в 106 раз
меньше, чем у Солнца. Таким образом, эффект давления на
профили линий
Спектры А0-звезд
будет существенно меньше. По
I
этой причине
профили линий
III
в спектрах сверхгигантов будут
V
намного уже,
чем в спектрах
звезд главной
последовательности.

19.

Механизм уширения давлением
(2) уширение происходит, когда
1. Ударное
поглощающий или излучающий
сталкивается с атомами, ионами и
электронами или проходит близко к ним.
2. Таким образом, этот эффект зависит от
плотности вещества (и температуры).
3. Эти эффекты могут играть роль в широком
диапазоне физических условий: от газовых
туманностей до черных дыр.
4. В результате ударов или прохождений
энергетические уровни слегка размываются,
тем самым увеличивая диапазон длин волн
поглощения в линии – линия уширяется.

20.

Варианты эффектов давления
• Прямые удары
• Прохождения около атомов другого
рода
• Эффект собственного давления –
прохождения около частиц того же
рода
• Возмущения статическим
электрическим полем ионов (Starkэффект)

21.

Роль прямых ударов
Ударяющая частица может привести к ударному
девозбуждению уровня, уменьшая время жизни атома
на этом уровне. Теория показывает, что в результате
коэффициент поглощения будет иметь профиль
Лоренца (как и у естественного уширения)
Теория дает следующую формулу для полуширины
в зависимости от давления (P=NkT):
n 1/ 2 ( Hz ) P / 3 / kTM 3.6 1024 P / MT
Для Солнца (T=5800K, P=104) для атома водорода
прямые удары при = a02=8x10-21 м2 вызывают
уширение с
n 1/ 2 3.6 1024 104 8 10 21 / 1 5700 4MHz
Эта величина меньше естественного уширения!

22.

Два подхода
Ударное приближение: излучающий атом возмущается проходящими частицами на расстоянии r(t).
Может случиться, что время прохождения t<<
времени жизни атома t0 на уровне. Поэтому это
время t0 становится меньше. В результате линия
уширивается.
Квазистатическое приближение: это приближение
используется, когда t>>t0. Поэтому в первом
приближении частицы можно считать
неподвижными.

23.

1 подход – ударное приближение или
метод дискретных встреч(МДВ)
Предполагается, что прохождения
частицы около атома происходят
мгновенно. В результате цуг
волн мгновенно меняет свою
фазу (см. рисунок). Смещение
по частоте представляется как
Cn
n n
r

24.

1 подход – ударное приближение или
метод дискретных встреч(МДВ)
• Этот метод хорошо работает в ядрах линий
Ck
n
• Естественно полагать, что смещение по частоте
rk
• r-2 – возмущение статическим полем ионов и/или электронов
(линейный Штарк-эффект). Это уширение особенно важно для
линий HI в спектрах горячих звезд.
r-3 - резонансное уширение атомами того же рода. Это
уширение важно в атмосферах холодных звезд, например,
линии HI в спектре Солнц.
r-4 – если возмущаемый атом имеет внутренние электроны
(квадратичный Штарк-эффект). Уширение важно для линий
ионов металлов в спектрах горячих звезд.
r-6 - уширение Ван дер Ваальса нейтральными атомами.
Уширение важно в спектрах холодных звезд.

25.

Учеты многих прохождений
• Теория показывает, что зависимость коэффициента
поглощения имеет такой же вид, как и для естественного
затухания, только величина rad заменяется на coll
coll 4 2
аn
f
mc ( n 2 ( coll 4 ) 2 )
e2
• Ударное уширение имеет вид дисперсионной функции
• Иногда coll превышает rad в 10 раз

26.

Квазистатическое приближение
В этой теории время возмущения атома со стороны
других частиц t>>t0 =1/ Aji- времени жизни атома в
возбужденном состоянии. Время t остается
практически постоянным во время процесса
поглощения или излучения кванта в статистически
флуктуирующем поле, создаваемом другими частицами.
Теория строится на следующей цепочке:
Распределение возмущающих частиц
силовое
поле в месте расположения поглощающего или
излучающего атома
переход от распределения
возмущающих частиц к частотному распределению
(коэффициенту поглощения).

27.

Статистическая теория (приближение
ближайшей частицы)
dr
r
Вероятность расположения W( r ) ближайшей
частицы в зоне (r,r+dr) есть произведение
-вероятности W1 того, что в сфере радиусом
r частицы нет
-вероятности W2 того, что внутри cферического слоя (r,r+dr) частица есть.
W1
W2
r
W (r )dr [1 W ( x)dx]( 4 r 2 N )dr
0
d W (r )
W (r )
2
W ( r ) 4 r N
2
2
dr 4 r N
4 r N

28.

W ( r )dr 4 r Ne
2
Ck
n k ,
r
4
r 3 N
3
Ck
r
n
4 N C k
av const *
3 k e
k ( n ) k
3/ k
dr
1/ 3
4
C
N k
3
n
4 N C 2
k 2 : av const *
5
k ( n ) 2
3/ 2
3/k

29.

Эффект Штарка (первое
приближение)
Приближение ближайшей частицы:
- среднее расстояние между частицами
4
r0 N
3
1 / 3
- «нормальная» напряженность электрического поля
- определим
F
F0
- переводим
W ( r )dr W ( )d
3 5 / 2
W ( )d e
2
5 / 2
W ( ) ~
3 / 2
e
F0 2
r0

30.

Эффект Штарка (теория Хольцмарка)
Хольцмарк (1919 ) рассмотрел распределение многих
частиц.
Основные
предположения:
-возмущающие
частицы – ионы
-ионы неподвижны
-отсутствие корреляции в положениях
ионов
x
3/ 2
2
W ( ) x Sinx e dx
0
1 W ( ) 1.496 5 / 2 (1 5.106 3 / 2 ...)
4
1 W ( ) 2 (1 0.463 2 ...)
3

31.

Резюме:
5 / 2
W ( )d 1.496
F r02
n
2
F0 r
( n ) 0
4 N C k
a v const *
3 k e
k ( n ) k
3/ k
4
C
N k
3
n
4 N C 2
k 2 : av const *
5
k ( n ) 2
3/ 2
3/ k

32.

Формула Инглиса-Теллера
log N e 23.26 7.5 log n
Balmer
max
звезда
Sp
класс
nmax
Log Ne
Cyg
Sirius
A2I
A2V
B0V
29
18
14
12.2
13.8
14.6
DA
8
16.4
Sco
Белый карлик

33.

Пример спектра для белого карлика
n=8
6
5
4
3
2
1
Длина волны

34.

20
H
W (A)
15
10
log g = 4
5
3
0
2
4,6
4,4
4,2
log Teff
4,0
3,8
3,6

35.

Совместное влияние
всех трех механизмов (1)
Совместный учет всех механизмов уширения это есть
конволюция всех коэффициентов:
(полн) (естеств) * ( Штарк ) * (вандерВаал ьс ) * ( Допплер )
Первые три профиля являются дисперсионными
b
n ~ a
n 2 b 2
Конволюция первых трех (лоренцовских) профилей
дает также лоренцовский профиль
e
Естественное затухание
Линейный Штарк-эффект
total 4
n
f
, total rad 2 4 6
2
2
mc n ( total 4 )
2
2
Квадратичный Штарк эффект Силы Ван дер Ваальсф

36.

Совместное влияние
всех трех механизмов (2)
Конволюция профиля Лоренца и профиля Гаусса
дает более сложный профиль:

37. Профиль Фойгта

Свертка двух функций : дисперсионной и функции Гаусса
дает новый профиль, называемый функцией Хьертинга:
e 0
a
e
a
f H (a , u),
H (a , u)
dx
2
2
2
mc D
0 (u x ) a
0 длина волны центра линии
2
2
0
u
,
D
D
0 2kT
c
M
,
u2
2
a
4 c D
H (a , u)du
Часто вместо функции Хьертинга используют функцию
Фойгта:
V ( a , u)
1
v D
2 / c
H ( a , u)
H ( a , u)
D

38.

Частные случаи:
1. В центре линии
e 2 20
a
f
2
mc D
2. Для близких к ядру линии частот имеем
e 0
u
a
f
e
2
mc D
2
2
3. Для крыльев линий
a ~
a
2
u
2

39.

Вычисление функции Фойгта
V ( u, a )
1
v D
2 / c
H ( a , u)
H ( a , u)
D
• Функция Хьертинга хорошо изучена и
протабулирована как функция двуъ параметров:
• u= / D
• a=( 2/4 c)/ D =( /4 ) nD
• Часто ее представляют в виде ряда
H(a,u)=H0(u) + aH1(u) + a2H2(u) + a3H3(u) +…
• or, the absorption coefficient is
e f
а
H ( а , u)
2
mc D
2
2

40.

Сравнение всех механизмов уширения
Допплер
rn
Фойгт
Лоренц

41.

Рабочие формулы для оценки
роли механизмов уширения (1)
Допплеровское уширение. Полуширина линии определяется по следующей формуле:
1/ 2
T
D 7.16 *10
M
7
Здесь масса атома дана в единицах атомной массы (AMU).
Резонансное уширение (эффекты давления такими же
частицами, что и излучающий (поглощающий) атом. Оно
имеет место для резонансных линий (переход на/c основной
уровень. Полуширина равна
R 8.6 *10
30
gi
gk
1/ 2
2
r fNi
N i -населенность основного уровня, , r
- наблюдаемая
длина волны и длина волны резонансной линий

42.

Рабочие формулы для оценки
роли механизмов уширения (2)
Штарк эффект. Формула для полуширины такова:
St 2.50 *10 9 * * N e2 / 3
Параметр
таблице
T(K)
5 000
10 000
20 000
30 000
для линии водорода H привелен в
Ne
1015
0.0787
0.0803
0.0815
0.0814
1016
0.0808
0.0840
0.0860
0.0860
1017
0.0765
0.0851
0.0902
0.0919
1018
...
0.0781
0.0896
0.0946
Аналогичные таблицы имеются и для других линий.
Естественное уширение.
1/ 2
2
с 4